第5章最小二乘法

1、第第5章章 線性參數(shù)的最小二乘法處理線性參數(shù)的最小二乘法處理 最小二乘法是用于數(shù)據(jù)處理和誤差估最小二乘法是用于數(shù)據(jù)處理和誤差估計(jì)中的一個(gè)很得力的數(shù)學(xué)工具。對(duì)于從計(jì)中的一個(gè)很得力的數(shù)學(xué)工具。對(duì)于從事精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)的人們說(shuō)來(lái)，應(yīng)用最小事精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)的人們說(shuō)來(lái)，應(yīng)用最小二乘法來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，仍是目前二乘法來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，仍是目前必不可少的手段。必不可少的手段。 第一節(jié)第一節(jié) 最小二乘法原理最小二乘法原理 最小二乘法的發(fā)展已經(jīng)歷了200多年的歷史，它最早起源于天文和大地測(cè)量的需要，其后在許多科學(xué)領(lǐng)域里獲得了廣泛應(yīng)用。特別是近代矩陣?yán)碚撆c電子計(jì)算機(jī)相結(jié)合。使最小二乘法不斷地發(fā)展而久盛不衰。 最小二

2、乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋求最可信賴值的問(wèn)題。 一、問(wèn)題背景問(wèn)題背景 在測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常需要根據(jù)兩個(gè)量的一批觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，n求出這兩個(gè)變量Y與X之間所滿足的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式Y(jié)f(X)。 若變量間的函數(shù)形式根據(jù)理論分析或以往的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)確定好了，而其中有一些參數(shù)是未知的，則可通過(guò)觀測(cè)的數(shù)據(jù)來(lái)確定這些參數(shù)； 若變量間的具體函數(shù)形式尚未確定，則需要通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)確定函數(shù)形式及其中的參數(shù)。 一、問(wèn)題背景問(wèn)題背景 在多數(shù)估計(jì)和曲線擬合的問(wèn)題中，不論是參數(shù)估計(jì)還是曲線擬合，都要求確定某些(或一個(gè))未知量，使得所確定的未知量能最好地適應(yīng)所測(cè)得的一組觀測(cè)值，即對(duì)觀測(cè)值提供

3、一個(gè)好的擬合。 解決這類問(wèn)題最常用的方法就是最小二乘法。 在一些情況下，即使函數(shù)值不是隨機(jī)變量，最小二乘法也可使用。 設(shè)X和Y兩個(gè)物理量之間的函數(shù)關(guān)系為假定此函數(shù)關(guān)系f已知，但其中a1，a2，ak等參數(shù)還未求出，現(xiàn)對(duì)于X和Y有一批觀測(cè)數(shù)據(jù)： xi，yi ，i1，2，,n，要利用這批數(shù)據(jù)在一定法則之下作出這些參數(shù)a1，a2，ak的估計(jì)。 假設(shè)諸觀測(cè)值相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布。在等精度觀測(cè)的情況下，即認(rèn)為各誤差服從相同的正態(tài)分布N(0， y)。 現(xiàn)在的問(wèn)題是一個(gè)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題：需要給出a1，a2，ak的估計(jì)值 ， ， 。 解決這類問(wèn)題最常用的方法就是最小二乘法。在一些情況下，即使函數(shù)值不是隨機(jī)變量，最

4、小二乘法也可使用。 1 a2 aka 一般根據(jù)測(cè)量的實(shí)際情況，可假設(shè)變量X的測(cè)量沒(méi)有誤差(或與Y的誤差相比很小，可略去)，而變量Y的測(cè)量有誤差，故關(guān)于Y的觀測(cè)值yi可以寫成這里y0i表示xi對(duì)于的Y的變量真值，i表示相應(yīng)的測(cè)量誤差。 二、最小二乘法準(zhǔn)則與正規(guī)方程二、最小二乘法準(zhǔn)則與正規(guī)方程 在參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中，最小二乘法的法則最小二乘法的法則是： 所選取的參數(shù)估計(jì)值 ， ， 應(yīng)使變量Y的諸觀測(cè)值yi與其真值的估計(jì)值(又叫擬合值)，即f(xi；a1,a2，ak)之差的平方和為最小。 用式子表示時(shí)，記殘差i為1 a2 aka 最小二乘法就是要求 =最小最小在這個(gè)條件下，利用數(shù)學(xué)中求極值的方法可以求出

