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文檔簡介

1、通信原理通信原理Principles of Communications 課件整理:王懷興課件整理:王懷興 QQ:76944908 Email: TEL第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程通信過程中的信號與噪聲都有一定的隨機(jī)性,需要用隨機(jī)過程(rondom process)來描述。本章主要學(xué)習(xí)隨機(jī)過程的分布及數(shù)字特征,隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)。本章內(nèi)容本章內(nèi)容隨機(jī)過程的分布與數(shù)字特征平穩(wěn)、高斯、窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性高斯白噪聲和帶限白噪聲3.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念(The basic conce

2、pts of the random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的定義(Definition)例:n臺示波器同時觀測并記錄噪聲源的輸出噪聲波形,每一臺輸出記為i (t)。(t) =1 (t), 2 (t), , n (t)稱為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程。1 (t) 2 (t) 3 (t) 4 (t) 5 (t) 6 (t) 隨機(jī)過程是所有樣本函數(shù)i(t) 的集合;i (t)是隨機(jī)過程的一次實現(xiàn)實現(xiàn),是確定的時間函數(shù);隨機(jī)過程任意時刻的值是一個是隨機(jī)變量;是時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。3.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念(The bas

3、ic concepts of the random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程的分布函數(shù)(Distribution function)一維分布函數(shù):)(),(11111xtPtxF一維概率密度函數(shù):1111111),(),(xtxFtxf221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf,;,;,二維分布函

4、數(shù):二維概率密度函數(shù):n維分布函數(shù):n維概率密度函數(shù):3.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念(The basic concepts of the random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeral characteristic)均值均值(Average)或者或者數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(Mathematic expectation)dxtxxftEdxtxfxtE),()(),()(1111111或 (t)的均值是時間的確定函數(shù),常記作a(t),它表示隨機(jī)過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。上式中,由于t1是任取的,所以可以把

5、t1 直接寫為t, x1改為x。a(t)3.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念(The basic concepts of the random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeral characteristic)方差方差(Variance)2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx常記為 2( t ),此處把任意時刻t1直接寫成了t。 所以,方差等于均方值均方值與均值均值平方之差,它表示隨機(jī)過程在時刻 t 對于均值a ( t

6、)的偏離程度。均方值均值平方3.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念(The basic concepts of the random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeral characteristic)相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)(correlation function)2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR (t1)和 (t2)分別是t1和t2時刻觀測到的隨機(jī)變量??梢姡琑(t1, t2)是兩個變量t1和t2的確定函數(shù)。協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)(covariance function)

7、21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB a(t1)和a(t2)分別是在t1和t2時刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2)為 (t)的二維概率密度函數(shù)。 3.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念(The basic concepts of the random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征(Numeral characteristic)相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的關(guān)系相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的關(guān)系2121212221121),;,

8、()()(),(dxdxttxxftaxtaxttB 212121212212121),;,()()()()(dxdxttxxftaxtaxtataxx )()(2)()(),;,(2121212121221tatatatadxdxttxxfxx )()(),(2121tatattR互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù))()(),(2121ttEttR(t)和(t)為兩個隨機(jī)過程,R(t1, t2)也稱自相關(guān)函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)。3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義若隨機(jī)過程(t)的統(tǒng)計特性

9、與時間起點無關(guān),則稱該隨機(jī)過程是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。若(t)平穩(wěn)則有:),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf;);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR )(),(11111xftxf一維分布函數(shù)與時間t無關(guān)二維分布函數(shù)只與時間間隔 = t2 t1有關(guān)(1)其均值與t無關(guān),為常數(shù)a(2)自相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)滿足(1)和(2)為廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲,大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨噪聲,大多數(shù)可視為

10、平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此,研究平穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程。因此,研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實際意義。過程有著很大的實際意義。 3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)隨機(jī)過程(t)的數(shù)字特征(均值與相關(guān)函數(shù))是對(t)所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均,但實際很難獲得。各態(tài)歷經(jīng)含義:各態(tài)歷經(jīng)含義:各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過程任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程所有可能狀態(tài),其數(shù)字特征完全可由隨機(jī)過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。 各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程,反之不一定。)()()(1lim)()()()(1li

