第四章 環(huán)與域

1、第四章 環(huán)與域§1 環(huán)的定義一、主要內(nèi)容1環(huán)與子環(huán)的定義和例子。在例子中，持別重要的是效域上的多項式環(huán)、n階全陣環(huán)和線性變換環(huán)，以及集M的冪集環(huán)2環(huán)中元素的運(yùn)算規(guī)則和環(huán)的非空子集S作成子環(huán)的充要條件：二、釋疑解難1設(shè)R是一個關(guān)于代數(shù)運(yùn)算十，·作成的環(huán)應(yīng)注意兩個代數(shù)運(yùn)算的地位是不平等的，是要講究次序的所以有時把這個環(huán)記為(R，十，·)(或者就直接說“R對十，·作成一個環(huán)”)但不能記為R，· ，十)因為這涉及對兩個代數(shù)運(yùn)算所要求滿足條件的不同我們知道，環(huán)的代數(shù)運(yùn)算符號只是一種記號如果集合只有二代數(shù)運(yùn)算記為，又R對 作成一個交換群，對滿足結(jié)合律且對滿

2、足左、右分配律，即就是說，在環(huán)的定義里要留意兩個代數(shù)運(yùn)算的順序2設(shè)R對二代數(shù)運(yùn)算十，·作成一個環(huán)那么，R對“十”作成一個加群，這個加群記為(R,十)；又R對“· ”作成一個半群，這個乍群記為(R，·)再用左、右分配律把二者聯(lián)系起來就得環(huán)(R，十·)三、習(xí)題41解答12345678證明：循環(huán)環(huán)必是交換環(huán)，并且其子環(huán)也是循環(huán)環(huán)§42 環(huán)的零因子和特征一、主要內(nèi)容環(huán)的左、右零因子和特征的定義與例子 2若環(huán)R無零因子且階大于1，則R中所有非零元素對加法有相同的階而且這個相同的階不是無限就是一個素數(shù) 這就是說，階大于l且無零因子的環(huán)的特征不是無限就是一個

3、素數(shù) 有單位元的環(huán)的特征就是單位元在加群中的階3整環(huán)(無零因子的交換環(huán))的定義和例子二、釋疑解難 由教材關(guān)于零因子定義直接可知，如果環(huán)有左零因子，則R也必然有右零因子反之亦然但是應(yīng)注意，環(huán)中一個元素如果是一個左零因子，則它不一定是一個右零因子例如，教材例l中的元素就是一個例子反之，一個右零因子也不一定是一個左零因子例如，設(shè)置為由一切方陣對方陣普通加法與乘法作成的環(huán)則易知是R的一個右零因子，但它卻不是R的左零因子2.關(guān)于零因子的定義關(guān)于零因子的定義，不同的書往往稍有差異，關(guān)鍵在于是否把環(huán)中的零元也算作零因子本教材不把零元算作零因子，而有的書也把零元算作零因子但把非牢的零因子稱做真零因子這種不算太

4、大的差異，讀者看參考書時請留意3關(guān)于整環(huán)的定義整環(huán)的定義在不同的書中也常有差異大致有以下4種定義方法：定義1 無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)(這是本教材的定義方法)定義2 階大于l且無零因子的交換環(huán)，稱為整環(huán)定義3 有單位元且無零因子的交換環(huán)，稱為整環(huán)定義4 階大于1、有單位元且無零因子的交換環(huán)，稱為整環(huán)以上4種定義中，要求整環(huán)無零因子、交換是共同的，區(qū)別就在于是否要求有單位元和階大于1不同的定義方法各有利弊，不宜絕對肯定哪種定義方法好或不好這種情況也許到某個時期會得到統(tǒng)一但無論如何現(xiàn)在看不同參考書時應(yīng)留意這種差異本教材采用定義1的方法也有很多原因，現(xiàn)舉一例。本章§8定理1：設(shè)P是交換環(huán)R

5、的一個理想則 P是R的素理想RP是整環(huán)這樣看起來本定理表述顯得干凈利索但若整環(huán)按定義2(或定義3、4)要求，那么以上定理表述就需變動究竟要怎樣變動，作為練習(xí)請讀者自己給出 。三、習(xí)題42解答設(shè)R是一個無零因子的環(huán)證明：若偶數(shù)，則R的特征必為2證明：P環(huán)無非零冪零元§4.3 除環(huán)和域 一、主要內(nèi)容1除環(huán)和域的定義及例子四元數(shù)除環(huán)2有限環(huán)若有非零元素不是零因子，則必有單位元，且每個非零又非零因子的元素都是可逆元 3有單位元環(huán)的乘群(單位群)的定義和例子 有單位元的環(huán)的全體可逆元作成的群，稱為該環(huán)的乘群或單位群除環(huán)或域的乘群為其全體非零元作成的群；整數(shù)環(huán)Z的乘群為 Z，；數(shù)域上n階全陣環(huán)的

