第五章留數(shù)及其應(yīng)用

1、第五章 留數(shù)及其應(yīng)用5.1 基本要求與內(nèi)容提要5.1.1 基本要求1. 正確理解孤立奇點的概念與孤立奇點的分類2. 正確理解函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)概念.3. 掌握并能應(yīng)用留數(shù)定理4. 掌握留數(shù)的計算法，特別是極點處留數(shù)的求法5. 掌握用留數(shù)求圍道上積分的方法，會用留數(shù)求一些實積分5.1.2 內(nèi)容提要 留數(shù)定理是復(fù)積分和復(fù)級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物.1. 孤立奇點（1） 孤立奇點的分類定義5.1：處不解析，但在的某個去心鄰域內(nèi)處處解析，則稱為的孤立奇點. 我們可根據(jù)洛朗級數(shù)展開式中主要部分的系數(shù)取零值的不同情況，將函數(shù)的孤立奇點進行分類. 1.可去奇點 若對一切有則稱是函數(shù)的可去奇點，或者說在有可去奇點

2、.這是因為令，就得到在整個圓盤內(nèi)解析的函數(shù).2.極點 如果只有有限個（至少一個）整數(shù)，使得，那么我們說是函數(shù)的極點.設(shè)對于正整數(shù)m，；而當(dāng)時，.那么我們就說是的m階極點.稱1階極點為簡單極點.3.本性奇點 如果有無限個整數(shù)，使得，呢們我們說是的本性奇點.下述幾個定理將從函數(shù)的性態(tài)來刻畫各類奇點的特征.定理5.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析.那么是的可去奇點的充分必要條件是：存在極限，其中是一復(fù)常數(shù).由極限的性質(zhì)還可推出定理：定理 設(shè)是的一孤立奇點，則是的可去奇點的充分必要條件是在的一個鄰域內(nèi)為有界.由極點定義易知是的m階極點的充要條件是： ， （5.1） 其中在處解析且. 由（5.1）可以證明：定理5.2

3、 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，那么是 的極點的充分必要條件是是的m 階極點的充分必要條件是：，在這里m是一正整數(shù)，是一個不等于0的復(fù)常數(shù).定理5.1及定理5.2的充要條件可以分別說是存在有限或無窮的極限.結(jié)合這兩定理，我們有：定理5.3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析。那么是 的本性奇點的充分必要條件是：不存在有限或無窮的極限.（2） 函數(shù)的零點與極點的關(guān)系定義5.2 若在處解析，且，m為某一正整數(shù)，那么稱是 的m階零點.定理5.4 若在解析，那么為的m階零點的充要條件是 （5.2） 順便指出，由于中的在解析，且，因而它在的鄰域內(nèi)不為0，所以在的去心鄰域內(nèi)不為零，只在等于零. 也就是說，一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立

4、的。 函數(shù)的零點與極點有下面的關(guān)系：定理5.5 如果是的的m階極點，那么就是的m階零點。反之亦然. (3) 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)在考慮解析函數(shù)的孤立奇點時把無窮遠(yuǎn)點放進去，這有許多便利.定義5.3 設(shè)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的鄰域（相當(dāng)于有限點的去心鄰域）內(nèi)為解析，則無窮遠(yuǎn)點就稱為的孤立奇點. 在內(nèi)，有洛朗級數(shù)展開式： （）， （5.3）其中 .利用倒數(shù)變換將無窮遠(yuǎn)點變?yōu)樽鴺?biāo)原點，這是我們處理無窮遠(yuǎn)點作為孤立奇點的方法.它也具有更廣泛的意義（如在共形映射中也可這樣處理）.下面，我們進一步分別根據(jù)是函數(shù)的可去奇點、m階極點或本性奇點定義是函數(shù)的可去奇點、m階極點或本性奇點.這樣，1 在（5.3）式中，如果

5、當(dāng)時，那么是函數(shù)的可去奇點.2 在（5.3）式中，如果只有有限個（至少一個）整數(shù)，使得，那么是函數(shù)的極點.設(shè)對于正整數(shù)m，；而當(dāng)時，那么是函數(shù)的（m階）極點.3 在（5.3）式中，如果有無窮個整數(shù)，使得，那么是函數(shù)的本性奇點.結(jié)果與有限點的情形相反，無窮遠(yuǎn)點作為函數(shù)的孤立奇點時，它的分類是以函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點鄰域的洛朗展開中正次冪的系數(shù)取零值的多少作為依據(jù)的.定理5.1至定理5.3都可立即轉(zhuǎn)移到無窮遠(yuǎn)點的情形.如我們有定理5.6 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)解析，那么是函數(shù)的可去奇點、極點或本性奇點的充分必要條件是：存在著有限，無窮極限或不存在有限或無窮的極限.2. 留數(shù) 留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的概念之一，它

6、與解析函數(shù)在孤立奇點處的洛朗展開式、柯西復(fù)合閉路定理等都有密切的聯(lián)系.（1） 留數(shù)的概念及留數(shù)定理定義5.4 設(shè)是解析函數(shù)的孤立奇點，我們把在處的洛朗展開式中負(fù)一次冪項的系數(shù)稱為在處的留數(shù).記作，即=.顯然，留數(shù)就是積分的值，其中C為解析函數(shù)的的去心鄰域內(nèi)繞的閉曲線. 關(guān)于留數(shù)，我們有下面定理.定理5.7（留數(shù)定理） 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析，C是D內(nèi)包圍各奇點的一條正向簡單閉曲線，那么.一般來說，求函數(shù)在其孤立奇點處的留數(shù)只須求出它在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中項系數(shù)就可以了.但如果能先知道奇點的類型，對求留數(shù)更為有利.例如，如果是的可去奇點，那么.如果是本性奇點，那就往