5、參數(shù) ， ， 。這樣求出的參數(shù)叫參數(shù)的最小二乘估計(jì)。 1 a2 aka 正規(guī)方程正規(guī)方程 根據(jù)數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)極值的條件： =最小最小共得k個(gè)方程，稱正規(guī)方程正規(guī)方程，求此聯(lián)立方程的解可得出諸參數(shù)估計(jì)值 (j1，2，k)。ja 不等精度情況下的最小二乘法不等精度情況下的最小二乘法 以上是等精度觀測(cè)的情況，若諸觀測(cè)值yi是不等精度的觀測(cè)，即它們服從不同的方差i2的正態(tài)分布N(0，1)，那么也不難證明，在這種情況下，最小二乘法可改為： 選取的參數(shù)估值應(yīng)使諸觀測(cè)值yi與其估計(jì)值 之差的加權(quán)平方和為最小。用式子表示就是要使 iy =最小最小其中，wi為各觀測(cè)值yi的權(quán)。wi2i2，i1，2，n。這里2

6、為任選的正常數(shù)，它表示單位權(quán)方差。 不等精度情況下的最小二乘法正規(guī)方程不等精度情況下的最小二乘法正規(guī)方程同樣地，根據(jù)數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)極值的條件：共得k個(gè)方程，稱正規(guī)方程，求此聯(lián)立方程的解可得出諸參數(shù)估計(jì)值 (j1，2，k)。 ja 最小二乘法最小二乘法的的幾何意義幾何意義 從幾何圖形上可看出,最小二乘法就是要在穿過(guò)各觀測(cè)點(diǎn)(xi，yi)之間找出這樣一條估計(jì)曲線，使各觀測(cè)點(diǎn)到該曲線的距離的平方和為最小。 YX三、最小二乘法與最大似然法的關(guān)系三、最小二乘法與最大似然法的關(guān)系 如果假定各觀測(cè)值是相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布，期望值是(xi；a1，a2，ak)，方差是i2, 則觀測(cè)值的似然函數(shù)為 最大似然法

7、要求上式取極大值，這就相當(dāng)于要求指數(shù)項(xiàng)中的=最小最小這就說(shuō)明了在觀測(cè)值服從正態(tài)分布的條件下，最這就說(shuō)明了在觀測(cè)值服從正態(tài)分布的條件下，最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)是一致的。小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)是一致的。 觀測(cè)值不服從正態(tài)分布時(shí)的最小二乘估計(jì)觀測(cè)值不服從正態(tài)分布時(shí)的最小二乘估計(jì) 實(shí)質(zhì)上，按最小二乘條件給出最終結(jié)果能充分地利用誤差的抵償作用，可以有效地減小隨機(jī)誤差的影響，因而所得結(jié)果具有最可信賴性。 假若觀測(cè)值不服從正態(tài)分布，則最小二乘估計(jì)并不是最大似然估計(jì)。但應(yīng)該指出，在有些問(wèn)題中觀測(cè)值雖然不服從正態(tài)分布，但當(dāng)樣本容量很大時(shí)，似然函數(shù)也趨近于正態(tài)分布，因此，這時(shí)使用最小二乘法和最大似然法實(shí)質(zhì)也

8、是一致的。 不服從正態(tài)分布時(shí)最小二乘法的統(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì)不服從正態(tài)分布時(shí)最小二乘法的統(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì) 若觀測(cè)值是服從正態(tài)分布的，這時(shí)最小二乘法和最大似然法實(shí)際上是一回事。但觀測(cè)值不服從正態(tài)分布或其分布未知時(shí)，這時(shí)用最小二乘法顯得缺乏理論的驗(yàn)證。但應(yīng)該指出，作為一種公理來(lái)使用，最小二乘法仍然是可以接受的，而且可以證明，所得到的估計(jì)仍然具有一些很好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，這些性質(zhì)是： (1)解是無(wú)偏的，即(2)解是觀測(cè)值的線性組合，且有最小方差。這稱為高斯馬爾可夫定理;(3) 加權(quán)的殘差平方和的期望值是當(dāng)21，即取wi1/i2，這時(shí)稱為2 量。期望值為nk。第二節(jié)第二節(jié) 線性參數(shù)的最小二乘法線性參數(shù)的最小二乘法 一般情況

