異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的同步及電路實現(xiàn)

1、 研究論文（Articles ）異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的同步及電路實現(xiàn)廖洪運，王玲，張協(xié)衍湖南大學電氣與信息工程學院，長沙410082摘要為了實現(xiàn)兩個不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步，采用自適應反饋同步的方法，構(gòu)建了混沌同步控制器。在控制器的作用下，驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)可以實現(xiàn)同步。通過對廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步進行數(shù)值仿真和電路實現(xiàn)，證實了自適應反饋法可以實現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步。該方法不僅有效、可靠，而且對于具體的誤差，系統(tǒng)可通過調(diào)整控制器的參數(shù)來實現(xiàn)同步，具有穩(wěn)健、易于實現(xiàn)等優(yōu)點。關(guān)鍵詞廣義Lorenz 系統(tǒng)；超混沌L ü系統(tǒng)；同步；自適應反饋控制；電路

2、實現(xiàn)中圖分類號O545文獻標識碼A 文章編號1000-7857（2010）10-0068-05Synchronization of Hyperchaotic Systems with Different Structures and Its Circuit ImplementationLIAO Hongyun, WANG Ling, ZHANG XieyanCollege of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, ChinaAbstractTo achieve synchroniz

3、ation of two different hyperchaotic systems, controllers with adaptive feedback control are designed.Results of simulation indicate that some variables in the generalized Lorenz system take values greater than ±15V and all output variables in the hyperchaotic L üsystem are in the range of

4、±15V. However, the normal working voltage of analog circuit is ±15V. It is necessary to perform a linear transformation for the generalized Lorenz system, but it is not necessary for the hyperchaotic L üsystem. The transformed generalized Lorenz system serves as a drive system, and th

5、e response system is the hyperchaotic L üsystem. Based on the adaptive feedback principles, the controllers of their synchronization are designed. The simulation results show that the synchronization can be achieved between the transformed generalized Lorenz system and the hyperchaotic L ü

6、system. On this basis, the master circuit, the slave circuit and their synchronous control circuit are designed. The transformed generalized Lorenz attractor and the hyperchaotic L üattractor are observed through the oscilloscope. With the synchronous control circuit, the synchronization of the

7、 master and slave systems can be realized. Numerical simulation and circuit experiment results show that the synchronization between hyperchaotic systems of different structures can be reliably achieved by applying the proposed method. Furthermore, the synchronization can be achieved by adjusting pa

8、rameters of the controllers, which is easy and makes a stable system.Keywords generalized Lorenz system; hyperchaotic L üsystem; synchronization; adaptive feedback control; analogue circuit0引言20世紀90年代初，Pecora 等1提出一種混沌同步方法，用以實現(xiàn)相同系統(tǒng)的混沌同步，之后混沌同步一直是研究非線性科學的熱點課題之一。目前為止，許多學者提出了多種方法用以實現(xiàn)混沌同步，主要有驅(qū)動-響應同步

9、法1、線性和非線性反饋控制同步法2-3、主動-被動同步法4、自適應同步法5-6、脈沖同步法7-8等。收稿日期：2010-03-29基金項目：湖南省教育廳資助科研項目（06C522）國內(nèi)外學者對混沌同步問題做了大量研究，這些方法多數(shù)用于2個相同系統(tǒng)的不同初值的同步。但因為異結(jié)構(gòu)（即不同系統(tǒng)）間存在不同結(jié)構(gòu)以及參數(shù)失配問題，對其同步問題的研究相對較少。在實際應用中，特別是用于保密通信的混沌系統(tǒng)同步，驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有可能不同，考慮異結(jié)構(gòu)的同步更具有實際意義。與低維混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)具有更為復雜的動力學行為，其特點是至少在四維及更高維的非線作者簡介：廖洪運，碩士研究生，研究方向為混沌控

