蔡吳張量準(zhǔn)則

1、2.3.4 蔡吳張量準(zhǔn)則 假定在應(yīng)力空間中的破壞表面存在下面的形式 (Fij +Fijij）=1 (266) 對(duì)于應(yīng)力狀態(tài) ，其中i，j =1，2，6.因而，對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，在材料的正軸方向展開(kāi)上一 蔡吳張量多項(xiàng)式準(zhǔn)則方程得：1FFF2FF2FFF2F666226612211162666222221122111式中的系數(shù) 和 馬稱(chēng)為應(yīng)力空間的強(qiáng)度參數(shù)。ijFijFiF(267) 式(267)與蔡希爾準(zhǔn)則方程不同，式中有應(yīng)力分量的一次項(xiàng)，這對(duì)描述拉壓強(qiáng)度不同的材料是有用的。從解析幾何的基本理論中可知，這是一個(gè)球心不在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程。此橢球在坐標(biāo)軸上的截距取決于拉壓基本強(qiáng)度數(shù)值的差別。 式(

2、267)使用的前提，仍然是要確定出各強(qiáng)度參數(shù)。由于在單層板的正軸方向上，材料的剪切強(qiáng)度不受剪應(yīng)力方向的影響，如果改變剪應(yīng)力的方向，材料的力學(xué)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化，如圖。 212所示 對(duì)圖212（a）的應(yīng)力狀態(tài)是剪切力為+此時(shí)準(zhǔn)則方程為：61FFF2FF2FFF2F666226612211162666222221122111 對(duì)圖212（a）的應(yīng)力狀態(tài)是剪切力為-此時(shí)準(zhǔn)則方程為：61FFF2FF2FFF2F666226612211162666222221122111上兩式表示的材料的狀態(tài)是一致的，因此有0FFF62616因此，正軸坐標(biāo)系下平面應(yīng)力狀態(tài)的準(zhǔn)則方程可以簡(jiǎn)化為1FFFF2F2F221121

3、2662222221122111其中 為剪應(yīng)力 的張量符號(hào)的縮寫(xiě)6121F 0 00 F F0 F F0 F F122166121211122121 122121寫(xiě)成矩陣形式 ），（6211FF1TT11jiiji 縮寫(xiě)為 為求式(268)中的六個(gè)強(qiáng)度參數(shù)，對(duì)材料做如下簡(jiǎn)單強(qiáng)度試驗(yàn)：二 強(qiáng)度參數(shù)的確定縱向拉伸和壓縮試驗(yàn)。此時(shí)準(zhǔn)則方程為 1XFXFt12t11 1XFXFc12c11縱向拉伸和壓縮試驗(yàn)。此時(shí)準(zhǔn)則方程為1YFYF 1YFYFc22c22t2222t平面剪切試驗(yàn)。此時(shí)準(zhǔn)則方程為1SF266綜合以上3組試驗(yàn)，得到：0 1SF00 1YFYF00 1YFYF00 1XFXF00 1XFX

4、F1222222t211c12c11t2266c2c222t22111t1僅，且僅，且僅，且僅，且僅從上述方程解得266ct22ct2ct11ct1S1F,YY1FY1Y1F,XX1F,X1X1F 通過(guò)上述幾個(gè)簡(jiǎn)單試驗(yàn)已經(jīng)得到五個(gè)強(qiáng)度參數(shù)，剩下的一個(gè)強(qiáng)度參數(shù) 是兩個(gè)正應(yīng)力分量的相關(guān)項(xiàng)。得到參數(shù)的直接方法是在兩個(gè)正應(yīng)力均不為零的情況下進(jìn)行組合應(yīng)力或雙軸加載破壞試驗(yàn)，為此蔡設(shè)計(jì)了六種實(shí)驗(yàn)方案。 12 F 雙軸壓縮，其應(yīng)力狀態(tài)4521221T45454521221C0,1221VV0,1221VV0,1221P0,1221P 偏軸拉伸，其應(yīng)力狀態(tài)偏軸壓縮，其應(yīng)力狀態(tài)正向剪切，其應(yīng)力狀態(tài)負(fù)向剪切，其應(yīng)

5、力狀態(tài)雙軸拉伸，其應(yīng)力狀態(tài) 其中T、C、V、 P、 分別是各種應(yīng)力狀態(tài)下材料發(fā)生破壞時(shí)的應(yīng)力。下面為各種方案受力狀態(tài)。VPCVT4545VPP由(268)可以得到 在各種狀態(tài)下的關(guān)系：12F在雙向拉伸時(shí)ctctctCtXXXXPYYXXPPF1111111212212在雙向壓縮時(shí)ctctctCtXXXXPYYXXPPF1111111212212在偏軸拉伸時(shí)2221211141111212SXXXXTYYXXTTFctctctCt在偏軸壓縮時(shí)2221211141111212SXXXXCYYXXCCFctctctCt在 正向剪切時(shí)ctctctCtXXXXVYYXXVVF11111112122124

