橢圓第二定義教學(xué)設(shè)計(jì)

1、橢圓第二定義教學(xué)設(shè)計(jì)養(yǎng)正中學(xué) 劉華湘背景分析：本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完了橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的；是對(duì)橢圓性質(zhì)（離心率）在應(yīng)用上的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)；著重引出橢圓的第二定義、焦半徑公式和準(zhǔn)線方程，掌握橢圓定義的應(yīng)用。教學(xué)中力求以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，充分結(jié)合多媒體技術(shù)，以“形”為誘導(dǎo)，以橢圓的二個(gè)定義為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、探究能力、歸納抽象能力以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想為重點(diǎn)的教學(xué)思想.教材的地位和作用：圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，而橢圓又是學(xué)生遇到的第一種圓錐曲線；能否學(xué)好橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，是學(xué)生能否比較系統(tǒng)地學(xué)好另外兩種圓錐曲線的基礎(chǔ)，甚至是學(xué)生能

2、否學(xué)好解析幾何的關(guān)鍵。而橢圓在教材中具有“承上啟下”的作用，從圖形和第一定義來(lái)看橢圓與圓比較接近，從而對(duì)于學(xué)生來(lái)說學(xué)習(xí)完圓后再學(xué)習(xí)橢圓比較容易接受；而橢圓的第二定義即“到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，正好可以把橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)，使學(xué)生對(duì)圓錐曲線有個(gè)整體知識(shí)體系，所以說這個(gè)定義在整章起到了一種“紐帶”的作用.學(xué)法指導(dǎo)：以問題為誘導(dǎo)，結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的聯(lián)想、類比、化歸、轉(zhuǎn)化.復(fù)習(xí)回顧問題推廣引出課題典型例題課堂練習(xí)歸納小結(jié)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：橢圓第二定義、準(zhǔn)線方程；能力目標(biāo)：1使學(xué)生了解橢圓第二定義給出的背景； 2了解離心率的幾何意義；

3、3使學(xué)生理解橢圓第二定義、橢圓的準(zhǔn)線定義； 4使學(xué)生掌握橢圓的準(zhǔn)線方程以及準(zhǔn)線方程的應(yīng)用； 5使學(xué)生掌握橢圓第二定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用；情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題的引入和變式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看待問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值.教學(xué)重點(diǎn)：橢圓第二定義、焦半徑公式、準(zhǔn)線方程；教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的第二定義的運(yùn)用；教學(xué)方法：創(chuàng)設(shè)問題、啟發(fā)引導(dǎo)、探究活動(dòng)、歸納總結(jié).教學(xué)過程復(fù)習(xí)回顧1橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 18 ，短軸長(zhǎng)為 6 ，半焦距為，離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，（準(zhǔn)線方程為）.2短軸長(zhǎng)為8，離心率為的橢圓兩焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為 20 .引入課題【習(xí)題4（教材P9

4、6）】橢圓的方程為，M1，M2為橢圓上的點(diǎn) 求點(diǎn)M1（4，2.4）到焦點(diǎn)F（3，0）的距離 2.6 . 若點(diǎn)M2為（4，y0）不求出點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)，你能求出這點(diǎn)到焦點(diǎn)F（3，0）的距離嗎？解：且代入消去得【推廣】你能否將橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離表示成點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)嗎？解：代入消去 得問題1：你能將所得函數(shù)關(guān)系敘述成命題嗎？（用文字語(yǔ)言表述）橢圓上的點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離與它到定直線的距離的比等于離心率問題2：你能寫出所得命題的逆命題嗎？并判斷真假？（逆命題中不能出現(xiàn)焦點(diǎn)與離心率）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓【引出課題】橢圓的第二定義當(dāng)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條

5、定直線的距離的比是常數(shù)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)是橢圓的離心率對(duì)于橢圓，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是根據(jù)對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是對(duì)于橢圓的準(zhǔn)線方程是可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為典型例題例1、求橢圓的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線；解：由題意可知右焦點(diǎn)右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線變式：求橢圓方程的準(zhǔn)線方程；解：橢圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故其準(zhǔn)線方程為小結(jié)：求橢圓的準(zhǔn)線方程一定要化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用準(zhǔn)線公式即可求出例2、橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是，求到左焦