11、m)(2/2/2/2/RdttxtxTtxtxRadttxTtxaTTTTTT平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均等于它任一次實現(xiàn)的時間平均,則為隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性。通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲,一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)【例例3-1】 隨機(jī)相位正弦波 ,A和c為常數(shù),在(0, 2)均勻分布,(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性?)cos()(tAtc解:解:(1)先求(t)的統(tǒng)計平均值:)cos()()(tAEtEtac數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望自相

12、關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))cos()cos()()(),(212121tAtAEttEttRcc2)(cos)(cos212122ttttEAcc20122122122)(cos2212)(cos2)(cos2ttAdttAttAcccsinsincoscosttAEcc0sinsincoscostEAtEAcc3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)【例例3-1】 隨機(jī)相位正弦波 ,A和c為常數(shù),在(0, 2)均勻分布,(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性?)cos()(tAtc可見, (

13、t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù),自相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān),所以為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 (2) 求(t)的時間平均值220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATRcAcos22因此,隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。cARRaacos2)()(023.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)(self-correlation function)212122111);,()()()(dxdxxxfxxttER 平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)

14、過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì))()0() 1 (2tER (t)的平均功率)()()2( RR 的偶函數(shù))0()() 3(RR R()的上界是R(0)22a)()()4(tER(t)的直流功率2是方差,表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。22)()()()()(lim)(limatEtEtEttER2)()0()5( RR-當(dāng)均值為0時,有R(0) = 2 3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度( power spectral density)對任意確定功率信號f (t)的功率譜密度

15、定義為TfFmi lfPTTf2)()(FT ( f )是f (t)的截短函數(shù)fT (t)的頻譜函數(shù),如圖:把f (t)當(dāng)作是(t)的一個樣本,過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均,即:TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度( power spectral density)功率譜密度的計算功率譜密度的計算平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換,稱為維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系(Wiener-Khi

16、nchine)。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPRdffPtER)()()0(2(1) 過程平均功率(2) 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。 )()()()()(R)()(fPfPRRandfPandfPRff(3)功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實偶性,即0)(fP)()(fPfP3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationary random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度( power spectral density)功率譜密度的計算功率譜密度的計算cARcos2)(

17、2)()(PR)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS例例3-2 求隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解:解:例例3-1已求出(t)為平穩(wěn)過程,相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換,即有 3.3 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程(Gaussian random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 定義定義如果隨機(jī)過程 (t)的任意n維(n =1,2,.)分布均服從正態(tài)分布,則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。 n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為:22)(),(kkkkkatEtEanjnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBttxxf112

18、/ 112/11)(21exp.)2(1).(;11121221112nnnnbbbbbbB|B|jk :行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk:為歸一化協(xié)方差函數(shù)kjkkjjjkatatEb)()(3.3 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程(Gaussian random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)( crucial properties)高斯過程n維分布只依賴各隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差,只需研究它的數(shù)字特征;廣義平穩(wěn)高斯過程的均值與時間無關(guān),協(xié)方差只與時間間隔有關(guān),其n維分布與時間起點無關(guān),故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。如果高斯過程在不同時刻的取值是不

19、相關(guān)的,那么它們也是統(tǒng)計獨立的。若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程,則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。nkkknnnntxfaxtttxxxf11k2k2kkk2121),(2)(exp21),.,;,.,(3.3 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程(Gaussian random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量(Gaussian random variable)高斯過程在任一時刻的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量(高斯隨機(jī)變量),其一維概率密度函數(shù)為221()( )exp22xaf xa均值, 2方差f(x+a)=f(x-a)關(guān)于直線x=a對稱a:分布中心, :標(biāo)準(zhǔn)偏差,隨

20、減小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和 = 1時為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布1)(21)()(dxxfdxxfdxxfaa, 21( )exp22xf x3.3 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程(Gaussian random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量(Gaussian random variable)正態(tài)分布函數(shù)221()( )()exp22xzaF xPxdz此積分無法用閉合形式計算,通常用查表法求dtdzazt22/ )(令22121121)(2/ )(2axerfdtexFaxt式中 稱為誤差函數(shù),可查表求202( )xterf xedt)()(, 1)(,