10、制和同步，電子信箱:liaohy76.student；王玲（通信作者），教授，研究方向為現(xiàn)代網(wǎng)絡和通信技術(shù)，電子信箱：wl_hunu， 研究論文（Articles ）性系統(tǒng)中具有2個或2個以上正的Lyapunov 指數(shù)，具有更高的保密性，超混沌系統(tǒng)的同步研究具有重要的價值。文獻9利用2種不同的方法實現(xiàn)超混沌Chen 系統(tǒng)和超混沌Rossler 系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步，文獻10提出了實現(xiàn)超混沌22222222222222222觶=a 1(y x +c 1w x 觶=xy b 1z z（6）觶=d 1x xz y yRossler 系統(tǒng)與廣義Lorenz 系統(tǒng)的同步新方法，文獻11研究超混沌Chen 系

11、統(tǒng)與廣義的Lorenz 系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步。上述研究大多是理論或數(shù)值方面的工作，電路的實現(xiàn)比較少見。本文采用自適應反饋同步的方法，構(gòu)建了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌觶=x a 1w w由于廣義Lorenz 系統(tǒng)有的狀態(tài)變量可能大于15，而模擬電路中運算放大器的輸出僅為±15V ，為保證電路的正常運行，必須對式（6）進行線性變換。令x =20x 1，y =20x 2，z =20x 3，w =20x 4，得22222222222222222L ü系統(tǒng)的混沌同步控制器。通過Matlab 仿真，驗證了該方法是可行的。在此基礎上，設計了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系

12、統(tǒng)的同步模擬電路。數(shù)值仿真和電路實驗結(jié)果表明，自適應反饋同步法可以實現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)的超混沌系統(tǒng)間的同步。觶1=a 1(x 2x 1+c 1x 4x觶2=d 1x 120x 1x 3x 2x觶3=20x 1x 2b 1x 3x 觶4=x 1a 1x 4x（7）1同步方法考慮由下面數(shù)學模型描述的混沌系統(tǒng)其中，系統(tǒng)參數(shù)a 1=1，b 1=0.7，c 1=1.5，d 1=26.0。超混沌L ü系統(tǒng)12為（1）22222222222222222觶=f （x ）xTn觶1=a 2(y 2-y 1+y 4y觶2=b 2y 2-4y 1y 3y觶3=-c 2y 3+4y y 觶4=d 2y 2y21其中

13、，x =(x 1, x 2, , x n T R n 為式（1）的狀態(tài)向量，f (x =(f 1(x , f 2(x , , f n (x R 為非線性向量場。將式（1）作為驅(qū)動系統(tǒng)，則響應系統(tǒng)為（8）觶=g (y +u yTnTnTn（2）其中，y =(y 1, y 2, , y n R 為式（2）的狀態(tài)向量，g (y =(g 1(y , g 2(y , , g n (y R 為非線性函數(shù)，u =(u 1, u 2, , u n R 為控制器。設響應系統(tǒng)式（2）和驅(qū)動系統(tǒng)式（1）之間的狀態(tài)誤差為e =其中，系統(tǒng)參數(shù)a 2=10，b 2=5，c 2=3，d 2=0.5。下面采用自適應反饋的方法

14、來實現(xiàn)這2個系統(tǒng)間的同步。以式（7）Lorenz 系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，受控的超混沌L ü系統(tǒng)為響應系統(tǒng)，則22222222222222222y x ，誤差向量e =(e 1, e 2, , e n R ，式（2）與式（1）相減，得到誤Tn差系統(tǒng)為觶1=a 2(y 2-y 1+y 4+u 1y觶2=b 2y 2-4y 1y 3+u 2y觶3=-c 2y 3+4y +u 3y21觶=g (x +e f (x +u et （3）（9）同步目標為選取合適的u ，使lim e (t =0，其中，e (t 為誤差向量e 隨時間變化的函數(shù)。假定：設式（1）的混沌吸引子為有界閉集，f (x 是定義在上

