從一道中考題談幾何教學(xué)中的“基本圖形”(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上從一道中考題談幾何教學(xué)中的“基本圖形”上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué) 蘇有馬 許多同學(xué)在學(xué)習數(shù)學(xué)時都有一種感覺：數(shù)學(xué)知識越學(xué)越多，有時反而不知道用什么方法去解決了；或者有時遇到一個問題百思不得其解，一經(jīng)別人點撥就立刻豁然開朗、茅塞頓開，才知如此簡單。特別是對于進入初三的同學(xué)，這種感覺更是明顯。有許多同學(xué)一遇到綜合性題目就會“手忙腳亂”，不知從何下手，但經(jīng)老師分析后，他也能很快予以解決。筆者認為，造成這種結(jié)果有主客觀兩方面原因。（一）客觀方面 數(shù)學(xué)題型多變，特別是幾何圖形千變?nèi)f化，同一個知識點考核方法各不相同，好像捉摸不透；另一個客觀原因是由于知識存儲越來越多，有時無法很快

2、做出選擇，或猶豫不決、或幾種方法糾纏不清，解題思路不清晰。（二）主觀方面 許多同學(xué)缺乏對知識進行必要的歸納總結(jié)，遇一題、解一題，“就題論題”，不能找到各個問題間的內(nèi)在聯(lián)系。當然最為重要的一個原因在于“心中無題，沒有自信”，缺乏敏銳的觀察力。不能從復(fù)雜的圖形中分解出自己所熟知的基本題型和基本圖形，各個擊破，逐一解決也是許多同學(xué)的困難所在?？傊?，如何真正實現(xiàn)由“數(shù)學(xué)知識”向“數(shù)學(xué)能力”轉(zhuǎn)化，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵所在。 如上海市2005年中考數(shù)學(xué)試卷最后一題： 在ABC中，ABC=900，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，作EPED，

3、交射線AB于點P，交射線CB于F。（1） 如圖1，求證：ADEAEP；（2） 設(shè)OA=x，AP=y, 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3） 當BF=1時，求線段AP的長。 圖1 備用圖此題題目較長，圖形復(fù)雜，看似較難。但是如果我們將其分解成若干個基本題型或基本圖形，逐一解決，就變得容易多了。而且大多數(shù)同學(xué)在平時的學(xué)習中對以下基本圖形都已經(jīng)相當熟悉了?；緢D形（1）：直角三角形（勾股定理），在RtABC中，ABC=90O，AB=4，BC=3，易得AC=5，即ABC唯一確定。 (1)基本圖形（2）：圓與切線（切線性質(zhì)定理）半圓O與AD相切于點D，若連結(jié)OD（也必定要連接OD），則一定有

4、ODAD成立。 (2)基本圖形（3）：有一個公共角的兩個相似三角形（相似三角形判定），已知有一對角相等，由等邊對等角和等式性質(zhì)，易得ADEAEP 。 (3)基本圖形（4）：相似三角形三邊對應(yīng)關(guān)系（相似三角形性質(zhì)定理），已知OA=x，需用x表示其它相關(guān)線段，顯然，ODCB，同理，易證第（2）問。當然也可以運用相似或銳角三角比 （4） 基本圖形（5）：對頂直角三角形（有一對非直角的對頂角的兩個直角三角形一定相似），易得BPFEPD，所以，由第（1）問得，所以BP=2BF。可求第（3）問。 (5)基本圖形（6）：“平角上剪去一個直角”，因為PED=900，CEA=180，所以1+2=90O，2=AP

5、E=BPF，而BPF+F=900，由等角的余角相等得F=FEC，所以CF=CE，可求得AE，即求得x，由函數(shù)解析式從而得出y值（即AP的長）。 (6) 怎樣才能從這樣復(fù)雜的圖形中找出這些“有用的”基本圖形，是一個說起來簡單，但做起來還是比較難的問題。所以說如何幫助同學(xué)在平時的學(xué)習中掌握科學(xué)的學(xué)習方法，培養(yǎng)學(xué)生對一些基本題型和基本圖形的敏銳觀察力（也就是借給學(xué)生一雙“數(shù)學(xué)慧眼”）就顯得尤為重要。筆者一直以來，在每學(xué)習一部分課本內(nèi)容后都嘗試以“專題講座”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，自我總結(jié)，自我提高。通過各個專題的學(xué)習，熟練掌握一些重要的基本圖形和基本題型。學(xué)會從一個復(fù)雜的圖形中找出它所包含的基

