第十章_凱恩方程

1、第十章 凱恩方程 東北大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所李永強(qiáng)應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第2頁(yè)第十章 凱恩方程 10.1 偏速度和偏角速度偏速度和偏角速度 10.2 凱恩方程凱恩方程 1. 同同Appell思路一樣構(gòu)造獨(dú)立的速度變量思路一樣構(gòu)造獨(dú)立的速度變量(偽速度偽速度)代替不獨(dú)立的速度變量；代替不獨(dú)立的速度變量；2. 引入偏速度引入偏速度(partial velocity)，偏角速度，偏角速度(partial angular velocity), 廣義主廣義主動(dòng)力動(dòng)力(Generalized active forces) ,廣義慣性力廣義慣性力(Generalized inertia forces),

2、運(yùn)動(dòng)方程由形式簡(jiǎn)單的廣義主動(dòng)力，廣義慣性力表示運(yùn)動(dòng)方程由形式簡(jiǎn)單的廣義主動(dòng)力，廣義慣性力表示3. 廣義主動(dòng)力，廣義慣性力便于計(jì)算機(jī)計(jì)算，步驟程序化廣義主動(dòng)力，廣義慣性力便于計(jì)算機(jī)計(jì)算，步驟程序化 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第3頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度 具有具有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的非完整系統(tǒng)，受到個(gè)質(zhì)點(diǎn)的非完整系統(tǒng)，受到 d 個(gè)完整約束和個(gè)完整約束和 g 個(gè)非完整約束，個(gè)非完整約束，則系統(tǒng)的獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)（即系統(tǒng)的自由度）為則系統(tǒng)的獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)（即系統(tǒng)的自由度）為: f = 3n-d-g 系統(tǒng)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn) Mi 的矢徑可用廣義坐標(biāo)表示，即的矢徑可用廣義坐標(biāo)表示，即 tqqqrrk

3、ii,21 2 1 ,n, ,i則質(zhì)點(diǎn)的速度則質(zhì)點(diǎn)的速度 trqqrrvikjjjiii1 2 1 ,n, ,i令令 ， ，則上式可寫(xiě)成，則上式可寫(xiě)成: jiijqrutruii001ikjjijiiuqurv式中式中 和和 通常是廣義坐標(biāo)通常是廣義坐標(biāo) qj 和時(shí)間和時(shí)間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 iju0iu應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第4頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度對(duì)于剛體系統(tǒng)，類(lèi)似地可對(duì)第對(duì)于剛體系統(tǒng)，類(lèi)似地可對(duì)第 i 個(gè)剛體的瞬時(shí)角速度表示為個(gè)剛體的瞬時(shí)角速度表示為:01ikjjijiq式中式中 和和 通常是廣義坐標(biāo)通常是廣義坐標(biāo) qj 和時(shí)間和時(shí)間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 ij0i根據(jù)偽速度的

4、定義，系統(tǒng)的廣義速度可以用根據(jù)偽速度的定義，系統(tǒng)的廣義速度可以用 f 個(gè)獨(dú)立的偽速度個(gè)獨(dú)立的偽速度 表示為表示為 jfjjhhq, 01, 2 1 k , ,j則則 0101, 011,01, 01,01ifiikjijjfkjijjikjjfjijikjjijiiuuuuhuhuhhuuqurv 其中其中 kjjijkjijjiqrhuhu1,1,01, 00ikjijjiuuhu 稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系中第稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系中第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于第個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于第個(gè)獨(dú)立的速度變量個(gè)獨(dú)立的速度變量 的的偏速度偏速度。 和和 一般為廣義坐標(biāo)一般為廣義坐標(biāo) qj 和時(shí)間和時(shí)間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 iuiu0iu應(yīng)用