9、下，最小二乘法可以用于線性參數(shù)的處理，也可用于非線性參數(shù)的處理。由于測(cè)量的實(shí)際問(wèn)題中大量的是屬于線性的，而非線性參數(shù)借助于級(jí)數(shù)展開的方法可以在某一區(qū)域近似地化成線性的形式。 因此，線性參數(shù)的最小二乘法處理是最小線性參數(shù)的最小二乘法處理是最小二乘法理論所研究的基本內(nèi)容二乘法理論所研究的基本內(nèi)容。 一、線性參數(shù)的測(cè)量方程一般形式一、線性參數(shù)的測(cè)量方程一般形式 線性參數(shù)的測(cè)量方程一般形式為 （5-7） 相應(yīng)的估計(jì)量為（5-8） 誤差方程誤差方程其誤差方程為（5-9） 二、線性參數(shù)的誤差方程式的矩陣形式二、線性參數(shù)的誤差方程式的矩陣形式設(shè)有列向量 和nt階矩陣(nt) 則線性參數(shù)的誤差方程式(59)可

10、表示為 即（5-10） 等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式即或（5-11） （5-12） 殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為 不等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式不等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式最小二乘原理的矩陣形式為 或（5-14） （5-13） 式中的P為nn階權(quán)矩陣。 線性參數(shù)的不等精度測(cè)量還可以轉(zhuǎn)化為等精度的形式，從而可以利用等精度測(cè)量時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理的全部結(jié)果。三、線性參數(shù)最小二乘法的正規(guī)方程三、線性參數(shù)最小二乘法的正規(guī)方程 為了獲得更可取的結(jié)果，測(cè)量次數(shù)n總要多于未知參數(shù)的數(shù)目t，即所得誤差方程式的數(shù)目總是要多于未知數(shù)的數(shù)目。因而直接用一

11、般解代數(shù)方程的方法是無(wú)法求解這些未知參數(shù)的。 最小二乘法則可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程組(其方程式數(shù)目正好等于未知數(shù)的個(gè)數(shù))，從而可求解出這些未知參數(shù)。這個(gè)有確定解的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計(jì)的正規(guī)方程正規(guī)方程(或稱為法方程)。 1線性參數(shù)的最小二乘法處理的基線性參數(shù)的最小二乘法處理的基本程序本程序 線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結(jié)為：線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結(jié)為：（1）根據(jù)具體問(wèn)題列出誤差方程式；）根據(jù)具體問(wèn)題列出誤差方程式；（2）按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程）按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程；轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程；（3）求解正規(guī)方程

12、，得到待求的估計(jì)量；）求解正規(guī)方程，得到待求的估計(jì)量；（4）給出精度估計(jì)。）給出精度估計(jì)。對(duì)于非線性參數(shù)，可先將其線性化，然后按上述線性參對(duì)于非線性參數(shù)，可先將其線性化，然后按上述線性參數(shù)的最小二乘法處理程序去處理。數(shù)的最小二乘法處理程序去處理。 建立正規(guī)方程是待求參數(shù)最小二乘法處建立正規(guī)方程是待求參數(shù)最小二乘法處理的基本環(huán)節(jié)。理的基本環(huán)節(jié)。2等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘法處理等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程的正規(guī)方程 線性參數(shù)的誤差方程式為最小二乘法處理的正規(guī)方程為 （5-19） 這是一個(gè)t元線性方程組當(dāng)其系數(shù)行列式不為零時(shí)，有唯一確定的解，由此可解得欲求的估計(jì)量 線性參數(shù)正規(guī)方

13、程的矩陣形式線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式 正規(guī)方程(519)組，還可表示成如下形式 表示成矩陣形式為 線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式（5-21） 又因 有 即 （5-22） 若令 則正規(guī)方程又可寫成 （5-22） （5-23） 若矩陣C是滿秩的，則有 的數(shù)學(xué)期望 X因式中Y、X為列向量(n 1階矩陣和tl階矩陣) 可見X是X的無(wú)偏估計(jì)。 其中矩陣元素Y1，Y2，Yn為直接量的真值，而Xl，X2，Xn為待求量的真值。 例例51 在不同溫度下，測(cè)定銅棒的長(zhǎng)度如下表，試估計(jì)在不同溫度下，測(cè)定銅棒的長(zhǎng)度如下表，試估計(jì)0時(shí)時(shí)的銅棒長(zhǎng)度的銅棒長(zhǎng)度y0和銅的線膨脹系數(shù)和銅的線膨脹系數(shù)。

14、解：（1）列出誤差方程式中, li在溫度ti下銅棒長(zhǎng)度的測(cè)得值； 銅的線膨脹系數(shù)。 令y0a，y0=b為兩個(gè)待估計(jì)參量，則誤差方程可寫為 (2) 列出正規(guī)方程為計(jì)算方便，將數(shù)據(jù)列表如下： 將表中計(jì)算出的相應(yīng)系數(shù)值代人上面的正規(guī)方程得（3）求出待求估計(jì)量）求出待求估計(jì)量 求解正規(guī)方程解得待求估計(jì)量即按矩陣形式解算按矩陣形式解算由正規(guī)方程，有由正規(guī)方程，有則所以所以（4）給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果）給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果銅棒長(zhǎng)度yt隨溫度t的線性變化規(guī)律為3不等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘法處理的不等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程正規(guī)方程 不等精度測(cè)量時(shí)線性參數(shù)的誤差方程仍如上述式(59)一樣，但在進(jìn)行最小二乘

