第十章_凱恩方程

1、第十章 凱恩方程 東北大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所李永強應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第2頁第十章 凱恩方程 10.1 偏速度和偏角速度偏速度和偏角速度 10.2 凱恩方程凱恩方程 1. 同同Appell思路一樣構(gòu)造獨立的速度變量思路一樣構(gòu)造獨立的速度變量(偽速度偽速度)代替不獨立的速度變量；代替不獨立的速度變量；2. 引入偏速度引入偏速度(partial velocity)，偏角速度，偏角速度(partial angular velocity), 廣義主廣義主動力動力(Generalized active forces) ,廣義慣性力廣義慣性力(Generalized inertia forces),

2、運動方程由形式簡單的廣義主動力，廣義慣性力表示運動方程由形式簡單的廣義主動力，廣義慣性力表示3. 廣義主動力，廣義慣性力便于計算機計算，步驟程序化廣義主動力，廣義慣性力便于計算機計算，步驟程序化 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第3頁10.1 偏速度和偏角速度 具有具有 n 個質(zhì)點的非完整系統(tǒng)，受到個質(zhì)點的非完整系統(tǒng)，受到 d 個完整約束和個完整約束和 g 個非完整約束，個非完整約束，則系統(tǒng)的獨立的坐標變分數(shù)（即系統(tǒng)的自由度）為則系統(tǒng)的獨立的坐標變分數(shù)（即系統(tǒng)的自由度）為: f = 3n-d-g 系統(tǒng)中每一個質(zhì)點系統(tǒng)中每一個質(zhì)點 Mi 的矢徑可用廣義坐標表示，即的矢徑可用廣義坐標表示，即 tqqqrrk

3、ii,21 2 1 ,n, ,i則質(zhì)點的速度則質(zhì)點的速度 trqqrrvikjjjiii1 2 1 ,n, ,i令令 ， ，則上式可寫成，則上式可寫成: jiijqrutruii001ikjjijiiuqurv式中式中 和和 通常是廣義坐標通常是廣義坐標 qj 和時間和時間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 iju0iu應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第4頁10.1 偏速度和偏角速度對于剛體系統(tǒng)，類似地可對第對于剛體系統(tǒng)，類似地可對第 i 個剛體的瞬時角速度表示為個剛體的瞬時角速度表示為:01ikjjijiq式中式中 和和 通常是廣義坐標通常是廣義坐標 qj 和時間和時間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 ij0i根據(jù)偽速度的

4、定義，系統(tǒng)的廣義速度可以用根據(jù)偽速度的定義，系統(tǒng)的廣義速度可以用 f 個獨立的偽速度個獨立的偽速度 表示為表示為 jfjjhhq, 01, 2 1 k , ,j則則 0101, 011,01, 01,01ifiikjijjfkjijjikjjfjijikjjijiiuuuuhuhuhhuuqurv 其中其中 kjjijkjijjiqrhuhu1,1,01, 00ikjijjiuuhu 稱為質(zhì)點系中第稱為質(zhì)點系中第 i 個質(zhì)點相對于第個質(zhì)點相對于第個獨立的速度變量個獨立的速度變量 的的偏速度偏速度。 和和 一般為廣義坐標一般為廣義坐標 qj 和時間和時間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 iuiu0iu應(yīng)用

5、力學(xué)研究所 李永強第5頁10.1 偏速度和偏角速度類似可得類似可得 0101ifiikjjijiq式中稱式中稱 為剛體系中第為剛體系中第 i 個剛體相對于第個剛體相對于第個獨立的速度變量個獨立的速度變量 的偏角的偏角速度。速度。 和和 一般為廣義坐標一般為廣義坐標 qj 和時間和時間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 ii0i 對于完整系統(tǒng)，由于廣義速度對于完整系統(tǒng)，由于廣義速度 ( j=1 , 2 , , k )彼此獨立，因此可以彼此獨立，因此可以取偽速度取偽速度 為廣義速度，即為廣義速度，即 ( = j = 1 , 2 , , k )，則相對獨，則相對獨立廣義速度的偏速度立廣義速度的偏速度 jq jq