5、力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第5頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度類(lèi)似可得類(lèi)似可得 0101ifiikjjijiq式中稱(chēng)式中稱(chēng) 為剛體系中第為剛體系中第 i 個(gè)剛體相對(duì)于第個(gè)剛體相對(duì)于第個(gè)獨(dú)立的速度變量個(gè)獨(dú)立的速度變量 的偏角的偏角速度。速度。 和和 一般為廣義坐標(biāo)一般為廣義坐標(biāo) qj 和時(shí)間和時(shí)間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。 ii0i 對(duì)于完整系統(tǒng)，由于廣義速度對(duì)于完整系統(tǒng)，由于廣義速度 ( j=1 , 2 , , k )彼此獨(dú)立，因此可以彼此獨(dú)立，因此可以取偽速度取偽速度 為廣義速度，即為廣義速度，即 ( = j = 1 , 2 , , k )，則相對(duì)獨(dú)，則相對(duì)獨(dú)立廣義速度的偏速度立廣義速度的偏速度 jq jq

6、 jiijiqruu應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第6頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度注意：注意： 偏速度和偏角速度是關(guān)于廣義坐標(biāo)偏速度和偏角速度是關(guān)于廣義坐標(biāo) qj 和時(shí)間和時(shí)間 t 的矢量函數(shù)，是相的矢量函數(shù)，是相對(duì)于獨(dú)立速度而言的，這里的獨(dú)立速度可以是獨(dú)立的廣義速度對(duì)于獨(dú)立速度而言的，這里的獨(dú)立速度可以是獨(dú)立的廣義速度 ，也可以是預(yù)先選定的的獨(dú)立的偽速度也可以是預(yù)先選定的的獨(dú)立的偽速度 。由于獨(dú)立速度變量的選。由于獨(dú)立速度變量的選取不是唯一的，因此對(duì)于同一質(zhì)點(diǎn)或剛體可以有不同形式的偏速度取不是唯一的，因此對(duì)于同一質(zhì)點(diǎn)或剛體可以有不同形式的偏速度和偏角速度。但是對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)和偏角速度。但是對(duì)

7、于質(zhì)點(diǎn)系中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn) Mi 和剛體系中每一個(gè)剛和剛體系中每一個(gè)剛體體 Di ，都分別有與系統(tǒng)自由度數(shù)相同數(shù)目的偏速度和偏角速度。因，都分別有與系統(tǒng)自由度數(shù)相同數(shù)目的偏速度和偏角速度。因此，在講偏速度和偏角速度時(shí)，必須指明是哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)或剛體相對(duì)應(yīng)此，在講偏速度和偏角速度時(shí)，必須指明是哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)或剛體相對(duì)應(yīng)哪個(gè)獨(dú)立速度的偏速度或偏角速度。哪個(gè)獨(dú)立速度的偏速度或偏角速度。 jq 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第7頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度例例10-1 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)設(shè)一質(zhì)點(diǎn) A 在在 Oxy 平面內(nèi)沿固定的拋物平面內(nèi)沿固定的拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，軌道方程為線軌道運(yùn)動(dòng)，軌道方程為 ，其中，其中a為為常數(shù)，求偏速度。常數(shù)，求

8、偏速度。 22axy 解：該系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)解：該系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)A的速度投影的速度投影 應(yīng)滿(mǎn)足限制條件應(yīng)滿(mǎn)足限制條件 yx ,xaxy 現(xiàn)取現(xiàn)取 y 為獨(dú)立廣義坐標(biāo)，則為獨(dú)立廣義坐標(biāo)，則 為獨(dú)立廣義速度，質(zhì)點(diǎn)為獨(dú)立廣義速度，質(zhì)點(diǎn) A 的速度可表示為的速度可表示為 y yjiaxj yiaxyj yi xvA1相對(duì)于獨(dú)立速度相對(duì)于獨(dú)立速度 的偏速度為的偏速度為 y jiaxuAy1應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第8頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度例例10-2 求圖示雙擺系統(tǒng)的偏速度。求圖示雙擺系統(tǒng)的偏速度。 解：取解：取 1和和 2為獨(dú)立廣義坐標(biāo)，則為獨(dú)立廣義坐標(biāo)，則 和和 均為獨(dú)