6、點(diǎn)的距離為 .變式：求到右焦點(diǎn)的距離為 .解：記橢圓的左右焦點(diǎn)分別為到左右準(zhǔn)線的距離分別為由橢圓的第二定義可知：又由橢的第一定義可知：另解：點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離是2.5，所以點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離為小結(jié)：橢圓第二定義的應(yīng)用和第一定義的應(yīng)用例1、 點(diǎn)P與定點(diǎn)A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點(diǎn)P的軌跡；解法一：設(shè)為所求軌跡上的任一點(diǎn)，則由化簡(jiǎn)得，故所的軌跡是橢圓。解法二：因?yàn)槎c(diǎn)A（2，0）所以，定直線所以解得，又因?yàn)楣仕蟮能壽E方程為變式：點(diǎn)P與定點(diǎn)A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點(diǎn)P的軌跡；分析：這道題目與剛才的哪道題目可以說是同一種類型的題目，那么能否用上面

7、的兩種方法來(lái)解呢？解法一：設(shè)為所求軌跡上的任一點(diǎn)，則由化簡(jiǎn)得配方得，故所的軌跡是橢圓，其中心在（1，0）解法二：因?yàn)槎c(diǎn)A（2，0）所以，定直線所以解得，故所求的軌跡方程為問題1：求出橢圓方程和的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距、離心率；問題2：求出橢圓方程和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程；解：因?yàn)榘褭E圓向右平移一個(gè)單位即可以得到橢圓所以問題1中的所有問題均不變，均為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程分別為：，；長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程分別為：，；反思：由于是標(biāo)準(zhǔn)方程，故只要有兩上獨(dú)立的條件就可以確定一個(gè)橢圓，而題目中有三個(gè)條件，所以我們必須進(jìn)行檢驗(yàn)，又因?yàn)榱硪环矫骐x心率就等于這是兩上矛盾的結(jié)果，所以所求方程是錯(cuò)誤

8、的。又由解法一可知，所求得的橢圓不是標(biāo)準(zhǔn)方程。小結(jié)：以后有涉及到“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)時(shí)”最好的方法是采用求軌跡方程的思路,但是這種方法計(jì)算量比較大；解法二運(yùn)算量比較小，但應(yīng)注意到會(huì)不會(huì)是標(biāo)準(zhǔn)方程，即如果三個(gè)數(shù)據(jù)可以符合課本例4的關(guān)系的話，那么其方程就是標(biāo)準(zhǔn)方程，否則非標(biāo)準(zhǔn)方程，則只能用解法一的思維來(lái)解。例4、設(shè)AB是過橢圓右焦點(diǎn)的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準(zhǔn)線（ ）A.相切 B.相離 C.相交 D.相交或相切分析：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？解：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為；過點(diǎn)A、B、M分別作出準(zhǔn)線的垂線，

9、分別記為由梯形的中位線可知又由橢圓的第二定義可知即又且故直線與圓相離例5、已知點(diǎn)為橢圓的上任意一點(diǎn)，、分別為左右焦點(diǎn)；且求的最小值分析：應(yīng)如何把表示出來(lái)解：左準(zhǔn)線：，作于點(diǎn)D，記由第二定義可知： 故有所以有當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是變式1：的最小值；解：變式2：的最小值；解：F1AMD課堂練習(xí)1已知 是橢圓 上一點(diǎn)，若 到橢圓右準(zhǔn)線的距離是 ，則 到左焦點(diǎn)的距離為_2若橢圓 的離心率為 ，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是_答案：1      21或2  歸納小結(jié)：1橢圓第二定義、焦半徑公式、準(zhǔn)線方程；2橢圓定義的