15、法處理時(shí)，要取加權(quán)殘余誤差平方和為最小，即 用矩陣表示的正規(guī)方程與等精度測(cè)量情況類似，可表示為 （5-27） 即上述正規(guī)方程又可寫成（5-28） 該方程的解，即參數(shù)的最小二乘法處理為（5-29） 令則有（5-30） 例例52 某測(cè)量過(guò)程有誤差方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差如下： 試求x1，x2的最小二乘法處理正規(guī)方程的解。 解：解：（1）首先確定各式的權(quán)（2）用表格計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)）用表格計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)（3）給出正規(guī)方程）給出正規(guī)方程（4）求解正規(guī)方程組）求解正規(guī)方程組解得最小二乘法處理結(jié)果為四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系的關(guān)系為了確定一

16、個(gè)量X的估計(jì)量x，對(duì)它進(jìn)行n次直接測(cè)量，得到n個(gè)數(shù)據(jù) l1，l2，ln，相應(yīng)的權(quán)分別為p1，p2，pn，則測(cè)量的誤差方程為(5-35)其最小二乘法處理的正規(guī)方程為 (5-36)由誤差方程知al，因而有可得最小二乘法處理的結(jié)果 (5-37)這正是不等精度測(cè)量時(shí)加權(quán)算術(shù)平均值原理所給出的結(jié)果。對(duì)于等精度測(cè)量有對(duì)于等精度測(cè)量有 則由最小二乘法所確定的估計(jì)量為此式與等精度測(cè)量時(shí)算術(shù)平均值原理給出的結(jié)果相同。 由此可見，最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理可以看做是最小二乘法原理的特例。 第三節(jié)第三節(jié) 精度估計(jì)精度估計(jì) 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)最小二乘法處理的最終結(jié)果，不僅要給出待求量的最可信賴的估

17、計(jì)量，而且還要確定其可信賴程度，即應(yīng)給出所得估計(jì)量的精度。 一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 為了確定最小二乘估計(jì)量X1，X2，Xt的精度，首先需要給出直接測(cè)量所得測(cè)量數(shù)據(jù)的精度。測(cè)量數(shù)據(jù)的精度也以標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。因?yàn)闊o(wú)法求得的真值，因而只能依據(jù)有限次的測(cè)量結(jié)果給出的估計(jì)值 ，所謂給出精度估計(jì)，實(shí)際上是求出估計(jì)值 。 （一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)（一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 設(shè)對(duì)包含t個(gè)未知量的n個(gè)線性參數(shù)方程組（57）進(jìn)行n次獨(dú)立的等精度測(cè)量，獲得了n個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)l1，l2，ln。其相應(yīng)的測(cè)量誤差分別為1，2，n，它們是互不相關(guān)的隨機(jī)誤差。因?yàn)橐话闱闆r下真誤差1，2，n是未知的，

18、只能由殘余誤差l，2，n給出的估計(jì)量。 nii122/前面已證明前面已證明是自由度為（nt）的2變量。根據(jù)2變量的性質(zhì)，有（5-39）取 （5-40）可以證明它是2的無(wú)偏估計(jì)量 因?yàn)榱?xí)慣上，式5-40的這個(gè)估計(jì)量也寫成2，即 （5-41）因而測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為（5-43）例例53 試求例試求例51中銅棒長(zhǎng)度的測(cè)量精度。中銅棒長(zhǎng)度的測(cè)量精度。已知?dú)堄嗾`差方程為將ti，li，值代人上式，可得殘余誤差為（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)與等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)相似，只是公式中的殘余誤差平方和變?yōu)榧訖?quán)的殘余誤差平方和，測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)

19、方差的無(wú)偏估計(jì)為（5-44） 通常習(xí)慣寫成（5-45） 測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為 （5-46） 二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 最小二乘法所確定的估計(jì)量X1，X2，Xt的精度取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線性方程組所給出的函數(shù)關(guān)系。對(duì)給定的線性方程組，若已知測(cè)量數(shù)據(jù)l1，l2，ln的精度，就可求得最小二乘估計(jì)量的精度。 下面首先討論等精度測(cè)量時(shí)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)。 設(shè)有正規(guī)方程 現(xiàn)要給出由此方程所確定的估計(jì)量xl，x2，xt的精度。為此，利用不定乘數(shù)法求出xl，x2，xt的表達(dá)式，然后再找出估計(jì)量xl，x2，xt的精度與測(cè)量數(shù)據(jù)l1，l2，ln精度的關(guān)系，即可得到估計(jì)量

