人口指數(shù)模型

1、指數(shù)函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合世界人口預(yù)測(cè)問題 下表給出了本世紀(jì)六十年代世界人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：億)年196019611962196319641965196619671968人口29.7230.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83有人根據(jù)表中數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)公元2000年世界人口會(huì)超過 60億。這一結(jié)論在六十年代末令人難以置信，但現(xiàn)在已成為事實(shí)。試建立數(shù)學(xué)模型并根據(jù)表中數(shù)據(jù)推算出2000年世界人口的數(shù)量。根據(jù)馬爾薩斯人口理論，人口數(shù)量按指數(shù)遞增的規(guī)律發(fā)展人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)。早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)

2、家馬爾薩（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型： 其中t表示經(jīng)過的時(shí)間， 表示t0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率。表3是19501959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)萬(wàn)人55196563005748258796602666145662828645636599467207t0123456789(1)如果以各年人口增長(zhǎng)平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符;解：

3、設(shè)19511959年的人口增長(zhǎng)率分別為于是, 19511959年期間,我國(guó)人口的年均增長(zhǎng)率為由圖4可以看出,所得模型與19501959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合。根據(jù)表格3中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,并作出函數(shù) 的圖象(圖4).圖4（2）如果按表3的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？將y=130000代入由計(jì)算可得所以,如果按表3的增長(zhǎng)趨勢(shì),那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到,如果不實(shí)行計(jì)劃生育,而是讓人口自然增長(zhǎng),今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.function y=ys1(a,t)y=55196*exp(a*t);t=0:9;y=551

4、96 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207;a0=1;a,res=lsqcurvefit('ys1',a0,t,y)t1=0:0.1:9;y1=55196*exp(0.0220*t1);plot(t1,y1,t,y,'*')例1 已知17901990年間美國(guó)每隔十年的人口記錄如下：(人口單位：106)年1790 1800 1810 1820183018401850人口3.95.37.29.612.917.223.2年1860187018801890190019101920人口31.438.65

5、0.262.97692106.5年1930194019501960197019801990人口123.2131.7150.7179.3204226.5251.4用以上數(shù)據(jù)檢驗(yàn)Malthus人口(指數(shù))增長(zhǎng)模型方法一(1)編寫函數(shù)M文件fit1（圖1） function y=fit1(a,t) y=3.9*exp(a*(t-1790); (2)輸入并運(yùn)行如下命令t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251

6、.4;a0=0.1; a,res= lsqcurvefit('fit1',a0,t,y) a = 0.0217 res = 1.2724e+004（或t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4;f=inline('3.9*exp(a*(t-1790)','a','t');a,res=lsqcurvefit(f,0.1 ,t,y)人口增

7、長(zhǎng)模型的圖形顯示ti=1790:1990; yi=3.9*exp(a*(ti-1790);plot(t,y,'o',ti,yi) （圖1）方法二(1)編寫函數(shù)M文件fit1(圖2) function y=fit1(a,t)y=a(1)*exp(a(2)*(t-1790); (2)輸入并運(yùn)行如下命令t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4;a0=0,0; a,res= lsqcur

8、vefit('fit1',a0,t,y)a =13.8695 0.0148res =1.8257e+003人口增長(zhǎng)模型的圖形顯示ti=1790:1990; yi=a(1)*exp(a(2)*(ti-1790);plot(t,y,'o',ti,yi)gtext('人口指數(shù)函數(shù)') %注釋(或t=1790:10:1990;y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3, 204, 226.5,251.4;c,d=solve('c*exp(d*10)=5.3','c*exp(d*20)=7.2','c','d')f=inline('a(1)*