6、 jiijiqruu應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第6頁10.1 偏速度和偏角速度注意：注意： 偏速度和偏角速度是關(guān)于廣義坐標偏速度和偏角速度是關(guān)于廣義坐標 qj 和時間和時間 t 的矢量函數(shù)，是相的矢量函數(shù)，是相對于獨立速度而言的，這里的獨立速度可以是獨立的廣義速度對于獨立速度而言的，這里的獨立速度可以是獨立的廣義速度 ，也可以是預(yù)先選定的的獨立的偽速度也可以是預(yù)先選定的的獨立的偽速度 。由于獨立速度變量的選。由于獨立速度變量的選取不是唯一的，因此對于同一質(zhì)點或剛體可以有不同形式的偏速度取不是唯一的，因此對于同一質(zhì)點或剛體可以有不同形式的偏速度和偏角速度。但是對于質(zhì)點系中每一個質(zhì)點和偏角速度。但是對

7、于質(zhì)點系中每一個質(zhì)點 Mi 和剛體系中每一個剛和剛體系中每一個剛體體 Di ，都分別有與系統(tǒng)自由度數(shù)相同數(shù)目的偏速度和偏角速度。因，都分別有與系統(tǒng)自由度數(shù)相同數(shù)目的偏速度和偏角速度。因此，在講偏速度和偏角速度時，必須指明是哪個質(zhì)點或剛體相對應(yīng)此，在講偏速度和偏角速度時，必須指明是哪個質(zhì)點或剛體相對應(yīng)哪個獨立速度的偏速度或偏角速度。哪個獨立速度的偏速度或偏角速度。 jq 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第7頁10.1 偏速度和偏角速度例例10-1 設(shè)一質(zhì)點設(shè)一質(zhì)點 A 在在 Oxy 平面內(nèi)沿固定的拋物平面內(nèi)沿固定的拋物線軌道運動，軌道方程為線軌道運動，軌道方程為 ，其中，其中a為為常數(shù)，求偏速度。常數(shù)，求

8、偏速度。 22axy 解：該系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)。質(zhì)點解：該系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)。質(zhì)點A的速度投影的速度投影 應(yīng)滿足限制條件應(yīng)滿足限制條件 yx ,xaxy 現(xiàn)取現(xiàn)取 y 為獨立廣義坐標，則為獨立廣義坐標，則 為獨立廣義速度，質(zhì)點為獨立廣義速度，質(zhì)點 A 的速度可表示為的速度可表示為 y yjiaxj yiaxyj yi xvA1相對于獨立速度相對于獨立速度 的偏速度為的偏速度為 y jiaxuAy1應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第8頁10.1 偏速度和偏角速度例例10-2 求圖示雙擺系統(tǒng)的偏速度。求圖示雙擺系統(tǒng)的偏速度。 解：取解：取 1和和 2為獨立廣義坐標，則為獨立廣義坐標，則 和和 均為獨

9、立均為獨立速度。作單位矢量速度。作單位矢量 和和 分別垂直于分別垂直于OA和和AB。則質(zhì)點則質(zhì)點A和和B的速度可分別表示為的速度可分別表示為: 121e2e111elvA222111elelvvvABAB可見，質(zhì)點可見，質(zhì)點 A 對于對于 和和 的偏速度分別為的偏速度分別為: 12111eluA02Au而質(zhì)點而質(zhì)點 B 的兩個偏速度分別是的兩個偏速度分別是 :111eluB222eluB應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第9頁10.1 偏速度和偏角速度考慮到考慮到 和和 jie111sincosjie222sincos則可將則可將 和和 用用 表示為表示為:AvBvji,jilelvA1111111sin

10、cosjiljilelelvB22221111222111sincossincos因而，點因而，點 A 和點和點 B 對于獨立速度對于獨立速度 和和 的偏角速度成為的偏角速度成為: 12jiluA111sincos102AujiluB111sincos1jiluB222sincos2應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第10頁10.1 偏速度和偏角速度例例10-3 行星齒輪行星齒輪半徑為半徑為r，由連桿，由連桿OA帶動沿固定帶動沿固定的的大齒輪的的大齒輪滾動。輪滾動。輪的半徑為的半徑為R。試求偏速度。試求偏速度與偏角速度。與偏角速度。 解：系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)，選連桿的轉(zhuǎn)角解：系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)，選連

