二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理的應(yīng)用教案

1、排列、組合、二項(xiàng)式定理·二項(xiàng)式定理的應(yīng)用·教案教學(xué)目標(biāo)1利用二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決某些關(guān)于組合數(shù)的恒等式的證明；近似計(jì)算；求余數(shù)或證明某些整除或余數(shù)的問題等2滲透類比與聯(lián)想的思想方法，能運(yùn)用這個(gè)思想處理問題3培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力，分析能力和綜合能力教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)數(shù)學(xué)是一門工具，學(xué)數(shù)學(xué)的目的就是為了應(yīng)用怎樣建立起要解決的問題與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系（如一個(gè)近似計(jì)算問題與二項(xiàng)式定理有沒有聯(lián)系，怎樣聯(lián)系），是這節(jié)課的難點(diǎn)，也是重點(diǎn)所在教學(xué)過程設(shè)計(jì)師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)，請(qǐng)大家用6分時(shí)間完成以下三道題：（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是多

2、少？（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項(xiàng)（全體學(xué)生參加筆試練習(xí)）6分鐘后，用投影儀公布以上三題的解答：（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系數(shù)是（1+x）（2）原式=1+（x-x2）6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6其中含x5的項(xiàng)為：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5師：解（1），（2）兩題運(yùn)用了變換和化歸思想，第（2）題把三項(xiàng)式化為二項(xiàng)式，創(chuàng)造了使用二項(xiàng)式定理的條件第（3）題的解法是根據(jù)恒等式的概念，a，b取任何數(shù)時(shí)，等式都成立根據(jù)習(xí)題結(jié)構(gòu)特征選擇a，b的取值

3、這種用概念解題的思想經(jīng)常使用下面我們看二項(xiàng)式定理的一些應(yīng)用師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，例1怎樣解？生甲：從結(jié)構(gòu)上觀察，則與練習(xí)的第（3）題有相似之處，只是組合數(shù)的系數(shù)成等比數(shù)列，是否根據(jù)二項(xiàng)式定理令a=1，b=3，即可得到證明師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)生甲所講，寫出證明（找一位同學(xué)板演）證明：在（a+b）n的展開式中令a=1，b=3得：師：顯然，適當(dāng)選取a，b之值是解這一類題的關(guān)鍵，再看練習(xí)題練習(xí)生乙：這題與例1類比有共同點(diǎn)，仍是組合數(shù)的運(yùn)算，不同點(diǎn)是缺我考慮如能用二項(xiàng)式定理解，應(yīng)對(duì)原題做以下變換：師：分析得很透徹這種敢想、會(huì)想精神是每位同學(xué)都要培養(yǎng)的首先是敢字，不要一見題目有些生疏就采取放棄態(tài)度；要敢于分析，

4、才能善于分析，將來(lái)才敢于創(chuàng)新，善于創(chuàng)新請(qǐng)大家把解題過程寫在筆記本上（教師請(qǐng)一名同學(xué)板演）在（ab）6的展開式中令a=1，b=3，得師：解題過程從“在（a+b）6的展開式中令 a=1，b=3”寫起就可以了希望同學(xué)們?cè)俳釉賱?lì)，完成下個(gè)練習(xí)練習(xí)師：大家議論一下，這道題能用二項(xiàng)式定理來(lái)解嗎？生丙：初步觀察，與上節(jié)課我們學(xué)刁的：“在（ab）n的展開式解決我們注意到組合數(shù)代數(shù)和的值為余弦值或正弦值，又注意到正項(xiàng)）或r=4m1（m=0，1，2，），負(fù)項(xiàng)出現(xiàn)在r=4m2（m=0，1，2，）或r=4m3（m=0，1，2，），而虛數(shù)單位i有以下性質(zhì)：i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（

5、mZ）于是想在（ab）n的展開式中令a=1，b=i師：分析得有道理，請(qǐng)同學(xué)們按生丙同學(xué)的意見進(jìn)行演算（教師找一位同學(xué)板演）證明：設(shè)i是虛數(shù)單位，在（ab）n的展開式中令a=1，b=i中得：另一方面，又有由此得到根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，有師：認(rèn)真分析習(xí)題的結(jié)構(gòu)，運(yùn)用類比與聯(lián)想的思想方法，可以幫助我們找到解題的思路，下面我們研究二項(xiàng)式定理在數(shù)字計(jì)算方面的應(yīng)用例2  計(jì)算：1.9975（精確到0.001）生?。哼@道題若用二項(xiàng)式定理計(jì)算，必須把1.997看作1+0.997，這樣，1.9975=（1+0.997）5師：計(jì)算簡(jiǎn)單嗎？生戊：把1.9975化為（2-0.003）5，再展開，由于精確到0.0

6、01，不必各項(xiàng)都計(jì)算師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計(jì)算一下（教師找一位同學(xué)板演）解：1.9975=（2-0.003）5=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003由于|T6|T5|T4|1.08×10-6，則|T4|T5T6|0.000004所以1.997532-0.24+0.000 7231.761師：1996年全國(guó)高考有這樣一道應(yīng)用題：（用投影儀示出，老師讀題）某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10如果人口年增長(zhǎng)率為1，