6、本圖形，并實現(xiàn)問題的合理轉(zhuǎn)化和知識的正遷移。在研究過程中，學(xué)生能夠掌握一些數(shù)學(xué)基本研究方法和數(shù)學(xué)思維模式。使學(xué)生感到“數(shù)學(xué)題目萬變不離其宗”，自然會做到“腦中有題（圖），心不慌”。 下面以圓與直角梯形專題為例，介紹一下如何開展基本圖形教學(xué)。一、 基本圖形的介紹基本圖形1：以直角梯形的一條垂直于底邊的腰為直徑作半圓且與另一腰相切如圖：已知四邊形ABCD是梯形，ADBC，C=900，DC是O的直徑，且O切AB于點E。觀察此圖，你可以得出哪些結(jié)論？（可添加輔助線）首先老師揭示圖形特征“圓與直角梯形”（即研究對象），并結(jié)論開放。一方面鍛煉學(xué)生的猜想能力，另一方面使學(xué)生掌握一些常見輔助線作法，而且自己發(fā)

7、現(xiàn)的結(jié)論會更容易理解，更容易記憶。 學(xué)生踴躍發(fā)言，根據(jù)添加輔助線情況，可以得到以下五類結(jié)論：（一）不添線：（1）AD=AE（2）BE=BC（3）AB=AD+BC（二）連結(jié)OE：（4）OEAB（OEA=900）（三）（連結(jié)OA、OB：（5）RtADORtAEO（6）RtBEORtBCO（7）1=2，3=4（8）2+3=900（AOBO）（9）RtADORtOCB（10）OD2=ADBC（四）連結(jié)DE、CE：（11）DEEC（DEC=900）（五）過點A作AFBC，垂足為F：（12）AB2=AF2+BF2 （其中AF=DC，BF=BC-AD） 在整個研究過程中，完全任由學(xué)生的思維發(fā)散。讓學(xué)生通過研

8、究，發(fā)現(xiàn)一個看似簡單的圖形原來可以得出這么多的結(jié)論。沒有發(fā)現(xiàn)的同學(xué)也會不自覺地接受了其他同學(xué)分析問題的方法和常見輔助線作法。如此以來，學(xué)生再一次看到滿足此特征的基本圖形就立刻能夠得到以上相關(guān)結(jié)論。 基本圖形2：以直角梯形不垂直于底邊的腰為直徑作圓與另一腰相切。是將基本圖形1稍作變動，學(xué)生經(jīng)過探究同基本圖形1一樣可以得出四類結(jié)論。（一）連結(jié)OE：（1）OEDC（2）OEADBC（3）DE=EC（4）OE是梯形ABCD的中位線，即OE=（AD+BC）（5）AB=2EO=AD+BE（二）連結(jié)AE、BE：（6）AEB=900（7）ADEECB（8）DE2=ADBC（三）連結(jié)OD、OE：（9）OE垂直平

9、分線段DC（即OD=OC）（四）過點A作AFBC，垂足為F：（10）AB2=AF2+BF2（其中AB=AD+BC，BF=BC-AD） 當然，在這兩個基本圖形中又隱含了多個其它基本圖形，一旦發(fā)現(xiàn)就可以實現(xiàn)基本圖形間的整合和轉(zhuǎn)化。二、 基本圖形比較不僅從相同的“圓與直角梯形”中找出不同點：條件不同點：基本圖形1是以垂直于底邊的腰為直徑作圓；基本圖形2則是以不垂直于底邊的腰為直徑作圓結(jié)論不同點：基本圖形1中圓與兩底相切，但基本圖形2不成立；基本圖形2中圓心與切點的連線是梯形的中位線，但基本圖形1不成立又可以從不同的基本圖形中找出相同之處：特征相同點：圓與直角梯形，都是以一腰為直徑且與另一腰相切結(jié)論相

10、同點：兩個基本圖形都有AB=AD+BC成立通過對兩個基本圖形進行對比研究，加強對基本圖形特征的記憶和理解。三、 基本圖形的運用運用（一）：直接運用研究成果例、在梯形ABCD中，ADBC，BCD=900，以CD為直徑的半圓O切AB于點E，這個梯形的面積為21CM2 ，周長為20 CM ，求半圓O的半徑長分析：（1）從已知條件出發(fā)： （2）從未知條件出發(fā)：求半徑r（3）找等量關(guān)系，列方程組解得或（4）結(jié)論取舍：過點A作AFBC，垂足為F，ABAF，即必須滿足ADBC2r，所以求得r=3cm。運用（二）：從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形例、在矩形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，E是BC的中點，若DE是半圓O的切線，切點為F，試求的值。 分析：四邊形ABED是直角梯形，滿足基本圖形1，利用研究結(jié)論可以求解；或利用圓的切線長定理轉(zhuǎn)化到中利用勾股定理可求的值。運用（三）：聯(lián)系基本圖形，代數(shù)與幾何知識的綜合運用例、如圖，已知直線MN和O切于點C，AB是O的直徑，AEMN，BFMN，垂足分別為E、F，設(shè)AE=m，EF=p，BF=n（1）求證：p2=4mn（2）求證：EC、FC的長是方程的兩個根 分析：利用基本圖形2，連接OC、AC、BC， 可利用證明；也可以過 點A作，在中利用勾股定理證明。四、 基本圖形的再探索（一）改變條件：例、在例3中，若將直線MN向上平移至與圓O相交時，m、