不定積分中的“積不出”問(wèn)題

1、不定積分中的“積不出”問(wèn)題張春茍首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100037摘要：本文利用劉維爾（J. Liouville）定理討論了幾類不定積分是否初等函數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的判定法則。關(guān)鍵詞：不定積分；原函數(shù)；初等函數(shù)中圖分類號(hào)：O 1711 引 言我們說(shuō)函數(shù)“積不出”是指不定積分不是初等函數(shù)，即的原函數(shù)不是初等函數(shù)。在數(shù)學(xué)分析教材中，都只是結(jié)論性的給出幾個(gè)這樣的例子，既不證明，也沒(méi)有更多的說(shuō)明。這難免不使學(xué)生感到疑惑和不塌實(shí)，也容易使學(xué)生誤以為積不出的函數(shù)很少，同時(shí)也可能會(huì)使學(xué)生在遇到積不出問(wèn)題時(shí)，卻試圖尋求原函數(shù)求解而煞費(fèi)苦心，浪費(fèi)時(shí)間。因此，給出更多積不出函數(shù)的例子和一些判斷不定積

2、分是否初等函數(shù)的法則是很有必要的， 本文將在此方面做一些探討。研究函數(shù)積不出問(wèn)題的基礎(chǔ)之一是以下的劉維爾（J. Liouville）定理1定理A（劉維爾第三定理）：設(shè)，為的代數(shù)函數(shù) 如果函數(shù) 滿足方程 ，其中是正整數(shù)， 是多項(xiàng)式，那么函數(shù)稱為的代數(shù)函數(shù)，且不為常數(shù)。若是初等函數(shù)，則=，其中和分別是有理函數(shù)和常數(shù)。定理B（劉維爾第四定理）：設(shè)，（）為的代數(shù)函數(shù)，且常數(shù) ()。若函數(shù)的不定積分是初等函數(shù)，則也是初等函數(shù)。換句話說(shuō)就得下面的推論推論 設(shè)，（）為的代數(shù)函數(shù)，且常數(shù) ()。若中有一項(xiàng)是積不出函數(shù)，則也是積不出函數(shù)。2主要結(jié)果文獻(xiàn)2利用劉維爾第三定理證明了不定積分（）、（）、以及、等不是初

3、等函數(shù)。由歐拉公式，用劉維爾第四定理不難證明不定積分、也不是初等函數(shù)。利用分部積分、變量替換等手段由它們可得更多積不出函數(shù)。1不定積分（是次非零多項(xiàng)式）何時(shí)為初等函數(shù)？ 設(shè)次的多項(xiàng)式 =（）當(dāng)時(shí)，由分部積分可得 =+則 = = += +由于不定積分不是初等函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，是初等函數(shù)。定理1 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，是初等函數(shù)。2不定積分 （是次的非零多項(xiàng)式）何時(shí)為初等函數(shù)？我們注意到：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，不定積分為初等函數(shù)，而不定積分=+ +不是初等函數(shù)。不妨設(shè)，則=+這里是初等函數(shù)。因此我們有，定理2 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，不定積分 是初等函數(shù)。 3不定積分 （是次的非零多項(xiàng)式）何時(shí)為初等函數(shù)？令 ，則。=

4、 而 常數(shù)（）這樣由劉維爾第四定理知定理3 對(duì)任何非零多項(xiàng)式，不定積分 是非初等函數(shù)。4不定積分 （是次的非零多項(xiàng)式）何時(shí)為初等函數(shù)？由歐拉公式得 = ，則當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，不定積分、是初等函數(shù)，因此不妨設(shè)，則 =這里是初等函數(shù)。既然常數(shù)，則由劉維爾第四定理知定理4 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，不定積分、是初等函數(shù)。5不定積分 （是次的非零多項(xiàng)式）何時(shí)為初等函數(shù)？對(duì)此，類似問(wèn)題4的討論我們有定理5 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，不定積分 、（是次的非零多項(xiàng)式）為初等函數(shù)。6不定積分何時(shí)為初等函數(shù)？對(duì)此有如下的切彼曉夫（.e）定理。定理C 不定積分（其中是有理數(shù)）是初等函數(shù)的充分必要條件是三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是整數(shù)。特別地，取 ，

5、則可得如下推論推論 設(shè)是有理數(shù)，則不定積分是初等函數(shù)的充分必要條件是三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是整數(shù)。7不定積分（是次的多項(xiàng)式）何時(shí)為初等函數(shù)？我們注意到當(dāng)時(shí)，不定積分總是初等函數(shù)，這在數(shù)學(xué)分析教材里有說(shuō)明；當(dāng)時(shí)，不定積分一般不是初等函數(shù)；當(dāng)時(shí)稱為橢圓積分，文獻(xiàn)指出它總可以表示成初等函數(shù)與以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓積分之和： 、 、 。而這些橢圓積分，早在年劉維爾就證明了不是初等函數(shù)。參考文獻(xiàn)1 張從軍，數(shù)學(xué)分析概要二十講，安徽大學(xué)出版社，2000年。2 王建華、周麗萍，呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào) 第十三卷第2期，2005年。3 吉米多維奇著，李榮凍譯，數(shù)學(xué)分析習(xí)題集，人民教育出版社，年4 周民強(qiáng)，數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)），

6、上海科學(xué)技術(shù)出版社，年 The problem on “beyond element” in indefinite integralChungou Zhang ( Mathematical Science college, Capital Normal Uni. Beijing 100037 )Abstract In this paper, we discuss the problem on “beyond element” in indefinite integral by Liouvilles theorem and give the criterions for several classes of indefinite integral to determine whether or not are