9、立均為獨(dú)立速度。作單位矢量速度。作單位矢量 和和 分別垂直于分別垂直于OA和和AB。則質(zhì)點(diǎn)則質(zhì)點(diǎn)A和和B的速度可分別表示為的速度可分別表示為: 121e2e111elvA222111elelvvvABAB可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn) A 對(duì)于對(duì)于 和和 的偏速度分別為的偏速度分別為: 12111eluA02Au而質(zhì)點(diǎn)而質(zhì)點(diǎn) B 的兩個(gè)偏速度分別是的兩個(gè)偏速度分別是 :111eluB222eluB應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第9頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度考慮到考慮到 和和 jie111sincosjie222sincos則可將則可將 和和 用用 表示為表示為:AvBvji,jilelvA1111111sin

10、cosjiljilelelvB22221111222111sincossincos因而，點(diǎn)因而，點(diǎn) A 和點(diǎn)和點(diǎn) B 對(duì)于獨(dú)立速度對(duì)于獨(dú)立速度 和和 的偏角速度成為的偏角速度成為: 12jiluA111sincos102AujiluB111sincos1jiluB222sincos2應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第10頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度例例10-3 行星齒輪行星齒輪半徑為半徑為r，由連桿，由連桿OA帶動(dòng)沿固定帶動(dòng)沿固定的的大齒輪的的大齒輪滾動(dòng)。輪滾動(dòng)。輪的半徑為的半徑為R。試求偏速度。試求偏速度與偏角速度。與偏角速度。 解：系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)，選連桿的轉(zhuǎn)角解：系統(tǒng)為單自由度完整系統(tǒng)，選連

11、桿的轉(zhuǎn)角 為廣義坐為廣義坐標(biāo)，則點(diǎn)標(biāo)，則點(diǎn) A 的速度可寫(xiě)成的速度可寫(xiě)成 jiljlilvA cos sin cos sin式中式中 的矢量系數(shù)就是點(diǎn)的矢量系數(shù)就是點(diǎn) A 對(duì)于對(duì)于 的偏速度，即的偏速度，即 jiluA cos sin其中其中l(wèi) = R+r。以。以 表示連桿表示連桿OA的角速度，有的角速度，有 1k 1故連桿對(duì)于的偏角速度為故連桿對(duì)于的偏角速度為 k1應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第11頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度令行星齒輪令行星齒輪的角速度為的角速度為 ，則，則 rrR 于是齒輪于是齒輪的角速度矢的角速度矢 可寫(xiě)為可寫(xiě)為: 2krrRk 2故齒輪故齒輪對(duì)于對(duì)于 的偏角速度為的偏角速度

12、為: krrR 2應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第12頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度例例10-4 桿長(zhǎng)為桿長(zhǎng)為2l 的直桿的直桿 AB 作平面運(yùn)動(dòng)，假設(shè)其一作平面運(yùn)動(dòng)，假設(shè)其一端端 A 的速度始終指向另一端的速度始終指向另一端 B ，試寫(xiě)出其中點(diǎn)，試寫(xiě)出其中點(diǎn) C 的的偏速度。偏速度。 解：取解：取xA , yA 和和為廣義坐標(biāo)，其約束方程為為廣義坐標(biāo)，其約束方程為: tanAAxy是一非完整約束，故系統(tǒng)為兩個(gè)自由度。是一非完整約束，故系統(tǒng)為兩個(gè)自由度。C 點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為:jlxilxjlyilxjyixvAAAACCC costan sin cos sin若取若取 Ax 1 2應(yīng)用力學(xué)研究所 李

13、永強(qiáng)第13頁(yè)10.1 偏速度和偏角速度則則 C 點(diǎn)的偏速度點(diǎn)的偏速度: jiuxC tanjliluC cos sin注意到注意到: sincosAAAyxv可以取為偽速度，若取可以取為偽速度，若取 Av1l2則有則有 iuxCjuC 可見(jiàn)偽速度的選擇不是惟一的，偏速度將因偽速度的選擇不同而可見(jiàn)偽速度的選擇不是惟一的，偏速度將因偽速度的選擇不同而有不同的形式。有不同的形式。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第14頁(yè)10.2 凱恩方程 凱恩方程凱恩方程 廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第15頁(yè)10.2 凱恩方程 凱恩方程從動(dòng)力學(xué)普遍方程從動(dòng)力學(xué)普遍方程 01n

