用隨機變量來描述擲一枚硬幣的試驗結(jié)果寫出它的概率函 用隨機變量來描述擲一枚硬幣的試驗結(jié)果寫出它的概率函數(shù)和分布函

1、1. 用隨機變量來描述擲一枚硬幣的試驗結(jié)果. 寫出它的概率函數(shù)和分布函數(shù).解: 假設(shè)=1對應(yīng)于"正面朝上",=0對應(yīng)于反面朝上. 則P(=0)=P(=1)=0.5 . 其分布函數(shù)為2. 如果服從0-1分布, 又知取1的概率為它取0的概率的兩倍, 寫出的分布律和分布函數(shù).解: 根據(jù)題意有P(=1)=2P(=0)(1)并由概率分布的性質(zhì)知P(=0)+P(=1)=1(2)將(1)代入(2)得， 3P(=0)=1, 即P(=0)=1/3再由(1)式得，P(=1)=2/3因此分布律由下表所示01P1/32/3而分布函數(shù)為3. 如果的概率函數(shù)為P=a=1, 則稱服從退化分布. 寫出它的

2、分布函數(shù)F(x), 畫出F(x)的圖形.解: , 它的圖形為4. 一批產(chǎn)品分一,二,三級, 其中一級品是二級品的兩倍, 三級品是二級品的一半, 從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一個檢驗質(zhì)量, 用隨機變量描述檢驗的可能結(jié)果, 寫出它的概率函數(shù).解：設(shè)取值1,2,3代表取到的產(chǎn)品為一,二,三級, 則根據(jù)題意有P(=1)=2P(=2)(1)P(=3)=P(=2)/2(2)由概率論性質(zhì)可知，P(=1)+P(=2)+P(=3)=1(3)(1),(2)代入(3)得: 2P(=2)+P(=2)+P(=2)/2=1解得P(=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得，P(=1)=4/7, P(=3)=1/7則概率函數(shù)為，

3、或列表如下:123P4/72/71/75. 一批產(chǎn)品20個, 其中有5個次品, 從這批產(chǎn)品中隨意抽取4個, 求這4個中的次品數(shù)的分布律.解: 基本事件總數(shù)為, 有利于事件=i(i=0,1,2,3,4)的基本事件數(shù)為, 則01234P0.28170.46960.21670.0310.0016. 一批產(chǎn)品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品為止, 假定每件產(chǎn)品被取到的機會相同, 求抽取次數(shù)的概率函數(shù).解: 每次抽到正品的概率相同, 均為p=10/13=0.7692, 則每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308則服從相應(yīng)的幾何分布, 即有7. 上題中如果每次取出一

4、件產(chǎn)品后, 總以一件正品放回去, 直到取得正品為止, 求抽取次數(shù)的分布律.解: 這樣抽取次數(shù)就是有限的, 因為總共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽時次品已經(jīng)全部代換為正品, 因此必然抽到正品, 這樣的取值為1,2,3,4.不難算出,的分布律如下表所示:1234P0.76920.19530.03280.00278. 自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p, 當(dāng)在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進行調(diào)整, 求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的概率函數(shù).解: 事件=i說明生產(chǎn)了i次正品后第i+1次出現(xiàn)廢品, 這是i+1個獨立事件的交(1次發(fā)生i次不發(fā)生, 因此有P(=i)=p(1-p)i,

5、(i=0,1,2,)9. 已知隨機變量只能取-1,0,1,2四個值, 相應(yīng)概率依次為, 確定常數(shù)c并計算P<1|0.解: 根據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)有即， 得設(shè)事件A為<1, B為0, (注: 如果熟練也可以不這樣設(shè))，則10. 寫出第4題及第9題中各隨機變量的分布函數(shù).解: 第4題:第9題:當(dāng)x<-1時: F(x)=P(x)=0當(dāng)-1x<0時: F(x)=P(x)=P(=-1)=當(dāng)0x<1時: F(x)=P(x)=P(=-1)+P(=0)=當(dāng)1x<2時: F(x)=P(x)=P(=-1)+P(=0)+P(=1)=當(dāng)x2時: F(x)=P(x)=1綜上所述, 最后得

6、:11. 已知, 求的分布函數(shù)F(x), 畫出F(x)的圖形.解: 當(dāng)x<0時: F(x)=0;當(dāng)0x<1時: 當(dāng)x1時: F(x)=1綜上所述, 最后得 圖形為  12. 已知, 求P0.5; P(=0.5);F(x).解: ,因為連續(xù)型隨機變量, 因此取任何點的概率均為零, 所以P=0.5=0,求F(x): 當(dāng)x<0時, F(x)=0當(dāng)0x<1時, 當(dāng)x1時, F(x)=1綜上所述, 最后得:13. 某型號電子管, 其壽命(以小時計)為一隨機變量, 概率密度, 某一個電子設(shè)備內(nèi)配有3個這樣的電子管, 求電子管使用150小時都不需要更換的概率.解: 先求一個

