異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的同步及電路實(shí)現(xiàn)

1、 研究論文（Articles ）異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的同步及電路實(shí)現(xiàn)廖洪運(yùn)，王玲，張協(xié)衍湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410082摘要為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步，采用自適應(yīng)反饋同步的方法，構(gòu)建了混沌同步控制器。在控制器的作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步。通過(guò)對(duì)廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步進(jìn)行數(shù)值仿真和電路實(shí)現(xiàn)，證實(shí)了自適應(yīng)反饋法可以實(shí)現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步。該方法不僅有效、可靠，而且對(duì)于具體的誤差，系統(tǒng)可通過(guò)調(diào)整控制器的參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)同步，具有穩(wěn)健、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。關(guān)鍵詞廣義Lorenz 系統(tǒng)；超混沌L ü系統(tǒng)；同步；自適應(yīng)反饋控制；電路

2、實(shí)現(xiàn)中圖分類(lèi)號(hào)O545文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A 文章編號(hào)1000-7857（2010）10-0068-05Synchronization of Hyperchaotic Systems with Different Structures and Its Circuit ImplementationLIAO Hongyun, WANG Ling, ZHANG XieyanCollege of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, ChinaAbstractTo achieve synchroniz

3、ation of two different hyperchaotic systems, controllers with adaptive feedback control are designed.Results of simulation indicate that some variables in the generalized Lorenz system take values greater than ±15V and all output variables in the hyperchaotic L üsystem are in the range of

4、±15V. However, the normal working voltage of analog circuit is ±15V. It is necessary to perform a linear transformation for the generalized Lorenz system, but it is not necessary for the hyperchaotic L üsystem. The transformed generalized Lorenz system serves as a drive system, and th

5、e response system is the hyperchaotic L üsystem. Based on the adaptive feedback principles, the controllers of their synchronization are designed. The simulation results show that the synchronization can be achieved between the transformed generalized Lorenz system and the hyperchaotic L ü

6、system. On this basis, the master circuit, the slave circuit and their synchronous control circuit are designed. The transformed generalized Lorenz attractor and the hyperchaotic L üattractor are observed through the oscilloscope. With the synchronous control circuit, the synchronization of the

7、 master and slave systems can be realized. Numerical simulation and circuit experiment results show that the synchronization between hyperchaotic systems of different structures can be reliably achieved by applying the proposed method. Furthermore, the synchronization can be achieved by adjusting pa

8、rameters of the controllers, which is easy and makes a stable system.Keywords generalized Lorenz system; hyperchaotic L üsystem; synchronization; adaptive feedback control; analogue circuit0引言20世紀(jì)90年代初，Pecora 等1提出一種混沌同步方法，用以實(shí)現(xiàn)相同系統(tǒng)的混沌同步，之后混沌同步一直是研究非線性科學(xué)的熱點(diǎn)課題之一。目前為止，許多學(xué)者提出了多種方法用以實(shí)現(xiàn)混沌同步，主要有驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步

9、法1、線性和非線性反饋控制同步法2-3、主動(dòng)-被動(dòng)同步法4、自適應(yīng)同步法5-6、脈沖同步法7-8等。收稿日期：2010-03-29基金項(xiàng)目：湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目（06C522）國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)混沌同步問(wèn)題做了大量研究，這些方法多數(shù)用于2個(gè)相同系統(tǒng)的不同初值的同步。但因?yàn)楫惤Y(jié)構(gòu)（即不同系統(tǒng)）間存在不同結(jié)構(gòu)以及參數(shù)失配問(wèn)題，對(duì)其同步問(wèn)題的研究相對(duì)較少。在實(shí)際應(yīng)用中，特別是用于保密通信的混沌系統(tǒng)同步，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有可能不同，考慮異結(jié)構(gòu)的同步更具有實(shí)際意義。與低維混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，其特點(diǎn)是至少在四維及更高維的非線作者簡(jiǎn)介：廖洪運(yùn)，碩士研究生，研究方向?yàn)榛煦缈?/p>