21、 0)0(xerfxerferferfxtdtexerfxerfcaxerfcxF22)(1)(,2211)()(2)(, 0)(, 1)0(xerfcxerfcerfcerfc2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(3.3 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程(Gaussian random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量(Gaussian random variable)用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù):Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線

22、性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationary random process through the linear system) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程設(shè)線性時不變系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為h(t),輸入為vi(t),輸出為vo(t),則dvthdtvhtvthtviii)()()()()()()(0)()()(0fVfHfVi設(shè)輸入i(t)是平穩(wěn)的隨機(jī)過程,a為均值,Ri()為自相關(guān)函數(shù),Pi() 為功率譜密度。1 輸出輸出 o(t)的的均值均值dthti)()()(0)0()()()()()()(0HadhadtEhdthEtEiiH(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)。3

23、.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationary random process through the linear system) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 輸出輸出 o(t)的的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 輸出的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔 的函數(shù)。 若線性系統(tǒng)的輸入平穩(wěn),則輸出也平穩(wěn)。 3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationary r

24、andom process through the linear system) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程3 輸出輸出 o(t)的功率譜密度的功率譜密度)()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii令 = +-,代入上式,得到結(jié)論:結(jié)論:輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(Stationary random process thro

25、ugh the linear system) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程4 輸出輸出 o(t)的概率分布的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的,則系統(tǒng)的輸如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的,則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。出過程也是高斯型的。 kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(0設(shè)i(t)是高斯型,上式右端每一項都是一個高斯隨機(jī)變量,則輸出o(t)在任一時刻上得到的隨機(jī)變量是無限個高斯變量之和,則輸出為高斯過程。與輸入過程相比,輸出的數(shù)字特征已經(jīng)改變。3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程(narrow band random process) 第第3 3章章 隨

26、機(jī)隨機(jī)過過程程若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f 內(nèi),即滿足f fc的條件,且 fc 遠(yuǎn)離零頻率,則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。窄帶隨機(jī)過程。 窄帶隨機(jī)過程的譜密度窄帶隨機(jī)過程的樣本函數(shù) 0ccfff可以看作是包絡(luò)線緩慢變化的正弦波3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程(narrow band random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程的表示式0)(,)(cos)()(tatttatca (t)隨機(jī)包絡(luò), (t)隨機(jī)相位,c中心頻率a (t)和 (t)相對于載波cosct的變化要緩慢得多。tttttcsccsin)(cos)(

27、)(的正交分量的同相分量)()(sin)()()()(cos)()(tttattttatsctttatttatccsin)(sin)(cos)(cos)()(t)的統(tǒng)計特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t) 確定。若(t)統(tǒng)計特性已知,則a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。 3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程(narrow band random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtEcsccsin)(cos)()(通常設(shè)(t)平穩(wěn)且均值為零,故E

28、(t)=0 ,所以 0)(0)(tEtEsc, (t)的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 (t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù))()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程(narrow band random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc因為(t)是

29、平穩(wěn)的,故有R(t,t+)= R(),這就要求上式的右端與時間t無關(guān),而僅與有關(guān)。 因此,若令 t = 0,上式仍應(yīng)成立,它變?yōu)閏csccttRttRRsin),(cos),()(因與時間t無關(guān),以下二式自然成立)(),(),(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()()(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程(narrow band random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 c(t)和和 s

30、(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性即令t=0時ccsccRRRsin)(cos)()(同理再令t=/2c時csccsRRRsin)(cos)()( Ec(t)=Es(t)=0,Rc()與Rs()只和有關(guān)。即若若窄帶過程窄帶過程 (t)平穩(wěn),則平穩(wěn),則 c(t)和和 s(t)也必然平穩(wěn)。也必然平穩(wěn)。)()();()(sccsscRRRR根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)有)()(sccsRR與上式相比較有0) 0() 0()()(sccssccsRRRR) 0() 0() 0(scRRR222sc即 (t)、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。 3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)