6、5在 負(fù)向剪切時(shí)45ctctctCtXXXXVYYXXVVF1111111212212 對(duì)于一特定材料，如T300/5208復(fù)合材料由簡(jiǎn)單試驗(yàn)得到它的基本強(qiáng)度后，利用上面六個(gè)公式可以做出各種應(yīng)力狀態(tài)下 與各強(qiáng)度的關(guān)系，如圖 12F(MPa)20100-10-202211FF2211FF-TPVCVPT300/5208復(fù)合材料在各種載荷情況下的12F 由于材料破壞應(yīng)力T、P、F和 關(guān)系曲線是一系列幾乎與 軸平行要求實(shí)驗(yàn)時(shí)測(cè)量的破壞應(yīng)力值非常精確，這使得這幾種方案幾乎不可能，為此就需要新的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。12F12F12F馮米塞斯準(zhǔn)則廣義化蔡吳張量準(zhǔn)則方程（2-68），在 =0時(shí)為121222

7、11222221122111FFFFF02122211 FFF 由于任何材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下其強(qiáng)度應(yīng)該是有限的，即上式一定為一橢圓曲線按橢圓曲線理論有：2211122211FFFFF（*）現(xiàn)定義無(wú)綱量相互作用項(xiàng)221112*12FFFF11*12F222*2111*666222112,FFFFFFFsFyFxx此時(shí)可得到同時(shí)定義下列無(wú)量綱參量12*2*122*122yFxFsyxyFx將其帶入到（2-68）中，則得 這是xyz坐標(biāo)空間的橢球方程，當(dāng)s=0是極為xy坐標(biāo)平面的橢圓。其中*122F*1F*2F項(xiàng)決定著長(zhǎng)細(xì)比和傾角決定著橢圓中心的移距上式為馮米塞斯準(zhǔn)則方程的廣義化。ctctYYXXF

8、FF1212122111221221112FFF12*12F 由于橢圓的長(zhǎng)細(xì)比與傾角不變，與（2-63）比較則有： 此時(shí)可獲得理論與實(shí)驗(yàn)值符合較好的結(jié)果。有時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可取蔡吳張量多項(xiàng)式準(zhǔn)則的相互作用系數(shù) ，其誤差是很小的。012F12F221112FFFm由（*）可知 的極限值為 22111212tan21FFFm此時(shí)圓軸長(zhǎng)軸傾角為。78. 32tan212211121FFFm212)GPa(72. 6mF211)GPa(4444. 0F22122211,FFFFm222)GPa(6 .101F。0011F通常纖維增強(qiáng)材料的強(qiáng)度數(shù) ，所以盡管以 取極值，包絡(luò)橢圓的傾角仍很小。對(duì)于T300

9、/5208復(fù)合材料，12F ， ，此時(shí)，該角度近似于 （即 ），故 所做出的包絡(luò)橢圓與 去極限時(shí)橢圓傾角相差甚小。12F012F蔡-吳準(zhǔn)則方程強(qiáng)度參數(shù)變換 用應(yīng)力轉(zhuǎn)變公式將偏軸應(yīng)力轉(zhuǎn)換到正軸方向xyyx2222221221nmmnmnmn2mnmn2nm 式中m=cos,n= cos。將上式帶入（2-68） 將有12mn2nm)(2mn)2(2nm22nm222221222662222222221222211）（）（）（）（）（xyyxxyyxxyyxxyyxxyyxxyyxxyyxmnFmnFnmmnmnFmnFmnmnmnFmnF整理得12)()( 2222)()( 2222)(844)(

10、2222122212221266331233223113663312332231132662221222222211226622124422221122266221222224114266221222224114xyxxyyxyxxyyxyxmnFmnFFmFnFnFmFmnnmFmnnmnFmFmnFnmmnFnmmnFmnnFmFnmFnmFnmFnmFnmFnmFnmFnmFnmFnmFmFnFnmFnmFnFm將各應(yīng)力分量的系數(shù)表成如下形式：6612221133333333333322222222222442222222244222244)( 222)( 222)(84422FFFFm

11、nnmmnnmnmmnnmmnnmmnmnnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmmnnmnmnmFFFFFFysxsssxyyyxx21222222FFmnmnmnnmFFFsyx1FFF2FF2FFF2Fsyssxx2ss2yy2xysyxyyxxxsxyyyxxyxijF則可以寫(xiě)成式中 和 (i、j=x，y，s) 是偏軸強(qiáng)度參數(shù)利用上式可以直接判定單向復(fù)合材料在偏軸應(yīng)力分量作用下的強(qiáng)度。 與正軸準(zhǔn)則方程不同，上式包含有正應(yīng)力和剪應(yīng)力的相互作用項(xiàng)。iF應(yīng)變空間的準(zhǔn)則方程 由于復(fù)合材料直到失效前應(yīng)力與應(yīng)變一直保持線性關(guān)系。因而可以將式(212)帶入式（2-68）得 11Q 1111QFQ

