上海市復旦大學附中2016高一上學期期中考試數(shù)學試卷Word版含解析

1、2016-2017學年上海市復旦大學附中高一（上）期中數(shù)學試卷一.填空題1集合1，2，3，2015，2016的子集個數(shù)為2已知全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，則U（AB）=3已知集合A=x|1x2，集合B=x|xa，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是4己知集合U=a，b，c，d，e，f，集合A=a，b，c，d，AB=b，U（AB）=f，求集合B5已知a2a10，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，記A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，則按A、B、C從小到大的順序排列是6已知RtABC的周長為定值2，則它的面積最大值為7我們將ba稱為集合M=x|axb的“長度”

2、，若集合M=x|mxm+，N=x|n0.5xn，且集合M和集合N都是集合x|0x1的子集，則集合MN的“長度”的最小值是8已知A=x|x，B=x|x（x3）（x+3）0，則AB=9對于任意集合X與Y，定義：XY=x|xX且xY，XY=（XY）（YX），已知A=y|y=x2，xR，B=y|2y2，則AB=10已知常數(shù)a是正整數(shù)，集合A=x|xa|a+，xZ，B=x|x|2a，xZ，則集合AB中所有元素之和為11非空集合G關于運算滿足：（1）對任意a，bG，都有a+bG；（2）存在eG使得對于一切aG都有ae=ea=a，則稱G是關于運算的融洽集，現(xiàn)有下列集合與運算：G是非負整數(shù)集，：實數(shù)的加法；G

3、是偶數(shù)集，：實數(shù)的乘法；G是所有二次三項式構成的集合，：多項式的乘法；G=x|x=a+b，a，bQ，：實數(shù)的乘法；其中屬于融洽集的是（請?zhí)顚懢幪枺?2集合A=（x，y）|y=a|x|，xR，B=（x，y）|y=x+a，xR，已知集合AB中有且僅有一個元素，則常數(shù)a的取值范圍是二.選擇題13已知集合A=1，2，3，2105，2016，集合B=x|x=3k+1，kZ，則AB中的最大元素是（）A2014B2015C2016D以上答案都不對14已知全集U=AB中有m個元素，（UA）（UB）中有n個元素若AB非空，則AB的元素個數(shù)為（）AmnBm+nCnmDmn15命題“已知x，yR，如果x2+y2=0

4、，那么x=0且y=0”的逆否命題是（）A已知x，yR，如果x2+y20，那么x0且y0B已知x，yR，如果x2+y20，那么x0或y0C已知x，yR，如果x0或y0，那么x2+y20D已知x，yR，如果x0且y0，那么x2+y2016對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題：“a=b”是“ac=bc”的充要條件；“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；“ab”是“a2b2”的充分條件；“a4”是“a3”的必要條件；其中真命題的個數(shù)是（）A1個B2個C3個D4個三.解答題17已知集合A=1，2，3，B=x|x2（a+1）x+a=0，xR，若AB=A，求實數(shù)a18已知a，b，cR+，求證：2（a3

5、+b3+c3）ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c19設正有理數(shù)a1是的一個近似值，令a2=1+，求證：（1）介于a1與a2之間；（2）a2比a1更接近于20已知對任意實數(shù)x，不等式mx2（3m）x+10成立或不等式mx0成立，求實數(shù)m的取值范圍21已知關于x的不等式（4kxk212k9）（2x11）0，其中kR；（1）試求不等式的解集A；（2）對于不等式的解集A，記B=AZ（其中Z為整數(shù)集），若集合B為有限集，求實數(shù)k的取值范圍，使得集合B中元素個數(shù)最少，并用列舉法表示集合B2016-2017學年上海市復旦大學附中高一（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.填空題1（2016秋楊浦

6、區(qū)校級期中）集合1，2，3，2015，2016的子集個數(shù)為22016【考點】子集與真子集【專題】集合思想；集合【分析】對于有限集合，我們有以下結論：若一個集合中有n個元素，則它有2n個子集【解答】解：集合1，2，3，2015，2016中有2016個元素，集合M1，2，3，2015，2016的子集的個數(shù)為22016；故答案為：22016【點評】本題考查了集合的子集個數(shù)，若一個集合中有n個元素，則它有2n個子集，有（2n1）個真子集，屬于基礎題2（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，則U（AB）=x|1x2【考點】交、并、補集的混合運算【專題】集合思想；定