7、電子管使用150小時以上的概率P(150)為:則3個這樣的電子管構(gòu)成貝努里獨立試驗概型, 試驗三次發(fā)生三次的概率為14. 設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為: 求系數(shù)A; P(0.3<<0.7); 概率密度(x).解: 因是連續(xù)型隨機變量, 因此F(x)也必是連續(xù)曲線, 則其在第二段(0,1)區(qū)間的曲線必能和第三段(1,+)的曲線接上, 則必有A×12=1, 即A=1. 則分布函數(shù)為P(0.3<<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度(x)為：15. 服從柯西分布的隨機變量的分布函數(shù)是F(x)=A+B arctg

8、x, 求常數(shù)A,B;P|<1以及概率密度(x).解: 由F(-)=0, 得A+Barctg(-)=(1)再由F(+)=1, 得(2)綜和(1),(2)兩式解得 即16. 服從拉普拉斯分布的隨機變量的概率密度, 求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解: 這實際上是一個分段函數(shù), (x)可重新寫為 根據(jù)性質(zhì), 又因(x)為偶函數(shù), 因此有, 則有A=1/2因此. 求分布函數(shù)F(x).當(dāng)x<0時, 有當(dāng)x0時, 有綜上所述, 最后得，17. 已知, 計算P0.2|0.1<0.5解: 設(shè)事件A=0.2, B=0.1<0.5, 則要計算的是條件概率P(A|B), 而, 而事件AB=0.2

9、0.1<0.5=0.1<0.2因此有最后得，18. 已知, 確定常數(shù)c.解: 首先證明普阿松廣義積分, 因為函數(shù)并不存在原函數(shù), 因此需要一技巧. 令, 則作極坐標(biāo)代換, 令, 則積分區(qū)間為全平面, 即從0積到2, r從0積到+, 且, 因此有, 所以?，F(xiàn)確定常數(shù)c, 由性質(zhì),得19. 已知, 求常數(shù)c及Pa-1<a+1.解: 由性質(zhì)得，解得 , 因此有 則20. 已知服從區(qū)間0,1上的均勻分布, 求的函數(shù)=3+1的概率分布.解: 根據(jù)題意知的概率密度(x)為 則的分布函數(shù)為對其求導(dǎo)得的概率密度與的概率密度間的關(guān)系為即服從在區(qū)間1,4上的均勻分布.21. 已知, , 求的概率

10、密度.解: 求的分布函數(shù)F(x)為因ex總大于0, 而當(dāng)x大于0時F(x)為因此有 則的概率密度為其分布函數(shù)的求導(dǎo):22. 若每次射擊中靶的概率為0.7, 求射擊10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中幾炮.解: 設(shè)為射擊10炮命中的炮數(shù), 則B(10,0.7), 命中3炮的概率為0.0090至少命中3炮的概率, 為1減去命中不到3炮的概率, 為0.9984因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整數(shù), 因此最可能命中7.7=7炮.23. 在一定條件下生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.01, 求生產(chǎn)10件產(chǎn)品中廢品數(shù)不超過2個的概率.解: 設(shè)為10件產(chǎn)品中的廢品數(shù),

11、則B(10,0.01), 則廢品數(shù)不超過2個的概率為0.999924. 某車間有20部同型號機床, 每部機床開動的概率為0.8, 若假定各機床是否開動彼此獨立, 每部機床開動時所消耗的電能為15個單位, 求這個車間消耗電能不少于270個單位的概率.解: 設(shè)每時刻機床開動的數(shù)目為, 則B(20,0.8), 假設(shè)這個車間消耗的電能為個單位, 則=15, 因此 25. 從一批廢品率為0.1的產(chǎn)品中, 重復(fù)抽取20個進行檢查, 求這20個產(chǎn)品中廢品率不大于0.15的概率.解: 設(shè)這20個產(chǎn)品中的廢品數(shù)為, 則B(20,0.1), 假設(shè)這20個產(chǎn)品中的廢品率為, 則=/20. 因此=0.867

12、26. 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.1, 抽取20件產(chǎn)品, 初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品, 問這20件中, 廢品不少于3件的概率.解: 設(shè)為這20件產(chǎn)品中的廢品數(shù), 則B(20,0.1), 又通過檢查已經(jīng)知道定不少于2件的條件, 則要求的是條件概率 因事件, 因此 ， 因此 27. 拋擲4顆骰子, 為出現(xiàn)1點的骰子數(shù)目, 求的概率分布, 分布函數(shù), 以及出現(xiàn)1點的骰子數(shù)目的最可能值.解: 因擲一次骰子出現(xiàn)一點的概率為1/6, 則B(4,1/6), 因此有或者算出具體的值如下所示：01234P0.48230.38580.11570.01540.0008從分布表可以看出最可能值為0, 或者np

13、+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不為整數(shù), 因此最可能值為5/6=0.28. 某柜臺上有4個售貨員, 并預(yù)備了兩個臺秤, 若每個售貨員在一小時內(nèi)平均有15分鐘時間使用臺秤, 求一天10小時內(nèi), 平均有多少時間臺秤不夠用.解: 每個時刻構(gòu)成一n=4的貝努里試驗, 且p=15/60=0.25, 因此, 設(shè)為每個時刻要用秤的售貨員數(shù), 則B(4, 0.25), 當(dāng)>2時, 臺秤不夠用. 因此每時刻臺秤不夠用的概率為0.0508因此10個小時內(nèi)平均有0.0508×10=0.508個小時臺秤不夠用. 29. 已知試驗的成功率為p, 進行4重貝努里試驗, 計算在沒有全部失