6、乘群為全體n階可逆方陣對乘法作成的群；Gaus s整環(huán)的乘群為 U(Zi) ，ii，二、釋疑解難1階大于l的有限環(huán)可分為兩類： ”1) 一類是有零因子的有限環(huán)例如，有限集M(1)上的冪集環(huán)P(M)，不僅是個有零因子的有限環(huán)，而且除單位元M外其余每個非零元素都是零因子；后面§所講的以合數(shù)n為模的剩余類環(huán)Zn也是一個有零因子的有限環(huán)2) 另一類就是無零因子的有限環(huán)實(shí)際上根據(jù)本節(jié)推論和魏得邦定理可知，這種有限環(huán)就是有限域例如，以素數(shù)p為模的剩余類環(huán)Zp以及教材第六章所介紹的伽羅瓦域都屬于這種倩形這就是說，階大子1的有限環(huán)或者有零因子或者無零因子，從而為域與群定義中要求兩個方程axb與yab

7、都有解不同,這里僅要求方程axb或y ab (0a,bR)中有一個在R中有解即可教材中利用方程axb有解得到R的全體非零元有右單位元且每個非零元素都有右逆元，從而得到R是除環(huán)如果利用方程yab在R中有解，則將得到R的全體非零元有左單位元且每個非零元都有左逆元，從而也得到只是除環(huán)3關(guān)于有單位元環(huán)的單位群設(shè)R是階大于l的有單位元的環(huán)則顯然R是除環(huán)R的單位群是R； R是域 R是交換群顯然，除環(huán)或域有“最大的單位群又顯然冪集環(huán)P(M)的單位群只有單位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的單位群三、習(xí)題43解答1證略2證略3證明：域和其子域有相同的單位元即F與F1有相同的單位元(也可由F與有相同單位

8、元直接得出)456§4 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)一、主要內(nèi)容1環(huán)的同態(tài)映射和同構(gòu)映射的定義和例子2環(huán)同態(tài)映射的簡單性質(zhì)設(shè)是環(huán)R到環(huán)豆的同態(tài)滿射，則1) (0)是的零元，(a)(a) (aR) ； 2)當(dāng)R是交換環(huán)時，也是交換環(huán)； 3)當(dāng)R有單位元時，也有；并且R的單位元的象是的單位元 3在環(huán)同態(tài)映射下，是否有零因子不會傳遞即若環(huán)R，則當(dāng)R有零因子時，可能沒有，當(dāng)R無零因子時，卻可能有二、釋疑解難1在§1已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過，對于環(huán)的兩個代數(shù)運(yùn)算一定要區(qū)分前后順序同樣，對于環(huán)的同態(tài)映射，也要注意其保持運(yùn)算必須是：加法對加法，乘法對乘法即(ab)(a)(b)， (ab)(a)(b)第一式中等號左邊

9、的加號“”是環(huán)R的加法，而等號右邊的加號“”是環(huán)R的代數(shù)運(yùn)算二者雖然都用同一符號，但在實(shí)際例子中這兩個代數(shù)運(yùn)算卻可能點(diǎn)很大差異，根本不是一回事對上述第二個式子中等號兩端的乘法完全類似，不再贅述 2由于零因子在環(huán)同態(tài)映射下不具有傳遞性，因此，若環(huán)R，則當(dāng)R為整環(huán)時，不一定是整環(huán)；又當(dāng)R不是整環(huán)時，卻可能是整環(huán)教材中的例1和例2說明了這一點(diǎn)3關(guān)于環(huán)的挖補(bǔ)定理，三、習(xí)題44解答1. 證 略2.3.4.5.6.7.§45模n剩余類環(huán)一、主要內(nèi)容2循環(huán)環(huán)定義、例子和簡單性質(zhì) 1) 整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán)都是循環(huán)環(huán)而且在同構(gòu)意義下這也是全部的循環(huán)環(huán)2) 循環(huán)環(huán)是交換環(huán)，但不一定有單位