7、義法；集合【分析】根據(jù)并集與補集的定義，進行計算即可【解答】解：全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，所以AB=x|x1或x2，所以U（AB）=x|1x2故答案為：x|1x2【點評】本題考查了并集與補集的定義與應用問題，是基礎題目3（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知集合A=x|1x2，集合B=x|xa，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是1，+）【考點】交集及其運算【專題】計算題；集合思想；定義法；集合【分析】題中條件：“AB，”表示兩個集合的交集的結果不是空集，即可求解實數(shù)a的取值范圍【解答】解：集合A=x|1x2，集合B=x|xa，因為AB，所以a1故答案為：1，+）【點評】本題考查集合的

8、關系、一元二次不等式的解法，考查運算能力，是基礎題4（2016秋楊浦區(qū)校級期中）己知集合U=a，b，c，d，e，f，集合A=a，b，c，d，AB=b，U（AB）=f，求集合B【考點】交、并、補集的混合運算【專題】集合思想；綜合法；集合【分析】根據(jù)全集U，以及A與B并集的補集確定出A與B的并集，再根據(jù)A與B的交集及A，確定出B即可【解答】解：U=a，b，c，d，e，f，U（AB）=f，AB=a，b，c，d，e，AB=b；A=a，b，c，d，bB，eB，bB，cB，dB，B=b，e【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵5（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知a2a10

9、，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，記A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，則按A、B、C從小到大的順序排列是BCA【考點】不等式比較大小【專題】計算題；轉化思想；轉化法；不等式【分析】不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，分別求出A，B，比較即可【解答】解：a2a10，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，A=a1b1+a2b2=+=，B=a1b2+a2b1=+=，C=BCA故答案為：BCA【點評】本題主要考查不等式與不等關系，利用特殊值代入法比較幾個式子在限定條件下的大小關系，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題6（2016秋楊

10、浦區(qū)校級期中）已知RtABC的周長為定值2，則它的面積最大值為32【考點】正弦定理【專題】計算題；轉化思想；綜合法；解三角形；不等式的解法及應用【分析】設直角邊長為a，b，則斜邊長為，利用直角三角形ABC的三邊之和為2，可得a+b+=2，利用基本不等式，即可求ABC的面積的最大值【解答】解：設直角邊長為a，b，則斜邊長為，直角三角形ABC的三邊之和為2，a+b+=2，22+，=2，ab64，S=ba32，ABC的面積的最大值為32故答案為：32【點評】本題考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，正確運用基本不等式是關鍵，屬于中檔題7（2016秋楊浦區(qū)校級期中）我們將ba稱為集合M=x|axb

11、的“長度”，若集合M=x|mxm+，N=x|n0.5xn，且集合M和集合N都是集合x|0x1的子集，則集合MN的“長度”的最小值是【考點】交集及其運算【專題】計算題；新定義；轉化思想；轉化法；集合【分析】當集合MN的長度的最小值時，M與N應分別在區(qū)間0，1的左右兩端，由此能求出MN的長度的最小值【解答】解：根據(jù)題意，M的長度為，N的長度為，當集合MN的長度的最小值時，M與N應分別在區(qū)間0，1的左右兩端，故MN的長度的最小值是=故答案為：【點評】本題考查交集的“長度”的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意新定義的合理運用8（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知A=x|x，B=x|x（x3）（

12、x+3）0，則AB=x|3x0【考點】交集及其運算【專題】計算題；方程思想；定義法；集合【分析】先利用不等式的性質(zhì)分別求出集合A和B，由此利用交集的性質(zhì)能求出AB【解答】解：A=x|x=x|2x1，或x0，B=x|x（x3）（x+3）0=x|3x0或x3，AB=x|3x0故答案為：x|3x0【點評】本題考查交集的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意無理不等式和高次不等式性質(zhì)的合理運用9（2016秋楊浦區(qū)校級期中）對于任意集合X與Y，定義：XY=x|xX且xY，XY=（XY）（YX），已知A=y|y=x2，xR，B=y|2y2，則AB=3，0）（3，+）【考點】子集與交集、并集運算的轉換【專題

13、】綜合題；方程思想；演繹法；集合【分析】由A=y|y=x2，xR=y|y0，B=y|2y2，先求出AB=y|y2，BA=y|2y0，再求AB的值【解答】解：A=y|y=x2，xR=y|y0，B=y|2y2，AB=y|y2，BA=y|2y0，AB=y|y2y|2y0，故答案為：3，0）（3，+）【點評】本題考查集合的交、并、補集的運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意正確理解XY=x|xX且xY、XY=（XY）（YX）10（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知常數(shù)a是正整數(shù)，集合A=x|xa|a+，xZ，B=x|x|2a，xZ，則集合AB中所有元素之和為2a【考點】并集及其運算【專題】集合思想；轉化法