10、制和同步，電子信箱:liaohy76.student；王玲（通信作者），教授，研究方向?yàn)楝F(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)和通信技術(shù)，電子信箱：wl_hunu， 研究論文（Articles ）性系統(tǒng)中具有2個(gè)或2個(gè)以上正的Lyapunov 指數(shù)，具有更高的保密性，超混沌系統(tǒng)的同步研究具有重要的價(jià)值。文獻(xiàn)9利用2種不同的方法實(shí)現(xiàn)超混沌Chen 系統(tǒng)和超混沌Rossler 系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步，文獻(xiàn)10提出了實(shí)現(xiàn)超混沌22222222222222222觶=a 1(y x +c 1w x 觶=xy b 1z z（6）觶=d 1x xz y yRossler 系統(tǒng)與廣義Lorenz 系統(tǒng)的同步新方法，文獻(xiàn)11研究超混沌Chen 系

11、統(tǒng)與廣義的Lorenz 系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步。上述研究大多是理論或數(shù)值方面的工作，電路的實(shí)現(xiàn)比較少見(jiàn)。本文采用自適應(yīng)反饋同步的方法，構(gòu)建了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌觶=x a 1w w由于廣義Lorenz 系統(tǒng)有的狀態(tài)變量可能大于15，而模擬電路中運(yùn)算放大器的輸出僅為±15V ，為保證電路的正常運(yùn)行，必須對(duì)式（6）進(jìn)行線性變換。令x =20x 1，y =20x 2，z =20x 3，w =20x 4，得22222222222222222L ü系統(tǒng)的混沌同步控制器。通過(guò)Matlab 仿真，驗(yàn)證了該方法是可行的。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系

12、統(tǒng)的同步模擬電路。數(shù)值仿真和電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，自適應(yīng)反饋同步法可以實(shí)現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)的超混沌系統(tǒng)間的同步。觶1=a 1(x 2x 1+c 1x 4x觶2=d 1x 120x 1x 3x 2x觶3=20x 1x 2b 1x 3x 觶4=x 1a 1x 4x（7）1同步方法考慮由下面數(shù)學(xué)模型描述的混沌系統(tǒng)其中，系統(tǒng)參數(shù)a 1=1，b 1=0.7，c 1=1.5，d 1=26.0。超混沌L ü系統(tǒng)12為（1）22222222222222222觶=f （x ）xTn觶1=a 2(y 2-y 1+y 4y觶2=b 2y 2-4y 1y 3y觶3=-c 2y 3+4y y 觶4=d 2y 2y21其中

13、，x =(x 1, x 2, , x n T R n 為式（1）的狀態(tài)向量，f (x =(f 1(x , f 2(x , , f n (x R 為非線性向量場(chǎng)。將式（1）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則響應(yīng)系統(tǒng)為（8）觶=g (y +u yTnTnTn（2）其中，y =(y 1, y 2, , y n R 為式（2）的狀態(tài)向量，g (y =(g 1(y , g 2(y , , g n (y R 為非線性函數(shù)，u =(u 1, u 2, , u n R 為控制器。設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)式（2）和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式（1）之間的狀態(tài)誤差為e =其中，系統(tǒng)參數(shù)a 2=10，b 2=5，c 2=3，d 2=0.5。下面采用自適應(yīng)反饋的方法

14、來(lái)實(shí)現(xiàn)這2個(gè)系統(tǒng)間的同步。以式（7）Lorenz 系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，受控的超混沌L ü系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)，則22222222222222222y x ，誤差向量e =(e 1, e 2, , e n R ，式（2）與式（1）相減，得到誤Tn差系統(tǒng)為觶1=a 2(y 2-y 1+y 4+u 1y觶2=b 2y 2-4y 1y 3+u 2y觶3=-c 2y 3+4y +u 3y21觶=g (x +e f (x +u et （3）（9）同步目標(biāo)為選取合適的u ，使lim e (t =0，其中，e (t 為誤差向量e 隨時(shí)間變化的函數(shù)。假定：設(shè)式（1）的混沌吸引子為有界閉集，f (x 是定義在上

15、的連續(xù)函數(shù)；g (y 是定義在集合S 上的有界函數(shù)且S 勱。引理10觶4=d 2y 2+u 4y設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間的狀態(tài)誤差為e i =y i x i (i =1,2, 3, 4由式（9）減去式（7）可得誤差系統(tǒng)為22222222222222222設(shè)函數(shù)(x =(1(x , 2(x , ，n (x 是定義在閉集T上的有界函數(shù)，對(duì)誤差系統(tǒng)觶1=(-10e 1+10e 2+e 4+(-9x 1+9x 2-0.5x 4+u 1e觶2=5e 2+(-4x 1e 3-4x 3e 1-4e 1e 3+(-26x 1+6x 2+16x 1x 3+u 2e觶3=-3e 3+(8x 1e 1+4e +(4