11、桿的轉(zhuǎn)角 為廣義坐為廣義坐標，則點標，則點 A 的速度可寫成的速度可寫成 jiljlilvA cos sin cos sin式中式中 的矢量系數(shù)就是點的矢量系數(shù)就是點 A 對于對于 的偏速度，即的偏速度，即 jiluA cos sin其中其中l(wèi) = R+r。以。以 表示連桿表示連桿OA的角速度，有的角速度，有 1k 1故連桿對于的偏角速度為故連桿對于的偏角速度為 k1應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第11頁10.1 偏速度和偏角速度令行星齒輪令行星齒輪的角速度為的角速度為 ，則，則 rrR 于是齒輪于是齒輪的角速度矢的角速度矢 可寫為可寫為: 2krrRk 2故齒輪故齒輪對于對于 的偏角速度為的偏角速度

12、為: krrR 2應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第12頁10.1 偏速度和偏角速度例例10-4 桿長為桿長為2l 的直桿的直桿 AB 作平面運動，假設(shè)其一作平面運動，假設(shè)其一端端 A 的速度始終指向另一端的速度始終指向另一端 B ，試寫出其中點，試寫出其中點 C 的的偏速度。偏速度。 解：取解：取xA , yA 和和為廣義坐標，其約束方程為為廣義坐標，其約束方程為: tanAAxy是一非完整約束，故系統(tǒng)為兩個自由度。是一非完整約束，故系統(tǒng)為兩個自由度。C 點的速度為點的速度為:jlxilxjlyilxjyixvAAAACCC costan sin cos sin若取若取 Ax 1 2應(yīng)用力學(xué)研究所 李

13、永強第13頁10.1 偏速度和偏角速度則則 C 點的偏速度點的偏速度: jiuxC tanjliluC cos sin注意到注意到: sincosAAAyxv可以取為偽速度，若取可以取為偽速度，若取 Av1l2則有則有 iuxCjuC 可見偽速度的選擇不是惟一的，偏速度將因偽速度的選擇不同而可見偽速度的選擇不是惟一的，偏速度將因偽速度的選擇不同而有不同的形式。有不同的形式。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第14頁10.2 凱恩方程 凱恩方程凱恩方程 廣義主動力和廣義慣性力的計算廣義主動力和廣義慣性力的計算應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第15頁10.2 凱恩方程 凱恩方程從動力學(xué)普遍方程從動力學(xué)普遍方程 01n

14、iiiiirrmF 出發(fā)導(dǎo)出凱恩方程出發(fā)導(dǎo)出凱恩方程 設(shè)有設(shè)有 n 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，具有個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，具有 f 個自由度。選取個自由度。選取 f 個偽速度個偽速度 ( =1 , 2 , , f )，使系統(tǒng)中每一質(zhì)點的速度用偽速度表示，即，使系統(tǒng)中每一質(zhì)點的速度用偽速度表示，即 01ifiiuuv 2 1 ,n, ,i由此得由此得: tuturifiiddd01 2 1 ,n, ,i相對于偽速度相對于偽速度 ，引入偽坐標，引入偽坐標 ，則第，則第 i 個質(zhì)點的虛位移個質(zhì)點的虛位移 可以可以用獨立的偽坐標的變分來表示，即用獨立的偽坐標的變分來表示，即 irfiiur1 2 1 ,n, ,

15、i應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第16頁10.2 凱恩方程 凱恩方程將上式代入動力學(xué)普遍方程，得將上式代入動力學(xué)普遍方程，得: 011nifiiiiurmF 變換求和次序，得變換求和次序，得:011 fniiiiiiurmuF 令令 niiiuFK1niiiiurmK1* 則則 01*fKK由于由于是彼此獨立的，于是有是彼此獨立的，于是有 0*KK 2 1 ,f, , 凱恩方程凱恩方程 式中式中 和和 分別稱為系統(tǒng)對應(yīng)于第分別稱為系統(tǒng)對應(yīng)于第個獨立速度的個獨立速度的廣義主動力廣義主動力和和廣廣義慣性力義慣性力。 K*K應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第17頁10.2 凱恩方程 凱恩方程 將這將這 f 個方程與個

