第十五章極值和條件極值

1、第十五章 極值和條件極值 (一) 教學目的： 1）理解極值與條件極值的概念；2）掌握最小二乘法。 (二) 教學重點：1）條件極值的必要條件；2）條件極值的求法.（三）教學難點1）最小二乘法；2）多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。§15. 1極值和最小二乘法一 極值 定義1：設在的鄰域內(nèi)成立不等式則稱函數(shù)在點取到極大值，點稱為函數(shù)的極大點，若在的鄰域內(nèi)成立不等式則稱函數(shù)在點取到極小值，點稱為函數(shù)的極小點。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大點和極小點統(tǒng)稱為極值點。定義2： 設是內(nèi)的一個區(qū)域，是的一個內(nèi)點，如果，則稱是的一個駐點。根據(jù)費瑪定理，可知定理1：二元函數(shù)的極值點必為的點或至少有一個偏導數(shù)不

2、存在的點。注：定理1的條件是必要條件，而不是充分條件。例1：在點。例2：在點。怎樣進一步判斷是否有極值？定理2： 設在點的某個鄰域內(nèi)有各個二階連續(xù)偏導數(shù)，并且點是的一個駐點，則：（1）若，則在點有極小值；（2）若，則在點有極大值；（3）若，則在點沒有極值；（4）若，則須進一步判斷。例3：求 的極值。例4：求的極值。多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴} 設函數(shù)在某一有界閉區(qū)域中連續(xù)且可導，必在上達到最大（?。┲?。若這樣的點位于區(qū)域內(nèi)部，則在這點顯然函數(shù)有極大（?。┲怠Ｒ虼?，在這種情形函數(shù)取到最大（?。┲档狞c必是極值點之一。然而函數(shù)的最大（小）值最可能在區(qū)域的邊界上達到。因此，為找出函數(shù)在區(qū)域上的最大（小）值，必須找出一切有極值的內(nèi)點，算出這些點的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大（?。┲?。通?？筛鶕?jù)問題的實際意義來判斷。例5：有一塊寬24cm的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來，做成一個梯形水槽，問和各自為何值時，水槽的流量是最大？例6：試在軸，軸與直線圍成的三角形區(qū)域上求函數(shù)的最大值。二 最小二乘法例7：已知，服從線性關系：問：如何根據(jù)這組數(shù)據(jù)來合理地確定系數(shù)和？解：總偏差為，確定系數(shù)，使總偏差最小。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。令即可解得。 幾個疑問：1）如果怎么辦？2）這樣求出的 就是達到極小值的點？3）在選取 時，為什么不取各個偏差