14、；集合【分析】分別求出集合A、B中的元素，從而求出A、B的并集，求和即可【解答】解：A=x|xa|a+，xZ=0，a，2a，B=x|x|2a，xZ=a，0，a，則集合AB=a，0，a，2a，故集合AB中所有元素之和是2a，故答案為：2a【點評】本題考查了集合的運算，考查解絕對值不等式問題，是一道基礎題11（2016秋楊浦區(qū)校級期中）非空集合G關于運算滿足：（1）對任意a，bG，都有a+bG；（2）存在eG使得對于一切aG都有ae=ea=a，則稱G是關于運算的融洽集，現(xiàn)有下列集合與運算：G是非負整數(shù)集，：實數(shù)的加法；G是偶數(shù)集，：實數(shù)的乘法；G是所有二次三項式構成的集合，：多項式的乘法；G=x|

15、x=a+b，a，bQ，：實數(shù)的乘法；其中屬于融洽集的是（請?zhí)顚懢幪枺究键c】元素與集合關系的判斷【專題】新定義；集合思想；集合【分析】逐一驗證幾個選項是否分別滿足“融洽集”的兩個條件，若兩個條件都滿足，是“融洽集”，有一個不滿足，則不是“融洽集”【解答】解：對于任意非負整數(shù)a，b知道：a+b仍為非負整數(shù)，所以abG；取e=0，及任意非負整數(shù)a，則a+0=0+a=a，因此G對于為整數(shù)的加法運算來說是“融洽集”；對于任意偶數(shù)a，b知道：a+b仍為偶數(shù)，故有a+bG；但是不存在eG，使對一切aG都有ae=ea=a，故的G不是“融洽集”對于G=二次三項式，若a、bG時，a，b的兩個同類項系數(shù)，則其積不

16、再為二次三項式，故G不是和諧集，故不正確；G=x|x=a+b，a，bQ，設x1=a+b，x2=c+d，則設x1+x2=（a+c）+（b+d），屬于集合G，取e=1，a×1=1×a=a，因此G對于實數(shù)的乘法運算來說是“融洽集”，故中的G是“融洽集”故答案為【點評】本題考查了對新定義“融洽集”理解能力，及對有關知識的掌握情況關鍵是看所給的數(shù)集是否滿足“融洽集”的兩個條件12（2016秋楊浦區(qū)校級期中）集合A=（x，y）|y=a|x|，xR，B=（x，y）|y=x+a，xR，已知集合AB中有且僅有一個元素，則常數(shù)a的取值范圍是1，1【考點】交集及其運算【專題】計算題；轉化思想；轉

17、化法；集合【分析】由已知得a|x|=x+a有1個解，由此能求出常數(shù)a的取值范圍【解答】解：集合A=（x，y）|y=a|x|，xR，B=（x，y）|y=x+a，xR，集合AB中有且僅有一個元素，a|x|=x+a有1個解，若x0，ax=x+a，x=，若x0，ax=x+a，x=，由已知得或或或，解得1a1常數(shù)a的取值范圍是1，1故答案為：1，1【點評】本題考查常數(shù)的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集性質(zhì)的合理運用二.選擇題13（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知集合A=1，2，3，2105，2016，集合B=x|x=3k+1，kZ，則AB中的最大元素是（）A

18、2014B2015C2016D以上答案都不對【考點】交集及其運算【專題】計算題；集合思想；定義法；集合【分析】由題意求出A與B的交集，即可作出判斷【解答】解：A=1，2，3，2105，2016，集合B=x|x=3k+1，kZ則AB中的最大元素是2014故選：A【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵14（2009江西）已知全集U=AB中有m個元素，（UA）（UB）中有n個元素若AB非空，則AB的元素個數(shù)為（）AmnBm+nCnmDmn【考點】Venn圖表達集合的關系及運算【專題】數(shù)形結合【分析】要求AB的元素個數(shù)，可以根據(jù)已知繪制出滿足條件的韋恩圖，根據(jù)圖來分析（如解法