7、往只能用把在展開成洛朗級數(shù)的方法來求.若是極點的情形，則可用較方便的求導(dǎo)數(shù)與求極限的方法得到留數(shù).（2） 函數(shù)在極點的留數(shù)法則1：如果為的簡單極點，則 （5.4） 法則2：設(shè)，其中在處解析，如果，為的一階零點，則為的一階極點，且 . （5.5） 法則3：如果為的m階極點，則 . （5.6）（3） 無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義5.5 設(shè)為的一個孤立奇點，即在圓環(huán)域內(nèi)解析，則稱 （） 為在點的留數(shù)，記為，這里是指順時針方向（這個方向很自然地可以看作是繞無窮遠(yuǎn)點的正向）. 如果在的洛朗展開式為，則有. 這里，我們要注意，即使是的可去奇點，在的留數(shù)也未必是0，這是同有限點的留數(shù)不一致的地方. 定理5.8 如果在

8、擴充復(fù)平面上只有有限個孤立奇點（包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)），設(shè)為，則在各點的留數(shù)總和為零. 關(guān)于在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)計算，我們有以下的規(guī)則. 法則4：.3. 留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用留數(shù)定理為某些類型積分的計算，提供了極為有效的方法.應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分的方法稱為圍道積分方法.所謂圍道積分方法，概括起來說，就是不求實變函數(shù)的積分化為復(fù)變函數(shù)沿圍線的積分，然后應(yīng)用留數(shù)定理，使沿圍線的積分計算，歸結(jié)為留數(shù)計算.要使用留數(shù)計算，需要兩個條件：一是被積函數(shù)與某個解析函數(shù)有關(guān)；其次，定積分可化為某個沿閉路的積分.現(xiàn)就幾個特殊類型舉例說明.（1） 形如的積分令， ， 是的有理函數(shù)；作為的函數(shù)，在上連續(xù).當(dāng)經(jīng)

9、歷變程時，對應(yīng)的z正好沿單位圓的正向繞行一圈，在積分閉路上無奇點，則 .（2） 形如的積分 令 ，1 Q(z)比P(z)至少高兩次，2 Q(z)在實軸上無零點，3 R(z)在上半平面Imz0內(nèi)的極點為，則有 .（3） 形如的積分R(x)是真分式，在實軸上無奇點，則 ，其中.5.2 典型例題與解題方法 例1 指出下列函數(shù)在零點z=0的級：（1） （2）. 解（1）用求導(dǎo)數(shù)驗證：記，不難計算 即 故為函數(shù)的四階零點.由泰勒展式：由展開式 可知 其中內(nèi)解析，.故為函數(shù)的四階零點.（2）由展開式 可知 其中 在內(nèi)解析，.故是函數(shù)的15階零點. 例2 證明不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.即若不恒為零的

10、函數(shù)在內(nèi)解析，則必有a的一個領(lǐng)域，使得在其中無異于a的零點（解析函數(shù)零點的孤立性）. 分析 由于解析函數(shù)不恒為零且，所以利用在點a的泰勒展開式可知，總存在自然數(shù)，使，（否則獨所有m，由泰勒定理矛盾）.于是可設(shè)a為的m階零點，然后由零點的特征來討論. 證 （不妨設(shè)）a為的m階零點，其中內(nèi)解析，. 因在a 處解析，則有，可取，存在著，當(dāng)時，由三角不等式 便知當(dāng)時 即有，故在a的鄰域內(nèi)使. 例3 確定函數(shù)的孤立奇點的類型. 解 因為， 所以 是分母的六階零點，從而是函數(shù)的六階極點. 例4 判別函數(shù)的有限奇點的類型. 解 因為在沒有定義，更不解析，所以是的奇點，在內(nèi)，展開為洛朗級數(shù)： ， 有無窮多負(fù)冪

11、項，故是的本性奇點. 例5 考察函數(shù)在點的特性. 解 因為是分母的零點，所以這些點是的極點.從而知是這些極點的極限點，不是孤立奇點. 例6 求出函數(shù)的全部奇點，并確定其類型. 解 分母有四個一階零點，它們不是分子的零點，因此是函數(shù)的一階極點. 又，所以是的可去奇點. 例7 求出函數(shù)的全部奇點，并確定其類型. 解 容易求得是的一階極點，這是因為.當(dāng)，而 ， 所以，是函數(shù)的可去奇點，是的一階極點. 又是極點當(dāng)時的極限點，不是孤立奇點.、 例12 求下列函數(shù)在所有孤立奇點處的留數(shù)： （1）；（2）；（3）；（4）（n為自然數(shù)）. 分析 對于有限的孤立奇點，計算留數(shù)最基本的方法就是尋求洛朗展開式中負(fù)冪項的系數(shù).但是如果能知道孤立奇點的類型，那么留數(shù)的計算也許稍簡便些. 例如當(dāng)為可去奇點時，（切記當(dāng)時此結(jié)論不成立）對于極點處留數(shù)的計算，我們有相應(yīng)的規(guī)則或公式. 對于無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)，一般是尋求在內(nèi)洛朗展開式中負(fù)冪項的系數(shù)變號，也可轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)在處的留數(shù)，還可以用公式，其中為的有限個奇點. 解 （1）函數(shù)有孤立奇點0和，而且易知在內(nèi)有洛朗展開式 這既可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式，也可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式.所以. （2）函數(shù)有孤立奇點0與，而且在內(nèi)有如下洛朗展開式： 這里用了洛朗級數(shù)的乘法