從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系

1、從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系 早在17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一個(gè)形狀的新思想的影響下，法國天文學(xué)家開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率，并指明拋物線還有一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無窮遠(yuǎn)處的圓從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓，都可以從其中的一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，從而辯證地看到了各類圓錐曲線間的關(guān)系下面我們從離心率對(duì)圓錐曲線的形狀的影響入手，來研究圓錐曲線間的關(guān)系，為了討論這個(gè)問題，我們首先在同一直角坐標(biāo)系中把橢圓、拋物線、雙曲線這三種曲線的方程統(tǒng)一起來1橢圓、拋物線、雙曲線的統(tǒng)一方程將橢圓 按向量 平移得到

2、，即 作橢圓的半通徑（即過橢圓焦點(diǎn)且垂直于長軸的半弦） ，用 表示 ，易證 ，同時(shí)易知 故橢圓的方程可寫成 類似地，將雙曲線 按向量 平移得到 ，即 作雙曲線的半通徑（即過雙曲線焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的半弦） ，用 表示 ，易證 ，同時(shí)易知 故雙曲線方程可寫成 對(duì)于拋物線 ， 為半通徑長，離心率 ，它也可寫成 ，于是在同一坐標(biāo)系下，三種曲線有統(tǒng)一方程 ，其中 是曲線的半通徑長，當(dāng) ， ， 時(shí)分別表示橢圓、拋物線、雙曲線2從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系設(shè)橢圓、雙曲線、拋物線有相同的半通徑，即統(tǒng)一方程中的 不變，令離心率 變化，在這種情況下，我們討論曲線變化趨勢在同一坐標(biāo)系下，作出這三種曲線如圖所示，設(shè) ，

3、 ， 分別是拋物線焦點(diǎn)、橢圓的左焦點(diǎn)和雙曲線的右焦點(diǎn)，則有 ， ， ，所以 這說明 點(diǎn)在 點(diǎn)右側(cè)，而 點(diǎn)在 點(diǎn)左側(cè)由此，我們來看三種曲線的位置關(guān)系（由曲線的對(duì)稱性，只考慮第一象限內(nèi)的情況），從統(tǒng)一方程不難看出，當(dāng)任意取定 時(shí)，設(shè)橢圓、拋物線和雙曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 ， ， ，有 這說明，雙曲線在拋物線上側(cè)，而橢圓在拋物線下側(cè)下面我們進(jìn)一步討論圓錐曲線間的關(guān)系（1）當(dāng)離心率 由小于1無限趨近于1時(shí)， （符號(hào)“”表示無限趨近于）即 這說明橢圓的左焦點(diǎn)無限趨近于拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓在第一象限內(nèi)向上移動(dòng)無限接近拋物線又因?yàn)?，所以 由于 由小于1無限趨近于1，所以 這說明橢圓右焦點(diǎn)沿 軸正向趨于無限遠(yuǎn)因此可以看出，在橢圓的情況下，當(dāng) 時(shí)，橢圓的極限情況就是拋物線（2）當(dāng)離心率 由大于1無限趨近于1時(shí)， ，即 這說明雙曲線右焦點(diǎn)無限接近于拋物線的焦點(diǎn)，且雙曲線右支在第一象限內(nèi)向下移動(dòng)無限接近拋物線又因?yàn)?，所以 由于 由大于1無限趨近于1，所以 這說明雙曲線左焦點(diǎn)沿 軸負(fù)方向趨于無限遠(yuǎn)因此可以看出，在雙曲線的情況下，當(dāng) 時(shí)，雙曲線的極限情況就是拋物線（3）在橢圓情況下，當(dāng) 時(shí)有 ， ， ，