14、敗的情況下, 試驗成功不止一次的概率.解: 設(shè)為4次試驗中的成功數(shù), 則B(4,p), 事件"沒有全部失敗"即事件>0, 而事件"試驗成功不止一次"即事件>1, 因此要求的是條件概率P>1|>0, 又因事件>1被事件>0包含, 因此這兩個事件的交仍然是>1, 因此其中q=1-p 30. 服從參數(shù)為2,p的二項分布, 已知P(1)=5/9, 那么成功率為p的4重貝努里試驗中至少有一次成功的概率是多少?解: 因B(2,p), 則必有, 解得則假設(shè)為成功率為1/3的4重貝努里試驗的成功次數(shù), B(4,1/3)

15、, 則 31. 一批產(chǎn)品20個中有5個廢品, 任意抽取4個, 求廢品數(shù)不多于2個的概率解: 設(shè)為抽取4個中的廢品數(shù), 則服從超幾何分布, 且有0.96832. 如果產(chǎn)品是大批的, 從中抽取的數(shù)目不大時, 則廢品數(shù)的分布可以近似用二項分布公式計算. 試將下例用兩個公式計算, 并比較其結(jié)果. 產(chǎn)品的廢品率為0.1, 從1000個產(chǎn)品中任意抽取3個, 求廢品數(shù)為1的概率.解: 設(shè)任抽3個中的廢品數(shù)為, 則服從超幾何分布, 廢品數(shù)為0.1×1000=1000.2435，而如果用二項分布近似計算, n=3, p=0.1, B(3,0.1)0.2430，近似誤差為0.0005, 是非常

16、準(zhǔn)確的.33. 從一副樸克牌(52張)中發(fā)出5張, 求其中黑桃張數(shù)的概率分布.解: 設(shè)為發(fā)出的5張中黑桃的張數(shù), 則服從超幾何分布, 則則按上式計算出概率分布如下表所示:012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.0005 34. 從大批發(fā)芽率為0.8的種子中, 任取10粒, 求發(fā)芽粒數(shù)不小于8粒的概率.解: 設(shè)為10粒種子中發(fā)芽的粒數(shù), 則服從超幾何分布, 但可以用二項分布近似, 其中p=0.8, n=10, 則=0.677835. 一批產(chǎn)品的廢品率為0.001, 用普哇松分布公式求800件產(chǎn)品中廢品為2件的概率, 以及不超過2件的概率.解: 設(shè)為

17、800件產(chǎn)品中的廢品數(shù), 則服從超幾何分布, 可以用二項分布近似, 則B(800, 0.001), 而因為試驗次數(shù)很大廢品率則很小, 可以用普阿松分布近似, 參數(shù)為=np=800×0.001=0.8  36. 某種產(chǎn)品表面上的疵點數(shù)服從普哇松分布, 平均一件上有0.8個疵點, 若規(guī)定疵點數(shù)不超過1個為一等品, 價值10元, 疵點數(shù)大于1不多于4為二等品, 價值8元, 4個以上為廢品, 求產(chǎn)品為廢品的概率以及產(chǎn)品的平均價值.解: 設(shè)為產(chǎn)品表面上的疵點數(shù), 則服從普哇松分布, =0.8, 設(shè)為產(chǎn)品的價值, 是的函數(shù). 則產(chǎn)品為廢品的概率為0.80880.1898則產(chǎn)品的平均價值

18、為E = 10×P=10+8×P=8=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元)37. 一個合訂本共100頁, 平均每頁上有兩個印刷錯誤, 假定每頁上印刷錯誤的數(shù)目服從普哇松分布, 計算該合訂本中各頁的印刷錯誤都不超過4個的概率.解: 設(shè)為每頁上的印刷錯誤數(shù)目, 則服從普哇松分布, =2, 則1頁印刷錯誤都不超過4個的概率為0.9473而100頁上的印刷錯誤都不超過4個的概率為0.00445438. N(0,1), 0(x)是它的分布函數(shù), 0(x)是它的概率密度, 0(0), 0(0), P(=0)各是什么值?解: 因有, , 因此0(x

19、)為偶函數(shù), 由對稱性可知0(0)=0.5, 并有, 因為連續(xù)型隨機變量, 取任何值的概率都為0, 即P(=0)=0. 39. 求出19題中的電子管在使用500小時沒壞的條件下, 還可以繼續(xù)使用100小時而不壞的概率?解: 要求的概率為P(>600|>500), 因此40. 若服從具有n個自由度的2-分布, 證明的概率密度為 稱此分為為具有n個自由度的-分布證: 設(shè), 則因的概率密度函數(shù)為的分布函數(shù)為對兩邊求導(dǎo)得41. N(0,1), 求P0, P|<3, P0<5, P>3, P-1<<3解: 根據(jù)的對稱性質(zhì)及查表得:P0=1-0(0)=0