10、簡(jiǎn)單運(yùn)用；3離心率的求法以及焦半徑公式的應(yīng)用；課后作業(yè)1.例題5的兩個(gè)變式；2. 已知 ， 為橢圓 上的兩點(diǎn)， 是橢圓的右焦點(diǎn)若 ， 的中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離是 ，試確定橢圓的方程解：由橢圓方程可知 、兩準(zhǔn)線間距離為 設(shè) ， 到右準(zhǔn)線距離分別為 ， ，由橢圓定義有 ，所以 ，則 ， 中點(diǎn) 到右準(zhǔn)線距離為 ，于是 到左準(zhǔn)線距離為 ， ，所求橢圓方程為 思考：1方程表示什么曲線？解：；即方程表示到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比常數(shù)（且該常數(shù)小于1）方程表示橢圓例、（06四川高考15）如圖把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等分，過每個(gè)等分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則=解法一：，設(shè)

11、的橫坐標(biāo)為，則不妨設(shè)其焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)由得解法二：由題意可知和關(guān)于軸對(duì)稱，又由橢圓的對(duì)稱性及其第一定義可知，同理可知，故板書設(shè)計(jì)：復(fù)習(xí)回顧引入課題問題：推廣：橢圓第二定義典型例題12345課堂練習(xí)：課堂小結(jié)：課后作業(yè)：思考：附學(xué)生用復(fù)習(xí)回顧問題推廣引出課題典型例題課堂練習(xí)歸納小結(jié)學(xué)法指導(dǎo)：復(fù)習(xí)回顧1橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 ，短軸長(zhǎng)為 ，半焦距為 ，離心率為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .2短軸長(zhǎng)為8，離心率為的橢圓兩焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為 .【習(xí)題4（教材P96）】橢圓的方程為，M1，M2為橢圓上的點(diǎn) 求點(diǎn)M1（4，2.4）到焦點(diǎn)F（3，0）的距離 . 若點(diǎn)M2為（4，y0

12、）不求出點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)，你能求出這點(diǎn)到焦點(diǎn)F（3，0）的距離嗎？【推廣】你能否將橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離表示成點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)嗎？問題1：你能將所得函數(shù)關(guān)系敘述成命題嗎？（用文字語(yǔ)言表述）問題2：你能寫出所得命題的逆命題嗎？并判斷真假？（逆命題中不能出現(xiàn)焦點(diǎn)與離心率）【引出定義】橢圓的第二定義當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是 時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是 定點(diǎn)是橢圓的 ，定直線叫做橢圓的 ，常數(shù)是橢圓的 對(duì)于橢圓，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是 根據(jù)對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是 ；橢圓的準(zhǔn)線方程是 .可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓

13、的第二定義可得：右焦半徑公式為 ；左焦半徑公式為 例1、求橢圓的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線；變式：求橢圓方程的準(zhǔn)線方程；例2、橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是，求到左焦點(diǎn)的距離為 .變式：求到右焦點(diǎn)的距離為 .例3、點(diǎn)P與定點(diǎn)A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點(diǎn)P的軌跡；變式：點(diǎn)P與定點(diǎn)A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點(diǎn)P的軌跡；例4、設(shè)AB是過橢圓右焦點(diǎn)的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準(zhǔn)線（ ）A.相切 B.相離 C.相交 D.相交或相切例5、已知點(diǎn)為橢圓的上任意一點(diǎn)，、分別為左右焦點(diǎn)；且求的最小值課堂練習(xí)1已知 是橢圓 上一點(diǎn)，若 到橢圓右準(zhǔn)線的距

14、離是 ，則 到左焦點(diǎn)的距離為_2若橢圓 的離心率為 ，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是_歸納小結(jié)：課后作業(yè)1.例題5的兩個(gè)變式；2. 已知 ， 為橢圓 上的兩點(diǎn)， 是橢圓的右焦點(diǎn)若 ， 的中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離是 ，試確定橢圓的方程思考：1方程表示什么曲線？例、（06四川高考15）如圖把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等分，過每個(gè)等分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則=橢圓第二定義學(xué)生問卷調(diào)查1通過“問題與推廣”的形式給出第二定義比課本例4（ ）、更好理解（10） 、一般（28） 、更難理解（13）2課件的動(dòng)畫效果是否能讓你更有效理解橢圓的第二定義（ ）、很有效果（9 ） 、基本上能理解（35）