14、iiiiirrmF 出發(fā)導(dǎo)出凱恩方程出發(fā)導(dǎo)出凱恩方程 設(shè)有設(shè)有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有 f 個(gè)自由度。選取個(gè)自由度。選取 f 個(gè)偽速度個(gè)偽速度 ( =1 , 2 , , f )，使系統(tǒng)中每一質(zhì)點(diǎn)的速度用偽速度表示，即，使系統(tǒng)中每一質(zhì)點(diǎn)的速度用偽速度表示，即 01ifiiuuv 2 1 ,n, ,i由此得由此得: tuturifiiddd01 2 1 ,n, ,i相對(duì)于偽速度相對(duì)于偽速度 ，引入偽坐標(biāo)，引入偽坐標(biāo) ，則第，則第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移 可以可以用獨(dú)立的偽坐標(biāo)的變分來(lái)表示，即用獨(dú)立的偽坐標(biāo)的變分來(lái)表示，即 irfiiur1 2 1 ,n, ,

15、i應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第16頁(yè)10.2 凱恩方程 凱恩方程將上式代入動(dòng)力學(xué)普遍方程，得將上式代入動(dòng)力學(xué)普遍方程，得: 011nifiiiiurmF 變換求和次序，得變換求和次序，得:011 fniiiiiiurmuF 令令 niiiuFK1niiiiurmK1* 則則 01*fKK由于由于是彼此獨(dú)立的，于是有是彼此獨(dú)立的，于是有 0*KK 2 1 ,f, , 凱恩方程凱恩方程 式中式中 和和 分別稱(chēng)為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于第分別稱(chēng)為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于第個(gè)獨(dú)立速度的個(gè)獨(dú)立速度的廣義主動(dòng)力廣義主動(dòng)力和和廣廣義慣性力義慣性力。 K*K應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第17頁(yè)10.2 凱恩方程 凱恩方程 將這將這 f 個(gè)方程與個(gè)

16、方程與 g 個(gè)非完整約束方程聯(lián)立求解，則可得到個(gè)非完整約束方程聯(lián)立求解，則可得到 f+g 個(gè)個(gè)關(guān)于廣義坐標(biāo)關(guān)于廣義坐標(biāo)qj(t)的方程組，求其解即可確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此可的方程組，求其解即可確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此可見(jiàn)，利用凱恩方法建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，關(guān)鍵是計(jì)算系統(tǒng)的廣義主見(jiàn)，利用凱恩方法建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，關(guān)鍵是計(jì)算系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力。動(dòng)力和廣義慣性力。 0*KK 2 1 ,f, ,凱恩方程凱恩方程 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第18頁(yè)10.2 凱恩方程 廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算 廣義主動(dòng)力廣義主動(dòng)力 廣義慣性力廣義慣性力 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第19頁(yè)10.2 凱恩方程 廣

17、義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算_ 廣義主動(dòng)力 對(duì)于完整系統(tǒng)，如果取廣義速度對(duì)于完整系統(tǒng)，如果取廣義速度 為獨(dú)立速度為獨(dú)立速度 ( =j)，由上節(jié)，由上節(jié)可知，偏速度可知，偏速度 ，于是廣義主動(dòng)力，于是廣義主動(dòng)力 jq jiijqrujnijiijQqrFK1 2 1 ,g, ,j 也就是說(shuō)，廣義主動(dòng)力即為拉格朗日方程中系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣也就是說(shuō)，廣義主動(dòng)力即為拉格朗日方程中系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力。對(duì)照第二類(lèi)拉格朗日方程，根據(jù)凱恩方程給出的結(jié)果，廣義慣性力義力。對(duì)照第二類(lèi)拉格朗日方程，根據(jù)凱恩方程給出的結(jié)果，廣義慣性力可由系統(tǒng)的動(dòng)能表示，即可由系統(tǒng)的動(dòng)能表示，即 jjjqTqTtKdd* 2

