專(zhuān)題29：有理數(shù)的運(yùn)算資料

1、競(jìng)賽講座29-有理數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)， 同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的概念、法則的基礎(chǔ)上, 能夠利用法則、公式等正確地運(yùn)算。但有些有理數(shù)計(jì)算題，數(shù)字大、項(xiàng)數(shù)多，結(jié)構(gòu)貌似復(fù)雜， 致使同學(xué)們望題生畏，不知所措。本講采用舉例的辦法，介紹幾種有理數(shù)的計(jì)算方法，以幫 助同學(xué)們輕松地進(jìn)行計(jì)算，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性。、連續(xù)自然數(shù)的和連續(xù)自然數(shù)的和=(首項(xiàng)末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)數(shù)二大數(shù)小數(shù)i2112 12例 1.計(jì)算233443 123 4+ + + + +4 55551 248+49 49491 1 1 1 1解：原式乜 3(1 2) 4(12 3)5(12 3 4) R 2

2、348)一v 310 4)4 ,.丄0 48) 482 252491 3 4481 -2 2 22=1(1 2 3 448)1 (1 48) 48=” 2 2149 484= 588二、湊整法例 2.計(jì)算 3998+2997+1996+195分析：直接計(jì)算較繁，根據(jù)題目，將原有數(shù)字湊成相應(yīng)的整數(shù)或便于計(jì)算的數(shù)，達(dá)到 簡(jiǎn)單的目的。解：原式=(40002)+(3000 3)+(2000 4)+(200 5)=(4000+3000+2000+200) (2+3+4+5)=920014=9186三、拆項(xiàng)相消法利用一對(duì)相反數(shù)的代數(shù)和為零這一性質(zhì)?？珊?jiǎn)化運(yùn)算。1110 11例3.計(jì)算：_!丄1x22x3.

3、111 =1223亠丄111011此題的關(guān)鍵是把分?jǐn)?shù)1 22 31。冷分別化成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差111總結(jié)：利用丄1 一丄進(jìn)行拆項(xiàng)，以此出現(xiàn)互 為相反數(shù)的項(xiàng)而相消。n（n 十1） n n 十1例4.計(jì)算8 1111 14分析：為產(chǎn)生互為相反 數(shù)的項(xiàng)而達(dá)到相消的目 的，可構(gòu)造:1n(n 3)n解：原式 二）（丄_1）（丄一丄）1（丄一丄）3 253 5 83 8113 1114111111 1 1 1二一( )3 255881111 1413114_ 1-7推廣：利用 1!（-）產(chǎn)生相消項(xiàng)以解決一些帶有綜合性的計(jì)算n（n+k） kn n+k四、分組法例5.計(jì)算 s =1 -2 3 4心 卷2001 2

4、002分析：此算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤癟或“-1”，故采用分組將第一項(xiàng)與第 二項(xiàng)、第三項(xiàng)與第四項(xiàng)、分別配對(duì)構(gòu)成一系列的“-T之和。推廣：s 1-2 3-4(T)n-1001討論：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有-個(gè)（-1）的和，則s=（T）-=2 2 2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有n 1個(gè)（-1）的和，再加上最后一項(xiàng)（T）n1 n二n2解：s=(1 -2)(3-4廠 (2001 - 2002)則 s=(T)n Tn 1n =2五、錯(cuò)位相減法1200312003 (1)22002 (2)111例6.計(jì)算s = V -3- :;川222231 1 1解：s =123 22223112s = 2 12 n-2 221

5、(2)減(1)得：s=2-20031 1 1或者：因S =1 2 2.丄丄丄23 2422004這兩式相減得:s =22 20031說(shuō)明：此算式從第二項(xiàng) 起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之 比都相等為丄,如果將式各項(xiàng)乘以2得(2)式,2所得(2)式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余 得項(xiàng)與式中得項(xiàng)相同。再兩式 相減使差易于計(jì)算。六、倒序相加法分析：觀察發(fā)現(xiàn)，從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2;其次，算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于100,則采用“倒寫(xiě)相加”來(lái)湊整的方法解決。例7計(jì)算 13 5-99解：設(shè) S =13 5-99s= 99+97+95+ 93+1-2(199)(3 97)(991)99 一1= 100 ( 1)3-1-100 50s = 2500七、運(yùn)用公式法例8計(jì)算(2 1)(221)(241)(28 -