16、方程與 g 個非完整約束方程聯(lián)立求解，則可得到個非完整約束方程聯(lián)立求解，則可得到 f+g 個個關(guān)于廣義坐標關(guān)于廣義坐標qj(t)的方程組，求其解即可確定系統(tǒng)的運動規(guī)律。由此可的方程組，求其解即可確定系統(tǒng)的運動規(guī)律。由此可見，利用凱恩方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，關(guān)鍵是計算系統(tǒng)的廣義主見，利用凱恩方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，關(guān)鍵是計算系統(tǒng)的廣義主動力和廣義慣性力。動力和廣義慣性力。 0*KK 2 1 ,f, ,凱恩方程凱恩方程 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第18頁10.2 凱恩方程 廣義主動力和廣義慣性力的計算 廣義主動力廣義主動力 廣義慣性力廣義慣性力 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第19頁10.2 凱恩方程 廣

17、義主動力和廣義慣性力的計算_ 廣義主動力 對于完整系統(tǒng)，如果取廣義速度對于完整系統(tǒng)，如果取廣義速度 為獨立速度為獨立速度 ( =j)，由上節(jié)，由上節(jié)可知，偏速度可知，偏速度 ，于是廣義主動力，于是廣義主動力 jq jiijqrujnijiijQqrFK1 2 1 ,g, ,j 也就是說，廣義主動力即為拉格朗日方程中系統(tǒng)對應(yīng)于廣義坐標的廣也就是說，廣義主動力即為拉格朗日方程中系統(tǒng)對應(yīng)于廣義坐標的廣義力。對照第二類拉格朗日方程，根據(jù)凱恩方程給出的結(jié)果，廣義慣性力義力。對照第二類拉格朗日方程，根據(jù)凱恩方程給出的結(jié)果，廣義慣性力可由系統(tǒng)的動能表示，即可由系統(tǒng)的動能表示，即 jjjqTqTtKdd* 2

18、 1 ,g, ,j因此，對于完整系統(tǒng)，凱恩方程與第二類拉格朗日方程是等價的。因此，對于完整系統(tǒng)，凱恩方程與第二類拉格朗日方程是等價的。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第20頁10.2 凱恩方程 廣義主動力和廣義慣性力的計算_ 廣義主動力對于一般的質(zhì)點系，廣義主動力可表述為：對于一般的質(zhì)點系，廣義主動力可表述為： 質(zhì)點系中每一質(zhì)點上作用的主動力與該點對應(yīng)于某一獨立速度質(zhì)點系中每一質(zhì)點上作用的主動力與該點對應(yīng)于某一獨立速度的偏速度的標積之和，稱為系統(tǒng)對應(yīng)于該獨立速度的廣義主動力。的偏速度的標積之和，稱為系統(tǒng)對應(yīng)于該獨立速度的廣義主動力。 以以K表示，即表示，即 niiiuFK1 2 1 ,f, , 對于剛

19、體，廣義主動力可表述為：作用于剛體簡化中心上的主矢和主對于剛體，廣義主動力可表述為：作用于剛體簡化中心上的主矢和主矩，分別與該點對應(yīng)于某一獨立速度的偏速度與偏角速度的標識之和，矩，分別與該點對應(yīng)于某一獨立速度的偏速度與偏角速度的標識之和，稱為剛體對應(yīng)于該獨立速度的廣義主動力。假設(shè)稱為剛體對應(yīng)于該獨立速度的廣義主動力。假設(shè)O點為剛體的簡化中心，點為剛體的簡化中心，則有則有 OOOMuRK 2 1 ,f, ,應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第21頁10.2 凱恩方程 廣義主動力和廣義慣性力的計算_ 廣義主動力現(xiàn)進行證明：現(xiàn)進行證明： 當剛體作一般運動時，其上任一質(zhì)點當剛體作一般運動時，其上任一質(zhì)點 i 的速