18、 1 ,g, ,j因此，對(duì)于完整系統(tǒng)，凱恩方程與第二類(lèi)拉格朗日方程是等價(jià)的。因此，對(duì)于完整系統(tǒng)，凱恩方程與第二類(lèi)拉格朗日方程是等價(jià)的。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第20頁(yè)10.2 凱恩方程 廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算_ 廣義主動(dòng)力對(duì)于一般的質(zhì)點(diǎn)系，廣義主動(dòng)力可表述為：對(duì)于一般的質(zhì)點(diǎn)系，廣義主動(dòng)力可表述為： 質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)于某一獨(dú)立速度質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)于某一獨(dú)立速度的偏速度的標(biāo)積之和，稱(chēng)為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于該獨(dú)立速度的廣義主動(dòng)力。的偏速度的標(biāo)積之和，稱(chēng)為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于該獨(dú)立速度的廣義主動(dòng)力。 以以K表示，即表示，即 niiiuFK1 2 1 ,f, , 對(duì)于剛

19、體，廣義主動(dòng)力可表述為：作用于剛體簡(jiǎn)化中心上的主矢和主對(duì)于剛體，廣義主動(dòng)力可表述為：作用于剛體簡(jiǎn)化中心上的主矢和主矩，分別與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)于某一獨(dú)立速度的偏速度與偏角速度的標(biāo)識(shí)之和，矩，分別與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)于某一獨(dú)立速度的偏速度與偏角速度的標(biāo)識(shí)之和，稱(chēng)為剛體對(duì)應(yīng)于該獨(dú)立速度的廣義主動(dòng)力。假設(shè)稱(chēng)為剛體對(duì)應(yīng)于該獨(dú)立速度的廣義主動(dòng)力。假設(shè)O點(diǎn)為剛體的簡(jiǎn)化中心，點(diǎn)為剛體的簡(jiǎn)化中心，則有則有 OOOMuRK 2 1 ,f, ,應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第21頁(yè)10.2 凱恩方程 廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算_ 廣義主動(dòng)力現(xiàn)進(jìn)行證明：現(xiàn)進(jìn)行證明： 當(dāng)剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任一質(zhì)點(diǎn)當(dāng)剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任一質(zhì)點(diǎn) i 的速

20、度的速度 OOOMuRK 2 1 ,f, ,iOirvv式中式中 表示簡(jiǎn)化中心的速度，表示簡(jiǎn)化中心的速度， 表示剛體的角速度，表示剛體的角速度， 表示質(zhì)點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn)i相對(duì)相對(duì)簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心 O 點(diǎn)的矢徑。點(diǎn)的矢徑。 Ovir 、 和和 可用偽速度表示，即可用偽速度表示，即 Oviv01OfOOuuv01ifiiuuv01f將上式代入將上式代入 iOirvv比較等式兩邊比較等式兩邊 前面的系數(shù)，可得前面的系數(shù)，可得 iOiruu 2 1 ,f, ,應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第22頁(yè)10.2 凱恩方程 廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算_ 廣義主動(dòng)力iOiruu 2 1 ,f, , 上式表明，剛體上第上式表

21、明，剛體上第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)第個(gè)獨(dú)立速度的偏速度，可用剛體個(gè)獨(dú)立速度的偏速度，可用剛體簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)和剛體相對(duì)第點(diǎn)和剛體相對(duì)第個(gè)獨(dú)立速度的偏速度和偏角速度表示。將上式個(gè)獨(dú)立速度的偏速度和偏角速度表示。將上式代入廣義主動(dòng)力的表達(dá)式，則有代入廣義主動(dòng)力的表達(dá)式，則有 niiiOniiniiiniOiniiOiniiiFruFrFuFruFuFK111111則則 OOOMuRK 2 1 ,f, ,若系統(tǒng)由若系統(tǒng)由N個(gè)剛體組成，則個(gè)剛體組成，則 NiiONiOOiiiMuRK11 2 1 ,f, ,應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第23頁(yè) 在計(jì)算慣性力時(shí)，需對(duì)各點(diǎn)的加速度進(jìn)行分析，然后在每個(gè)質(zhì)