16、x -20x 1x 2-2.3x 3+u 3e2121觶i =g i (y f i (x +u i e當(dāng)t t 0時(shí)，有|e i |c , i =1,2, , n 。定理10得(i =1,2, , n （4）（10）觶i =-i e i 2, i >0，則存在t 00, c >0，使得若取u i =-i (x +i e i , 若存在連續(xù)函數(shù)i (x ，m ij (x 及多項(xiàng)式函數(shù)n ij (e 使n觶4=0.5e 3+(x 1+0.5x 2+x 4+u 4e2222222222222為實(shí)現(xiàn)式（7）與式（9）同步，將式（10）與式（5）比較，可知1(x =-9x 1+9x 2-0.

17、5x 42(x =-26x 1+6x 2+16x 1x 33(x =4x 12-20x 1x 2-2.3x 34(x =x 1+0.5x 2+x 4（11）g i (x+e f i (x =i (x +e j m ij (x n ij (e , i =1,2, , nj =1（5）觶i =-e , i >0,i =1,2, , n ，則可以選取控制器u i =-i (x +i e i , 2i i使lim e (t =0。t 觶i =-i e i 2, i >0,根據(jù)定理可以選取控制器A ：u i =-i (x +i e i , i =1,2, 3, 4。在數(shù)值仿真中選擇1=10，

18、1(0=0；2=10，2(0=0；3=1，3(0=0；4=1，4(0=0；初值分別為x 1(0=0，x 2(0=0，x 3(0=-1，x 4(0=1；y 1(0=1，y 2(0=1，y 3(0=0，y 4(0=0.5；得到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的混沌吸引子在三維空間的投影如圖1所示。2Matlab 驗(yàn)證廣義Lorenz 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為2010，28（10）69 研究論文（Articles ）誤差e i 及參數(shù)i 隨時(shí)間的演化曲線如圖2所示，隨著時(shí)間的增加，誤差e i （i =1,2, 3, 4）趨于零，而i （i =1,2, 3, 4）則趨于不同常值。這表明該方法能有效地實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的同

19、步。也可對(duì)上面選擇的控制器進(jìn)行簡(jiǎn)化，由式（9）右端可知，如果u 3=3(x ，且e 10，則e 30(t ，因此選取控制器B ：u i =觶i =-i e i 2, i >0,i =1,2, 4，u 3=3(x 。在數(shù)值仿真中選擇-i (x +i e i , 1=10，1(0=0；2=10，2(0=0；3=0，3(0=0；4=1，4(0=0；初值仍選取x 1(0=0，x 2(0=0，x 3(0=-1，x 4(0=1；y 1(0=1，y 2(0=1，y 3(0=0，y 4(0=0.5；此時(shí)誤差e i 及參數(shù)i 隨時(shí)間的演化曲線如圖3。（a ）驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（b ）相應(yīng)系統(tǒng)(aDrive syst

20、em (bResponse system圖1驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的吸引子Fig. 1Attractor of drive system and response system(a誤差函數(shù)曲線(aError function curve（b ）參數(shù)的演化曲線(bParameter Curve圖2系統(tǒng)在控制器A 的同步情形Fig. 2Synchronization in the controller case A（a ）誤差函數(shù)e 的演化曲線（b ）參數(shù)的演化曲線(aError fuction Curve(bParameter Curve圖3系統(tǒng)在控制器B 的同步情形Fig. 3Synchroniz

21、ation in the controller case B對(duì)比圖2、圖3中的誤差函數(shù)發(fā)現(xiàn)，圖2同步效果更好，這是因?yàn)榭刂破鰽 的控制項(xiàng)比控制器B 的多，同時(shí)也增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。若仍采用控制器B ，取4=20，其他系統(tǒng)參數(shù)和初始值均不變，此時(shí)誤差函數(shù)曲線如圖4。對(duì)比圖3、圖4發(fā)現(xiàn)，圖4的e 4能較快地趨于零，這是由于在圖4中4=20，而在圖3中4=1。由此可知，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)可以達(dá)到較好的同步效果。通過(guò)大量的仿真可看出簡(jiǎn)化后的控制器只要參數(shù)合適仍可以同步，滿(mǎn)足lim e (t =0。e i 之間存在的耦合關(guān)系使得在對(duì)t ， 研究論文（Articles ）某個(gè)e i 調(diào)控時(shí)，相應(yīng)地帶動(dòng)其他誤差項(xiàng)