20、度的速度 OOOMuRK 2 1 ,f, ,iOirvv式中式中 表示簡化中心的速度，表示簡化中心的速度， 表示剛體的角速度，表示剛體的角速度， 表示質(zhì)點表示質(zhì)點i相對相對簡化中心簡化中心 O 點的矢徑。點的矢徑。 Ovir 、 和和 可用偽速度表示，即可用偽速度表示，即 Oviv01OfOOuuv01ifiiuuv01f將上式代入將上式代入 iOirvv比較等式兩邊比較等式兩邊 前面的系數(shù)，可得前面的系數(shù)，可得 iOiruu 2 1 ,f, ,應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第22頁10.2 凱恩方程 廣義主動力和廣義慣性力的計算_ 廣義主動力iOiruu 2 1 ,f, , 上式表明，剛體上第上式表

21、明，剛體上第 i 個質(zhì)點相對第個質(zhì)點相對第個獨立速度的偏速度，可用剛體個獨立速度的偏速度，可用剛體簡化中心簡化中心O點和剛體相對第點和剛體相對第個獨立速度的偏速度和偏角速度表示。將上式個獨立速度的偏速度和偏角速度表示。將上式代入廣義主動力的表達式，則有代入廣義主動力的表達式，則有 niiiOniiniiiniOiniiOiniiiFruFrFuFruFuFK111111則則 OOOMuRK 2 1 ,f, ,若系統(tǒng)由若系統(tǒng)由N個剛體組成，則個剛體組成，則 NiiONiOOiiiMuRK11 2 1 ,f, ,應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第23頁 在計算慣性力時，需對各點的加速度進行分析，然后在每個質(zhì)

22、點上加在計算慣性力時，需對各點的加速度進行分析，然后在每個質(zhì)點上加上慣性力，算出每一質(zhì)點上作用的慣性力與該點對應(yīng)于某一獨立速度的偏上慣性力，算出每一質(zhì)點上作用的慣性力與該點對應(yīng)于某一獨立速度的偏速度的標積之和，即為系統(tǒng)對應(yīng)于該獨立速度的廣義慣性力。速度的標積之和，即為系統(tǒng)對應(yīng)于該獨立速度的廣義慣性力。 對于剛體，與計算廣義主動力的推導(dǎo)方法相同，得對于剛體，與計算廣義主動力的推導(dǎo)方法相同，得 10.2 凱恩方程 廣義主動力和廣義慣性力的計算_ 廣義慣性力 對于質(zhì)點系，可由下式計算出對于質(zhì)點系，可由下式計算出 niiiiurmK1* 2 1 ,f, , niiiiOniiiniiiiamruamu

23、amK111*若將簡化中心選在剛體的質(zhì)心若將簡化中心選在剛體的質(zhì)心 C 上，則上，則 COuuCniiiaMam1式中式中M為剛體的質(zhì)量，為剛體的質(zhì)量，aC 為質(zhì)心的加速度。為質(zhì)心的加速度。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第24頁10.2 凱恩方程 廣義主動力和廣義慣性力的計算_ 廣義慣性力 若取質(zhì)心若取質(zhì)心 C 為平動坐標系的原點，則有為平動坐標系的原點，則有 iCiaaa表示剛體上第表示剛體上第 i 個質(zhì)點相對于平動坐標系的加速度，個質(zhì)點相對于平動坐標系的加速度， ia又因又因 ，則，則 01niiirm niiiiniiiiniCiiniiCiiniiiiamramrarmaamramr1111

24、1令令 CCaMR* niiiiCamrL1*則則 *CCCLuRK 2 1 ,f, ,同理可得整個剛體系統(tǒng)的廣義慣性力同理可得整個剛體系統(tǒng)的廣義慣性力 NiiCNiCCiiiLuRK1*1* 2 1 ,f, ,式中角標式中角標 Ci 表示第表示第 i 個剛體的質(zhì)心。個剛體的質(zhì)心。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第25頁10.2 凱恩方程 例例10-5 質(zhì)量為質(zhì)量為m，半徑為，半徑為 r 的均質(zhì)半圓盤，在粗糙的均質(zhì)半圓盤，在粗糙的水平面上擺動，設(shè)的水平面上擺動，設(shè) ，C為半圓盤的質(zhì)為半圓盤的質(zhì)心。試用凱恩方程擺動的微分方程。心。試用凱恩方程擺動的微分方程。 eCO解：系統(tǒng)具有一個自由度，取解：系統(tǒng)具有