22、點(diǎn)上加在計(jì)算慣性力時(shí)，需對(duì)各點(diǎn)的加速度進(jìn)行分析，然后在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上加上慣性力，算出每一質(zhì)點(diǎn)上作用的慣性力與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)于某一獨(dú)立速度的偏上慣性力，算出每一質(zhì)點(diǎn)上作用的慣性力與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)于某一獨(dú)立速度的偏速度的標(biāo)積之和，即為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于該獨(dú)立速度的廣義慣性力。速度的標(biāo)積之和，即為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于該獨(dú)立速度的廣義慣性力。 對(duì)于剛體，與計(jì)算廣義主動(dòng)力的推導(dǎo)方法相同，得對(duì)于剛體，與計(jì)算廣義主動(dòng)力的推導(dǎo)方法相同，得 10.2 凱恩方程 廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算_ 廣義慣性力 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，可由下式計(jì)算出對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，可由下式計(jì)算出 niiiiurmK1* 2 1 ,f, , niiiiOniiiniiiiamruamu

23、amK111*若將簡(jiǎn)化中心選在剛體的質(zhì)心若將簡(jiǎn)化中心選在剛體的質(zhì)心 C 上，則上，則 COuuCniiiaMam1式中式中M為剛體的質(zhì)量，為剛體的質(zhì)量，aC 為質(zhì)心的加速度。為質(zhì)心的加速度。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第24頁(yè)10.2 凱恩方程 廣義主動(dòng)力和廣義慣性力的計(jì)算_ 廣義慣性力 若取質(zhì)心若取質(zhì)心 C 為平動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則有為平動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則有 iCiaaa表示剛體上第表示剛體上第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系的加速度，個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系的加速度， ia又因又因 ，則，則 01niiirm niiiiniiiiniCiiniiCiiniiiiamramrarmaamramr1111

24、1令令 CCaMR* niiiiCamrL1*則則 *CCCLuRK 2 1 ,f, ,同理可得整個(gè)剛體系統(tǒng)的廣義慣性力同理可得整個(gè)剛體系統(tǒng)的廣義慣性力 NiiCNiCCiiiLuRK1*1* 2 1 ,f, ,式中角標(biāo)式中角標(biāo) Ci 表示第表示第 i 個(gè)剛體的質(zhì)心。個(gè)剛體的質(zhì)心。 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第25頁(yè)10.2 凱恩方程 例例10-5 質(zhì)量為質(zhì)量為m，半徑為，半徑為 r 的均質(zhì)半圓盤(pán)，在粗糙的均質(zhì)半圓盤(pán)，在粗糙的水平面上擺動(dòng)，設(shè)的水平面上擺動(dòng)，設(shè) ，C為半圓盤(pán)的質(zhì)為半圓盤(pán)的質(zhì)心。試用凱恩方程擺動(dòng)的微分方程。心。試用凱恩方程擺動(dòng)的微分方程。 eCO解：系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，取解：系統(tǒng)具有

25、一個(gè)自由度，取為廣義坐標(biāo)，令為廣義坐標(biāo)，令 。 C點(diǎn)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 的偏速度為的偏速度為: jeiruC 半圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度半圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 :k 半圓盤(pán)對(duì)應(yīng)于半圓盤(pán)對(duì)應(yīng)于 的偏角速度的偏角速度: k在半圓盤(pán)上主動(dòng)力只有其重力在半圓盤(pán)上主動(dòng)力只有其重力 作用，即作用，即 PjmgP質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)C的速度的速度: 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第26頁(yè)10.2 凱恩方程 于是系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力于是系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力: sinmgej ei rjmguPKCC 點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度: iejeirjejeirjeirttvaCC 2 dddd則半圓盤(pán)上各點(diǎn)慣性力的主矢則半圓盤(pán)上各點(diǎn)慣性力的主矢: iejeirma