22、趨于零。路、同步電路、響應(yīng)電路。圖中的運(yùn)算放大器均為L(zhǎng)F347D ，電路中各元件的數(shù)值由系統(tǒng)的參數(shù)決定。電路中1/(RC 是積分因子，決定混沌信號(hào)的頻率；通過(guò)改變電阻R 或電容C ，可以改變混沌信號(hào)的頻率，從而滿(mǎn)足混沌通信的要求。電路圖5的輸出混沌吸引子如圖6所示。3電路實(shí)現(xiàn)根據(jù)系統(tǒng)方程設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步電路，如圖5所示。整個(gè)電路由3部分組成：驅(qū)動(dòng)電（a ）驅(qū)動(dòng)電路（廣義Lorenz 系統(tǒng)）（b ）響應(yīng)電路（超混沌L ü系統(tǒng)）(aDrive circuit (GeneralLorenz system(bResponse circuit

23、(HyperchaoticL üsystem雨下（c ）同步電路(cSynchronization circuit圖5廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步電路Fig. 5Synchronization circuit between Generalized Lorenz system and Hyperchaotic L üsystem2010，28（10）71 研究論文（Articles ）綜上所述，由模擬電路實(shí)現(xiàn)了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步，從而證實(shí)自適應(yīng)反饋法可以實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步。4結(jié)論本文采用自適應(yīng)反饋同

24、步的方法構(gòu)建了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步控制器。從數(shù)值仿真和電路實(shí)現(xiàn)兩方面，實(shí)現(xiàn)了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步。結(jié)果表明，采用自適應(yīng)反饋法可以實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步，而且對(duì)于具體的誤差，系統(tǒng)可通過(guò)調(diào)整控制器的參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)同步，具有穩(wěn)健、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。參考文獻(xiàn)（References ）1Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic system J.Physical觀測(cè)示波器中誤差函數(shù)的曲線，發(fā)現(xiàn)誤差函數(shù)能較快趨于零，從而在模擬電路上實(shí)現(xiàn)了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L &

25、#252;系統(tǒng)的同步。圖7是誤差函數(shù)e 2分別在00.8s和2.63.6s時(shí)間的變化曲線，其他誤差函數(shù)e 1，e 3，e 4的變化曲線亦類(lèi)似。Review Letters , 1990, 64(8:821-824.2Pyragas K. Predictable chaos in slightly perturbed unpredictable chaos system J.Physical Review A , 1993, 181:203-210.3陳志盛, 孫克輝, 張?zhí)┥? Liu 混沌系統(tǒng)的非線性反饋同步控制J.物理學(xué)報(bào), 2005, 54(6:2580-2583.Chen Zhishe

26、ng, Sun Kehui, Zhang Taishan. Acta Physica Sinica , 2005, 54(6:2580-2583.4Kocarev L, Parlitz U. General Approach for Chaotic Synchronization with Applications to Communication J.Physical Review Letters , 1995, 74:5028-5031.5李智, 韓崇昭. 一類(lèi)含參數(shù)不確定性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制J.物理學(xué)報(bào), 2001, 50(5:847-850.Li Zhi, Han Chongzhao

27、. Acta Physica Sinica , 2001, 50(5:847-850. 6岳東, Yoneyama J. 含不確定性混沌系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)同步J.物理學(xué)報(bào), 2003, 50(2:292-297.Yue Dong, Yoneyama J. Acta Physica Sinica , 2003, 50(2:292-297. 7陳菊芳, 張入元, 彭建華. 脈沖驅(qū)動(dòng)離散混沌系統(tǒng)同步的實(shí)驗(yàn)與理論研究圖7誤差函數(shù)e 2變化曲線J.物理學(xué)報(bào), 2003, 52(7:1589-1594.Chen Jufang, Zhang Ruyuan, Peng Jianhua. Acta Physica Sinica , 2003, 52(7:1589-1594.8楊林保, 楊濤