25、一個自由度，取為廣義坐標，令為廣義坐標，令 。 C點對應(yīng)于點對應(yīng)于 的偏速度為的偏速度為: jeiruC 半圓盤轉(zhuǎn)動的角速度半圓盤轉(zhuǎn)動的角速度 :k 半圓盤對應(yīng)于半圓盤對應(yīng)于 的偏角速度的偏角速度: k在半圓盤上主動力只有其重力在半圓盤上主動力只有其重力 作用，即作用，即 PjmgP質(zhì)點質(zhì)點C的速度的速度: 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第26頁10.2 凱恩方程 于是系統(tǒng)的廣義主動力于是系統(tǒng)的廣義主動力: sinmgej ei rjmguPKCC 點的加速度點的加速度: iejeirjejeirjeirttvaCC 2 dddd則半圓盤上各點慣性力的主矢則半圓盤上各點慣性力的主矢: iejeirma

26、mRCC 2 半圓盤上各點慣性力對半圓盤上各點慣性力對 C 點的主矩點的主矩: kJkJJLCCCC 系統(tǒng)的廣義慣性力系統(tǒng)的廣義慣性力 : sincos2 2222* CCCCCCCCJrere-ermkkJjeiriejeirmkJuamLuRK應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第27頁10.2 凱恩方程 由凱恩方程由凱恩方程: 0* KK得得 0 sincos2 sin222 CJrere-ermmge即即 0sinsincos22222gerere-erC CCJrere-ermKmgeuPKsincos2 sin222*應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第28頁10.2 凱恩方程 例例10-6 重量為重量為

27、P 的滑塊可在光滑的固定水平面的滑塊可在光滑的固定水平面上滑動。半徑為上滑動。半徑為a、重量為、重量為Q的勻質(zhì)圓柱同時在的勻質(zhì)圓柱同時在滑塊的斜面上滾動。已知斜面傾角為滑塊的斜面上滾動。已知斜面傾角為，試寫，試寫出在重力作用下系統(tǒng)的運動方程。出在重力作用下系統(tǒng)的運動方程。 解：系統(tǒng)是兩個自由度完整系統(tǒng)解：系統(tǒng)是兩個自由度完整系統(tǒng), 選取選取 x, s 為獨立的廣義坐標，則為獨立的廣義坐標，則 , 為獨立的廣義速度。為獨立的廣義速度。C1點的速度點的速度 x s i xvC1C1 點對于兩個獨立速度的偏速度分別是：點對于兩個獨立速度的偏速度分別是： iuxC101sCuC2點的速度：點的速度：

28、i si xvC2C2點的兩個偏速度分別是：點的兩個偏速度分別是： iuxC2iusC2這里這里 是沿是沿 的單位矢。的單位矢。 ixO 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第29頁10.2 凱恩方程 滑塊作平動，其角速度滑塊作平動，其角速度 10，故滑塊的偏角，故滑塊的偏角速度也恒等于零。速度也恒等于零。 圓柱的角速度：圓柱的角速度： kas2故圓柱的兩個偏角速度是：故圓柱的兩個偏角速度是： 02x aks2系統(tǒng)對獨立速度系統(tǒng)對獨立速度 的廣義主動力是：的廣義主動力是： x 021ijQijPuQuPKxCxCx同理可計算出系統(tǒng)對獨立速度同理可計算出系統(tǒng)對獨立速度 的廣義主動力是：的廣義主動力是： s s

29、in21QijQuQuPKsCsCs應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第30頁10.2 凱恩方程 在計算廣義慣性力以前，可先將各剛體的慣在計算廣義慣性力以前，可先將各剛體的慣性力系向各自的質(zhì)心簡化。對于滑塊，其慣性力性力系向各自的質(zhì)心簡化。對于滑塊，其慣性力系簡化為在系簡化為在C1 點的一個主矢點的一個主矢: i xgPRC *1對于圓柱，其慣性力系簡化為在對于圓柱，其慣性力系簡化為在C2 點的一個主矢點的一個主矢: i si xgQRC *2和一個慣性力偶，其矩矢和一個慣性力偶，其矩矢: ksagQkasagQkasJLCC 21212*2應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強第31頁10.2 凱恩方程 則系統(tǒng)對于獨立速度則系統(tǒng)對于獨立速度 的廣義慣性力：