26、mRCC 2 半圓盤(pán)上各點(diǎn)慣性力對(duì)半圓盤(pán)上各點(diǎn)慣性力對(duì) C 點(diǎn)的主矩點(diǎn)的主矩: kJkJJLCCCC 系統(tǒng)的廣義慣性力系統(tǒng)的廣義慣性力 : sincos2 2222* CCCCCCCCJrere-ermkkJjeiriejeirmkJuamLuRK應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第27頁(yè)10.2 凱恩方程 由凱恩方程由凱恩方程: 0* KK得得 0 sincos2 sin222 CJrere-ermmge即即 0sinsincos22222gerere-erC CCJrere-ermKmgeuPKsincos2 sin222*應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第28頁(yè)10.2 凱恩方程 例例10-6 重量為重量為

27、P 的滑塊可在光滑的固定水平面的滑塊可在光滑的固定水平面上滑動(dòng)。半徑為上滑動(dòng)。半徑為a、重量為、重量為Q的勻質(zhì)圓柱同時(shí)在的勻質(zhì)圓柱同時(shí)在滑塊的斜面上滾動(dòng)。已知斜面傾角為滑塊的斜面上滾動(dòng)。已知斜面傾角為，試寫(xiě)，試寫(xiě)出在重力作用下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。出在重力作用下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。 解：系統(tǒng)是兩個(gè)自由度完整系統(tǒng)解：系統(tǒng)是兩個(gè)自由度完整系統(tǒng), 選取選取 x, s 為獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，則為獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，則 , 為獨(dú)立的廣義速度。為獨(dú)立的廣義速度。C1點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度 x s i xvC1C1 點(diǎn)對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立速度的偏速度分別是：點(diǎn)對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立速度的偏速度分別是： iuxC101sCuC2點(diǎn)的速度：點(diǎn)的速度：

28、i si xvC2C2點(diǎn)的兩個(gè)偏速度分別是：點(diǎn)的兩個(gè)偏速度分別是： iuxC2iusC2這里這里 是沿是沿 的單位矢。的單位矢。 ixO 應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第29頁(yè)10.2 凱恩方程 滑塊作平動(dòng)，其角速度滑塊作平動(dòng)，其角速度 10，故滑塊的偏角，故滑塊的偏角速度也恒等于零。速度也恒等于零。 圓柱的角速度：圓柱的角速度： kas2故圓柱的兩個(gè)偏角速度是：故圓柱的兩個(gè)偏角速度是： 02x aks2系統(tǒng)對(duì)獨(dú)立速度系統(tǒng)對(duì)獨(dú)立速度 的廣義主動(dòng)力是：的廣義主動(dòng)力是： x 021ijQijPuQuPKxCxCx同理可計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)獨(dú)立速度同理可計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)獨(dú)立速度 的廣義主動(dòng)力是：的廣義主動(dòng)力是： s s

29、in21QijQuQuPKsCsCs應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第30頁(yè)10.2 凱恩方程 在計(jì)算廣義慣性力以前，可先將各剛體的慣在計(jì)算廣義慣性力以前，可先將各剛體的慣性力系向各自的質(zhì)心簡(jiǎn)化。對(duì)于滑塊，其慣性力性力系向各自的質(zhì)心簡(jiǎn)化。對(duì)于滑塊，其慣性力系簡(jiǎn)化為在系簡(jiǎn)化為在C1 點(diǎn)的一個(gè)主矢點(diǎn)的一個(gè)主矢: i xgPRC *1對(duì)于圓柱，其慣性力系簡(jiǎn)化為在對(duì)于圓柱，其慣性力系簡(jiǎn)化為在C2 點(diǎn)的一個(gè)主矢點(diǎn)的一個(gè)主矢: i si xgQRC *2和一個(gè)慣性力偶，其矩矢和一個(gè)慣性力偶，其矩矢: ksagQkasagQkasJLCC 21212*2應(yīng)用力學(xué)研究所 李永強(qiáng)第31頁(yè)10.2 凱恩方程 則系統(tǒng)對(duì)于獨(dú)立速度則系統(tǒng)對(duì)于獨(dú)立速度 的廣義慣性力：