15、的連續(xù)函數(shù)；g (y 是定義在集合S 上的有界函數(shù)且S 勱。引理10觶4=d 2y 2+u 4y設響應系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)之間的狀態(tài)誤差為e i =y i x i (i =1,2, 3, 4由式（9）減去式（7）可得誤差系統(tǒng)為22222222222222222設函數(shù)(x =(1(x , 2(x , ，n (x 是定義在閉集T上的有界函數(shù)，對誤差系統(tǒng)觶1=(-10e 1+10e 2+e 4+(-9x 1+9x 2-0.5x 4+u 1e觶2=5e 2+(-4x 1e 3-4x 3e 1-4e 1e 3+(-26x 1+6x 2+16x 1x 3+u 2e觶3=-3e 3+(8x 1e 1+4e +(4

16、x -20x 1x 2-2.3x 3+u 3e2121觶i =g i (y f i (x +u i e當t t 0時，有|e i |c , i =1,2, , n 。定理10得(i =1,2, , n （4）（10）觶i =-i e i 2, i >0，則存在t 00, c >0，使得若取u i =-i (x +i e i , 若存在連續(xù)函數(shù)i (x ，m ij (x 及多項式函數(shù)n ij (e 使n觶4=0.5e 3+(x 1+0.5x 2+x 4+u 4e2222222222222為實現(xiàn)式（7）與式（9）同步，將式（10）與式（5）比較，可知1(x =-9x 1+9x 2-0.

17、5x 42(x =-26x 1+6x 2+16x 1x 33(x =4x 12-20x 1x 2-2.3x 34(x =x 1+0.5x 2+x 4（11）g i (x+e f i (x =i (x +e j m ij (x n ij (e , i =1,2, , nj =1（5）觶i =-e , i >0,i =1,2, , n ，則可以選取控制器u i =-i (x +i e i , 2i i使lim e (t =0。t 觶i =-i e i 2, i >0,根據(jù)定理可以選取控制器A ：u i =-i (x +i e i , i =1,2, 3, 4。在數(shù)值仿真中選擇1=10，

18、1(0=0；2=10，2(0=0；3=1，3(0=0；4=1，4(0=0；初值分別為x 1(0=0，x 2(0=0，x 3(0=-1，x 4(0=1；y 1(0=1，y 2(0=1，y 3(0=0，y 4(0=0.5；得到驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的混沌吸引子在三維空間的投影如圖1所示。2Matlab 驗證廣義Lorenz 系統(tǒng)的數(shù)學模型為2010，28（10）69 研究論文（Articles ）誤差e i 及參數(shù)i 隨時間的演化曲線如圖2所示，隨著時間的增加，誤差e i （i =1,2, 3, 4）趨于零，而i （i =1,2, 3, 4）則趨于不同常值。這表明該方法能有效地實現(xiàn)異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的同

19、步。也可對上面選擇的控制器進行簡化，由式（9）右端可知，如果u 3=3(x ，且e 10，則e 30(t ，因此選取控制器B ：u i =觶i =-i e i 2, i >0,i =1,2, 4，u 3=3(x 。在數(shù)值仿真中選擇-i (x +i e i , 1=10，1(0=0；2=10，2(0=0；3=0，3(0=0；4=1，4(0=0；初值仍選取x 1(0=0，x 2(0=0，x 3(0=-1，x 4(0=1；y 1(0=1，y 2(0=1，y 3(0=0，y 4(0=0.5；此時誤差e i 及參數(shù)i 隨時間的演化曲線如圖3。（a ）驅(qū)動系統(tǒng)（b ）相應系統(tǒng)(aDrive syst

20、em (bResponse system圖1驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的吸引子Fig. 1Attractor of drive system and response system(a誤差函數(shù)曲線(aError function curve（b ）參數(shù)的演化曲線(bParameter Curve圖2系統(tǒng)在控制器A 的同步情形Fig. 2Synchronization in the controller case A（a ）誤差函數(shù)e 的演化曲線（b ）參數(shù)的演化曲線(aError fuction Curve(bParameter Curve圖3系統(tǒng)在控制器B 的同步情形Fig. 3Synchroniz