31、過程(narrow band random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性根據(jù)平穩(wěn)性,過程的特性與變量t無關(guān),故由式 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時)()(,2222ttttsc時因為(t)是高斯過程,則c(t1), s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量,從而c(t) 、 s(t)也是高斯過程。即一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t),其c(t)、s(t)也是高斯過程,且均值為零,方差相同;同一個時刻上得到的c(t)和s(t)是統(tǒng)計獨立的。3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程(narrow band

32、random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 a (t)和和 (t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù) f(a , )2exp212exp21)(2222ssssssf2exp21)()(),(2222scscscfffsc獨立與2exp212exp21)(2222ccccccf),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程(narrow band random process) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 a (t)和和 (t)的統(tǒng)計特性的

33、統(tǒng)計特性聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù) f(a , )2222222exp22)sin()cos(exp2),(),(aaaaafaafsc式中:a 0, = (0 2) a 的一維概率密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù)202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa可見,a服從瑞利(Rayleigh)分布。20212exp21),()(02220daaadaaff可見, 服從均勻分布。a 與統(tǒng)計獨立。)()(),(fafaf3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲(Sine wave plus narrowband gaussian noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨

34、機(jī)過過程程1 正弦波加窄帶高斯噪聲的表示正弦波加窄帶高斯噪聲的表示)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(n(t)窄帶高斯噪聲; 正弦波的隨機(jī)相位,均勻分布在02間;A和c確知振幅和角頻率ttnAttnAtrcsccsin)(sincos)(cos)()(sin)()(cos)(tnAtztnAtzsscc2,)()()(0, )()()(122otztztgtztztztzcssc)(cos)(tttzcttzttzcSccsin)(cos)(3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲(Sine wave plus narrowband gaus

35、sian noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性利用上一節(jié)的結(jié)果,如果值已給定,則zc、zs是相互獨立的高斯隨機(jī)變量,且有)(sin)()(cos)(,sin)(cos)()(tnAtztnAtzttzttztrsscccScc222;sin;cosnscscAzEAzEttnttntncsccsin)(cos)()( zc和和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)(相位相位 一定一定)2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲(S

36、ine wave plus narrowband gaussian noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性2,)()()(0, )()()(122otztztgtztztztzcssc)(cos)()(tttztrc包絡(luò)的概率密度函數(shù)包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)sincoszzzzsc)cos(221exp22222AzAzznn202222220)cos(exp2exp2)/,()/(dAzAzzdzfzfnnn)/,()()()/,()/,(scsc,sczzfzz,zzzzfzf200)(cosexp21x

37、Idx20202)cos(exp21nnAzIdAz3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲(Sine wave plus narrowband gaussian noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn可見,f (, z)與無關(guān)稱為廣義瑞利分布廣義瑞利分布,又稱萊斯萊斯(Rice)分布分布。式中I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。 200cosexp21)(dxxIx0時,I0(x)是單調(diào)上升函數(shù)

38、,且I0(0)=03.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲(Sine wave plus narrowband gaussian noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性當(dāng)信號很小(A0)時,Az/n20,I0(Az/n2)1,上式的萊斯分布退化為瑞利分布。02exp)(222zzzzfnn0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn當(dāng)(Az/n2)很大時,有xexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf上式近似為高斯分布包絡(luò)的概率密度函數(shù)曲線f(z)瑞利分布, 0222nAdBAn322

39、2dB3dB9dB5 .12dB15dB173.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲(Sine wave plus narrowband gaussian noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲(Sine wave plus narrowband gaussian noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程2 正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的統(tǒng)計特性dBAn15222dB5 .12dB9dB3dB3均勻相位0A相位的概率密度函數(shù)

40、曲線f()3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussian white noise and band-limited white noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程1 白噪聲白噪聲n(t) (white noise)噪聲功率譜密度在所有頻率上均為一常數(shù),即)(2)(0fnfPn 雙邊功率譜密度)(0)(0fnfPn單邊功率譜密度白噪聲的自相關(guān)函數(shù):白噪聲的自相關(guān)函數(shù):對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換,得到相關(guān)函數(shù):)(2)(0nR=0時才相關(guān)3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲高斯白噪聲和帶限白噪聲(Gaussian white noise and band-limited white noise) 第第3 3章章 隨機(jī)隨機(jī)過過程程)

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