20、精度估計(jì)的表達(dá)式。 設(shè)d11，dl2，dlt；d2l，d22，d2t：； dtl，dt2，dtt分別為下列各方程組的解： 則各估計(jì)量則各估計(jì)量xl，x2，xt的方差為的方差為（5-52） 相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為（5-53） 式中，為測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。不等精度測(cè)量的情況與此類似。不等精度測(cè)量的情況與此類似。 矩陣形式的結(jié)果表達(dá)矩陣形式的結(jié)果表達(dá)利用矩陣的形式可以更方便地獲得上述結(jié)果。設(shè)有協(xié)方差矩陣(nn階矩陣)式中等精度獨(dú)立測(cè)量若l1，l2，ln為等精度獨(dú)立測(cè)量的結(jié)果，即且相關(guān)系數(shù)ij = 0，即Dlij = 0協(xié)方差矩陣 于是估計(jì)量的協(xié)方差為 式中各元素即為上述的不定乘數(shù)，可由矩陣(ATA)求逆而得，

21、或由式(551)求得。 各估計(jì)量各估計(jì)量xl，x2，xt的方差為的方差為不等精度測(cè)量同樣，也可得不等精度測(cè)量的協(xié)方差矩陣 式中 單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。矩陣式中各元素即為不定乘數(shù)，可由(ATPA)求逆得到，也可由式(554)求得。例例54 試求例試求例51中銅棒長(zhǎng)度和線膨脹系數(shù)估計(jì)量的精度中銅棒長(zhǎng)度和線膨脹系數(shù)估計(jì)量的精度 已知正規(guī)方程為測(cè)量數(shù)據(jù)li的標(biāo)準(zhǔn)差為解：解：根據(jù)所給正規(guī)方程的系數(shù)，可列出求解不定乘數(shù)方程組 （1）列出求解不定乘數(shù)方程組，并求解）列出求解不定乘數(shù)方程組，并求解分別解得（2）計(jì)算估計(jì)量a、b的標(biāo)準(zhǔn)差可得估計(jì)量a、b的標(biāo)準(zhǔn)差為因（3）求出y0、的標(biāo)準(zhǔn)差故有第四節(jié)第四節(jié) 組合測(cè)量的最小

22、二乘法處理組合測(cè)量的最小二乘法處理 所謂組合測(cè)量，是指直接或間接測(cè)量一組被測(cè)量的不同組合值，從它們相互組合所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測(cè)量的最佳估計(jì)值。 在精密測(cè)試工作中，組合測(cè)量占有十分重要的地位。例如，作為標(biāo)準(zhǔn)量的多面棱體、度盤、砝碼、電容器以及其它標(biāo)準(zhǔn)器的檢定等，為了減小隨機(jī)誤差的影響，提高測(cè)量精度，可采用組合測(cè)量的方法。 通常組合測(cè)量數(shù)據(jù)是用最小二乘法進(jìn)行處理，它是最小二乘法在精密測(cè)試中的一種重要的應(yīng)用。 組合測(cè)量應(yīng)用組合測(cè)量應(yīng)用 為簡(jiǎn)單起見，現(xiàn)以檢定三段劃線間距為例，說(shuō)明組合測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法。 如圖51所示，要求檢定刻線A、B、C、D間的距離x1、x2、x3。 （1）測(cè)量方案及測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù) 組合測(cè)量的方案（2）誤差方程）誤差方程根據(jù)測(cè)量方案列出誤差方程誤差方程的矩陣形式（3）寫出誤差方程的相關(guān)矩陣）寫出誤差方程的相關(guān)矩陣（4）求解估計(jì)量）求解估計(jì)量x1、x2、x3的最佳估計(jì)值的最佳估計(jì)值由式（5-24）得式中所以最后解得（5）計(jì)算各次的測(cè)量誤差值）計(jì)算各次的測(cè)量誤差值 1 = 0.013mm2 = 0.002mm3 = 0.007mm4 = 0.005mm5 = 0.015mm6 = 0.008mm將最佳估計(jì)值代入誤差方程得（6）計(jì)算各次測(cè)得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差）計(jì)算各次測(cè)得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差nii12=0.000536mm3