19、一），也可以利用德摩根定理解決（如解法二）【解答】解法一：（CUA）（CUB）中有n個元素，如圖所示陰影部分，又U=AB中有m個元素，故AB中有mn個元素解法二：（CUA）（CUB）=CU（AB）有n個元素，又全集U=AB中有m個元素，由card（A）+card（CUA）=card（U）得，card（AB）+card（CU（AB）=card（U）得，card（AB）=mn，故選D【點評】解答此類型題目時，要求對集合的性質(zhì)及運算非常熟悉，除教材上的定義，性質(zhì)，運算律外，還應熟練掌握：（CUA）（CUB）=CU（AB）（CUA）（CUB）=CU（AB）card（AB）=card（A）+card（B

20、）card（AB）等15（2016秋楊浦區(qū)校級期中）命題“已知x，yR，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命題是（）A已知x，yR，如果x2+y20，那么x0且y0B已知x，yR，如果x2+y20，那么x0或y0C已知x，yR，如果x0或y0，那么x2+y20D已知x，yR，如果x0且y0，那么x2+y20【考點】四種命題間的逆否關系【專題】定義法；簡易邏輯【分析】根據(jù)已知中原命題，寫出逆否命題，可得答案【解答】解：命題“已知x，yR，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命題是“已知x，yR，如果x0或y0，那么x2+y20”故選：C【點評】本題考查的知識點是四種命題，難

21、度不大，屬于基礎題16（2016秋楊浦區(qū)校級期中）對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題：“a=b”是“ac=bc”的充要條件；“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；“ab”是“a2b2”的充分條件；“a4”是“a3”的必要條件；其中真命題的個數(shù)是（）A1個B2個C3個D4個【考點】命題的真假判斷與應用；必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】綜合法；簡易邏輯【分析】逐項判斷即可由ac=bc不能推出a=b；由5是有理數(shù)易判斷；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得；根據(jù)充分必要條件的定義易得【解答】解：由“a=b“可得ac=bc，但當ac=bc時，不能得到a=b，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條

22、件，故錯誤；因為5是有理數(shù)，所以當a+5是無理數(shù)時，a必為無理數(shù)，反之也成立，故正確；取a=1，b=2，此時a2b2，故錯誤；當a4時，不能推出a3；當a3時，有a4成立，故“a4”是“a3”的必要不充分條件，故正確綜上可得正確的命題有2個故選：B【點評】本題考查充分必要條件的判斷，掌握充分必要條件的定義是關鍵屬于基礎題三.解答題17（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知集合A=1，2，3，B=x|x2（a+1）x+a=0，xR，若AB=A，求實數(shù)a【考點】并集及其運算【專題】計算題；分類討論；集合【分析】根據(jù)AB=A，得到BA，然后分B為空集和不是空集討論，A為空集時，只要二次方程的判別式小于0即

23、可，不是空集時，分別把1和2代入二次方程求解a的范圍，注意求出a后需要驗證【解答】解：由AB=A，得BA若B=，則=（a+1）24a0，解得：a；若1B，=（a+1）24a=0，此時a=1，滿足12a1+a=0，此時B=1，符合題意；若2B，則222a2+a=0，解得：a=2，此時A=2，1，滿足題意若3B，則323a3+a=0，解得：a=3，此時A=3，1，滿足題意綜上所述，實數(shù)a的值為：1，2，3【點評】本題考查了并集及其運算，考查了分類討論的數(shù)學思想，求出a值后的驗證是解答此題的關鍵，是基礎題18（2016秋楊浦區(qū)校級期中）已知a，b，cR+，求證：2（a3+b3+c3）ab2+a2b+

24、bc2+b2c+ac2+a2c【考點】不等式的證明【專題】證明題；轉化思想；演繹法；不等式的解法及應用【分析】作差，因式分解，即可得到結論【解答】證明：（a3+b3）（a2b+ab2）=a2（ab）+b2（ba）=（ab）（a2b2）=（ab）2（a+b）a0，b0，（a3+b3）（a2b+ab2）0a3+b3a2b+ab2同理b3+c3bc2+b2c，a3+c3ac2+a2c，三式相加，可得2（a3+b3+c3）ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c【點評】本題考查不等式的證明，考查作差法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題19（2016秋楊浦區(qū)校級期中）設正有理數(shù)a1是的一個近似值，令a2=1+，求證：（1）介于a1與a2之間；（2）a2比a1更接近于【考點】二分法求方程的近似解【專題】證明題；轉化思想；作差法；不等式【分析】（1）利用作差法，再因式分解，確定其符號，即可得到結論；（2）利用作差法，判斷|a2|a1|0，即可得到結論【解答】證明：（1）a