15、、不能，需進(jìn)一步改進(jìn)（7）3你會(huì)求橢圓的準(zhǔn)線方程嗎（）、會(huì)（34）、不太清楚（12）、不會(huì)（5）4你覺得這節(jié)課老師講解的題目太多了嗎（ ）、太多（5）、差不多（43）、太少（3）5你覺得這節(jié)課老師講解的題目太難了嗎（）、太難（11）、一般（39）、太簡(jiǎn)單（1）6你覺得這節(jié)課有必要用多媒體來(lái)上嗎（ ）、有必要（20） 、可無(wú)可有（24） 、不必要（7）7你認(rèn)為本節(jié)課的課堂氣氛如何（ ）？ 、非常好 （1）   、好（41）   、不好（9）8你對(duì)老師的教學(xué)設(shè)計(jì)方式滿意嗎（ ）？、很滿意（9） 、比較滿意 （39 ） 、不滿意（

16、3）9你認(rèn)為上課老師在哪些方面還需作一定的改進(jìn)？  （     ） (可以多選)A、教學(xué)內(nèi)容，重點(diǎn)、難點(diǎn)以及例題的分析講解.（23）B、教學(xué)語(yǔ)言的組織.（14）C、課堂氣氛的營(yíng)造、控制及師生互動(dòng).（22）D、課件的制作.（4）E、板書設(shè)計(jì).（9）F、其它_ (請(qǐng)?zhí)顚? 910你認(rèn)為怎樣的課堂氣氛才是良好的？請(qǐng)你對(duì)今后的數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)提出好的建議。1大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為要活躍課堂氣氛，要增強(qiáng)師生的互動(dòng)2分析題目的切入點(diǎn)要分析得再詳細(xì)點(diǎn)，步驟可以不要那么詳細(xì)，分析思路太快了3希望能夠把一道題目算到最后答案、希望多講

17、一些名師伴你行希望多復(fù)習(xí)以前的知識(shí)點(diǎn)，希望上課多一點(diǎn)激情，講知識(shí)再慢一點(diǎn)教師評(píng)語(yǔ)橢圓第二定義公開課小結(jié) 劉華湘橢圓第二定義在教材中是利用一個(gè)例題的形式給出的，而在這個(gè)例題給出的數(shù)據(jù)過于巧合，而會(huì)使學(xué)生有點(diǎn)看不太懂（其實(shí)課本給出的數(shù)據(jù)是為了所求出的方程恰好為標(biāo)準(zhǔn)方程而作的準(zhǔn)備）。而我想采取習(xí)題與推廣的形式先給出一個(gè)命題“橢圓上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以表示成橫坐標(biāo)的函數(shù)”然后再由這個(gè)函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣對(duì)于學(xué)生來(lái)說可能就不會(huì)那么突然地給出那么多巧合的數(shù)據(jù)了。也從而引導(dǎo)學(xué)生要注意課本上的習(xí)題加以反思，立足教材。橢圓的第二定義其實(shí)在圓錐曲線這一章來(lái)說是非常重要的同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，而正是“比值定義”可以把圓錐曲線的三種形式有機(jī)的統(tǒng)一起來(lái)。教學(xué)大綱要求：理解橢圓的比值定義；掌握橢圓的準(zhǔn)線方程。本節(jié)課采用多媒體教學(xué)，可大大增加本節(jié)課的容量，通過“習(xí)題與推廣”引導(dǎo)學(xué)生要對(duì)一些習(xí)題加以反思，通過數(shù)學(xué)符號(hào)與文字語(yǔ)言的互譯讓學(xué)生自己寫出命題，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。同時(shí)結(jié)合多媒體尤其是幾何畫板的動(dòng)