7、那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？稍候，教師問：誰(shuí)想出解法了，請(qǐng)講一講生己：設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃，耕地平均每年至多只能減少x公頃十年后耕地畝數(shù)：104-10x，十年后總產(chǎn)量：M×（1+22）（104-10x）十年后人口：P×（11）10，依題意可以得到不等式師：實(shí)際計(jì)算時(shí)，會(huì)遇到（10.01）10的計(jì)算問題，請(qǐng)全體同學(xué)在筆記本上迅速計(jì)算出來(lái)（教師請(qǐng)一同學(xué)板演）師：真迅速??！請(qǐng)同學(xué)們課下把這道高考題完成（答案：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃）現(xiàn)在，我們?cè)儆懻撘粋€(gè)新的問題例3  如果今天是星期一，那么對(duì)于任意自然

8、數(shù)n，經(jīng)過23n+37n5天后的那一天是星期幾？生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即本題實(shí)際上尋求對(duì)于任意自然數(shù)n，23n+3+7n5被7除的余數(shù)受近似計(jì)算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（71）n+1，這樣可以運(yùn)用數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诠P記本上完成此題的解答（教師請(qǐng)一名同學(xué)板演）解：由于23n+37n5=8n+17n5=（71）n+17n+5則  23n+37n5被7除所得余數(shù)為6所以對(duì)于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+37n5后的一天是星期日師：請(qǐng)每位同學(xué)在筆記本上完成這樣一個(gè)習(xí)題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學(xué)生到黑板

9、板演）解：7777-1=（76+1）77由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除師：請(qǐng)生辛談?wù)勊鯓酉氲竭@個(gè)解法的？生辛：這是個(gè)冪的計(jì)算問題，可以用二項(xiàng)式定理解決如果把7777改成（1958）77，顯然展開式中最后一項(xiàng)5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除得到了以上的解法師：二項(xiàng)式定理解決的是乘方運(yùn)算問題，因此冪的問題可以考慮二項(xiàng)式定理下面我們解一些綜合運(yùn)用的習(xí)題例4  求證：3n2n-1（n2）（nN，

10、且n2）師：仍然由同學(xué)先談?wù)勛约旱南敕ㄉ桑何矣X得這道題仍可以用二項(xiàng)式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成21注意到：  2n+n·2n-1=2n-1（2n）=2n-1（n+2）；  n2，右式至少三項(xiàng)；這樣，可以得到3n2n-1（n2）（nN，且n2）生癸：根據(jù)題設(shè)條件有nN，且n2用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)當(dāng)可以證明師：由于觀察習(xí)題時(shí)思維起點(diǎn)不同，得到了習(xí)題不同解法，生×同學(xué)從乘方運(yùn)算這點(diǎn)考慮，想到二項(xiàng)式定理，生×同學(xué)從題設(shè)條件nN考慮，想到數(shù)學(xué)歸納法大家要養(yǎng)成習(xí)慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面用二項(xiàng)式定理證明

11、，生×同學(xué)已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)诠P記本上完成數(shù)學(xué)歸納法的證明（教師請(qǐng)一名同學(xué)板演）證明：當(dāng)n=2時(shí)，左式=32=9，右式=22-1（22）=2×4=8，顯然98故不等式成立假設(shè)n=k（kN且k2）時(shí)，不等式成立，即3k2k-1（k2），則當(dāng)n=k1時(shí)，由于  左式=3k+1=3·3k3·2k-1（k2）=3k·2k-13·2k右式=2(k+1)-1（k1）2=2k（k3）=k·2k3·2k，則  左式-右式=（3k·2k-13·2k）-

12、（k·2k3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-10所以  左式有式故當(dāng)n=k1時(shí)，不等式也成立由，不等式對(duì)n2，nN都成立師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學(xué)們?cè)诠P記本再演算一道習(xí)題：設(shè)nN且n1，求證：（證明過程中可以運(yùn)用公式：對(duì)n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，總有（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學(xué)到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學(xué)板演第（2）小題）師：哪位同學(xué)談一談此題應(yīng)怎樣分析？生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應(yīng)把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項(xiàng)的和，由求和公式也能得到2n-1因此得到證明第（2）小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系根據(jù)題目給出的公式要師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關(guān)知識(shí)和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實(shí)踐中掌握本節(jié)課討論了二項(xiàng)式定理主要應(yīng)用，包括組合數(shù)的計(jì)算、近似計(jì)算、整除和求余數(shù)的計(jì)算以及與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用當(dāng)然，二項(xiàng)式定理的運(yùn)用不止這些，凡是涉及到乘方運(yùn)算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項(xiàng)式定理認(rèn)真分析習(xí)題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學(xué)們的重視作業(yè)1課本習(xí)題：P253習(xí)題三十一：6，7，10；2課本習(xí)題：P256復(fù)習(xí)參考題九：15（2）3補(bǔ)充題：課堂教學(xué)設(shè)計(jì)