12、QFijTTTi) 6 , 2 , 1,(ji QFQGFQGijTijiTi,令 1111ijTTiGG)6 , 2 , 1,(ji100000122166221212111221122121GGGGGGG則得到用應(yīng)變表示的張量多項(xiàng)式正軸準(zhǔn)則方程寫(xiě)成全式為12221121266222221122111GGGGGG展開(kāi)后有式中6個(gè)系數(shù)G稱(chēng)為應(yīng)變空間的強(qiáng)度參數(shù)，其中22212121221111266666612222221222111212111112212111211122222222212221211122111111)(22QFQFGQFQFGQFGQQFQQQFQQFGQFQQFQFGQ

13、FQQFQFG 應(yīng)用偏軸到正軸的應(yīng)變轉(zhuǎn)換，也可以用偏軸應(yīng)變強(qiáng)度參數(shù)表示應(yīng)變空間的張量多項(xiàng)式。12G22syssxx2ss2yy2xysyxGGGGGGGGyyxxxsxyyyxxyx將個(gè)應(yīng)力分量的系數(shù)表示成如下形式：212222661222113333333333332222222222244222222224422224422)(2)(2)(244242FFmnmnmnnmGGGFFFFmnnmmnnmnmmnnmmnnmmnmnnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmmnnmnmnmGGGGGGsyxysxsssxyyyxx2.3.4單屬板強(qiáng)度的計(jì)算方法iaiR)()(aii強(qiáng)度比的定

14、義 單層在施加應(yīng)力作用下，極限應(yīng)力的某一 分量與其對(duì)應(yīng)的施加應(yīng)力分量之比稱(chēng)為強(qiáng)度/應(yīng)力比，簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)度比，記為R。即式中 施加的應(yīng)力分量 對(duì)應(yīng)于 的極限應(yīng)力分量 )(ai（2-79）這里“對(duì)應(yīng)”的含義基于假設(shè) 是比例加載的，也就是說(shuō)，各應(yīng)力分量是以一定的比例逐步增加的。)6 , 2 , 1,(jii 假定只有 和 兩個(gè)應(yīng)力(即 )。比例加載在應(yīng)力空間中的含義為應(yīng)力矢量的方位不變。當(dāng) 增加 時(shí)， 則增加 且總有1206)(1)(21212aa1221.tXcXtYcY),(21),()(2)( 1aa12O比例加載時(shí)的應(yīng)力矢量因而對(duì)應(yīng)于 的極限應(yīng)力分量，是指與各 構(gòu)成的施加應(yīng)力矢量相同方位的極限應(yīng)力

15、矢量之對(duì)應(yīng)分量 11)(ai在比例加載的前提下，對(duì)于一般的平而應(yīng)力狀態(tài)，式(279)對(duì)于i無(wú)論取1、2、6均成立，且有6)(62)(21)(1aaaRiaiiaiR)()()6 , 2 , 1,(ji又在失效之前，材料是線彈性的，故式中 施加的應(yīng)變分量 對(duì)應(yīng)于 的極限應(yīng)變分量 i)(aii根據(jù)強(qiáng)度比取值的含義顯然： * 時(shí) *施加的應(yīng)力或應(yīng)變?yōu)榘踩禃r(shí)，R1，R是安全裕度的一種量度。R的具體數(shù)值表明，施加應(yīng)力或應(yīng)變達(dá)到失效時(shí)尚可增加的應(yīng)力或應(yīng)變的倍數(shù)為R-l。 *施加的應(yīng)力或應(yīng)變恰好達(dá)到極限時(shí)，R1。R不能小于1，小于1沒(méi)有實(shí)際意義。但設(shè)計(jì)計(jì)算中出現(xiàn)及l(fā)仍然是有用的，它表明必須使施加的應(yīng)力下降

16、，或加大有關(guān)結(jié)構(gòu)尺寸。 *當(dāng)施加的應(yīng)力或應(yīng)變?yōu)橐粏挝皇噶繒r(shí)，強(qiáng)度比R的值就是應(yīng)力或應(yīng)變的極限值。)6 ,2, 1,(0jiiiR（2）單層的強(qiáng)度比方程 引入強(qiáng)度比R這一參數(shù)后，可以把復(fù)合材料的各類(lèi)強(qiáng)度準(zhǔn)則方程寫(xiě)成R的函數(shù)，這些變換后的方程稱(chēng)強(qiáng)度比方程。 蔡-希爾準(zhǔn)則的強(qiáng)度比方程 如果應(yīng)力分量使表達(dá)式(264)正好滿足，則有012)(122)(22)(2)(12)(1SYXXaaaaa引入強(qiáng)度比參數(shù)，即將式(282)代人上式得：012212222212RSYXX012ARAAAR1式中： X當(dāng) 為拉應(yīng)力時(shí)用 ，壓應(yīng)力時(shí)用 Y當(dāng) 為拉應(yīng)力時(shí)用 ，壓應(yīng)力時(shí)用將上式改寫(xiě)為：12cXtXcYtY式中2122222121SYXXA01)(22211221266222221122111RFFRFFFF蔡-吳張量多項(xiàng)式準(zhǔn)則的強(qiáng)度比方程 由(2-68)可