21、ation in the controller case B對比圖2、圖3中的誤差函數(shù)發(fā)現(xiàn)，圖2同步效果更好，這是因為控制器A 的控制項比控制器B 的多，同時也增加了系統(tǒng)的復雜性。若仍采用控制器B ，取4=20，其他系統(tǒng)參數(shù)和初始值均不變，此時誤差函數(shù)曲線如圖4。對比圖3、圖4發(fā)現(xiàn)，圖4的e 4能較快地趨于零，這是由于在圖4中4=20，而在圖3中4=1。由此可知，通過調(diào)節(jié)參數(shù)可以達到較好的同步效果。通過大量的仿真可看出簡化后的控制器只要參數(shù)合適仍可以同步，滿足lim e (t =0。e i 之間存在的耦合關(guān)系使得在對t ， 研究論文（Articles ）某個e i 調(diào)控時，相應地帶動其他誤差項

22、趨于零。路、同步電路、響應電路。圖中的運算放大器均為LF347D ，電路中各元件的數(shù)值由系統(tǒng)的參數(shù)決定。電路中1/(RC 是積分因子，決定混沌信號的頻率；通過改變電阻R 或電容C ，可以改變混沌信號的頻率，從而滿足混沌通信的要求。電路圖5的輸出混沌吸引子如圖6所示。3電路實現(xiàn)根據(jù)系統(tǒng)方程設計了實現(xiàn)廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步電路，如圖5所示。整個電路由3部分組成：驅(qū)動電（a ）驅(qū)動電路（廣義Lorenz 系統(tǒng)）（b ）響應電路（超混沌L ü系統(tǒng)）(aDrive circuit (GeneralLorenz system(bResponse circuit

23、(HyperchaoticL üsystem雨下（c ）同步電路(cSynchronization circuit圖5廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步電路Fig. 5Synchronization circuit between Generalized Lorenz system and Hyperchaotic L üsystem2010，28（10）71 研究論文（Articles ）綜上所述，由模擬電路實現(xiàn)了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步，從而證實自適應反饋法可以實現(xiàn)異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步。4結(jié)論本文采用自適應反饋同

24、步的方法構(gòu)建了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步控制器。從數(shù)值仿真和電路實現(xiàn)兩方面，實現(xiàn)了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L ü系統(tǒng)的同步。結(jié)果表明，采用自適應反饋法可以實現(xiàn)異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)間的同步，而且對于具體的誤差，系統(tǒng)可通過調(diào)整控制器的參數(shù)來實現(xiàn)同步，具有穩(wěn)健、易于實現(xiàn)等優(yōu)點。參考文獻（References ）1Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic system J.Physical觀測示波器中誤差函數(shù)的曲線，發(fā)現(xiàn)誤差函數(shù)能較快趨于零，從而在模擬電路上實現(xiàn)了廣義Lorenz 系統(tǒng)與超混沌L &

25、#252;系統(tǒng)的同步。圖7是誤差函數(shù)e 2分別在00.8s和2.63.6s時間的變化曲線，其他誤差函數(shù)e 1，e 3，e 4的變化曲線亦類似。Review Letters , 1990, 64(8:821-824.2Pyragas K. Predictable chaos in slightly perturbed unpredictable chaos system J.Physical Review A , 1993, 181:203-210.3陳志盛, 孫克輝, 張?zhí)┥? Liu 混沌系統(tǒng)的非線性反饋同步控制J.物理學報, 2005, 54(6:2580-2583.Chen Zhishe

26、ng, Sun Kehui, Zhang Taishan. Acta Physica Sinica , 2005, 54(6:2580-2583.4Kocarev L, Parlitz U. General Approach for Chaotic Synchronization with Applications to Communication J.Physical Review Letters , 1995, 74:5028-5031.5李智, 韓崇昭. 一類含參數(shù)不確定性混沌系統(tǒng)的自適應控制J.物理學報, 2001, 50(5:847-850.Li Zhi, Han Chongzhao

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