10、元而且這種環(huán)的子加群同子環(huán)、理想三者是一回事因此，n階循環(huán)環(huán)有且只有T(n)(n的正因數(shù)個數(shù))個子環(huán)(理想)二、釋疑解難1剩余類環(huán)是一類很重要的有限環(huán)，因為這種環(huán)是一種具體的環(huán)，特別是它的特征、子環(huán)(理想)、零因子、可逆元和單位群等都很清楚因此，在環(huán)的討論里常常以它作為例子來加以利用，并說明問題2整數(shù)環(huán)的任二不同的非零子環(huán)，作為加群，它們顯然是同構(gòu)的(因為它們都是無限循環(huán)群)但是，作為環(huán)，它們并不同構(gòu)因為，例如設(shè)因此，與不能同構(gòu)3剩余類環(huán)Zn中任二不同的子環(huán)也不能同構(gòu)事實(shí)上，Zn的任二不同階的子環(huán)當(dāng)然不能同構(gòu)又設(shè)置為Zn的任意k階子環(huán)，則k但由于(Zn，)是n階循環(huán)群，從而對n的每個正因數(shù)k，

11、(Zn，)有且只有一個k階子群，于是環(huán)Zn有且僅有一個k階子環(huán)因此，Zn的任二不同的于環(huán)當(dāng)然不同構(gòu) 4但是，有有限環(huán)存在，其有二不同子環(huán)是同構(gòu)的例如：令R是Z2上的2階全陣環(huán)，則16，且易知都是R的4階子環(huán)，而且易知R1還是一個域但是，R2無單位元(且不可換，又非零元都是零因子)，因此，R1與R2不能同構(gòu)此外易知：也都是環(huán)R的4階子環(huán)，而且R1，R2，R3，R4都是互不同構(gòu)的對此不再詳述，茲留給讀者作為練習(xí)有文獻(xiàn)已經(jīng)證明，互不同構(gòu)的4階環(huán)共有11個對此不再贅述三、習(xí)題45解答1.證明：同余類的乘法是Zn的一個代數(shù)運(yùn)算2. 試指出環(huán)Z8中的可逆元和零因子，再給出它的所有子環(huán)3. 試給出Z10的所

12、有子環(huán)，并指出它們各自的特征4.5.6.7. 證明：整數(shù)環(huán)的不同子環(huán)不同構(gòu)，證：見上面“釋疑解難”部分中的28.§4環(huán)與域上的多項式環(huán)一、主要內(nèi)容1有單位元環(huán)R上多項式環(huán)Rx的性質(zhì)1)Rx是整環(huán)R是整環(huán)2) Rx中多項式的除法左、右商及左、右余式2域F上多項式的根1)F上n次多項式在擴(kuò)域內(nèi)根的個數(shù)n；2)F上多項式f(x)在擴(kuò)域內(nèi)無重根(f(x)，(x)1二、釋疑解難 1本節(jié)均假定環(huán)R有單位元，但并未假定R可換因此，在對R上的多項式在進(jìn)行除法時，必須分左、右商和左、右余式從本節(jié)習(xí)題中可知，一般說左右商不一定相等，左右余式也不一定相等當(dāng)然，如果R是交換環(huán)，它們則分別相等，就不必再分左與

13、右了2域上多項式的根的狀況同我們所熟知的數(shù)域上多項式的情況一致但是，環(huán)上多項式根的狀況，由例子可知，就很不一樣例如，環(huán)R上一個n次多項式在R內(nèi)可能無根(這種情況并不奇怪，因為例如有理數(shù)域上多項式在有理數(shù)域內(nèi)也不一定有根)，也可能有多于n個的根(這種情況在數(shù)域或域上多項式不會發(fā)生)不過，教材中除下一章惟一分解整環(huán)的多項式擴(kuò)張外主要用到場上的多項式例如教材第六章中的最小多項式和多項式的分裂域就屬于這種情況三、習(xí)題49解答1.2.3. 解 經(jīng)驗算得知，f(x)在Z5上無根4.5.6.§6 理 想一、主要內(nèi)容1左、右理想、理想的定義和例子2單環(huán)的定義以及單環(huán)的一個重要性質(zhì)設(shè)環(huán)R有單位元，則R

14、上全陣環(huán)Rn×n的理想都是R中某個理想上的全陣環(huán)由此可知： Rn×n是單環(huán)R是單環(huán)特別，除環(huán)和域上的全陣環(huán)都是單環(huán) 3由環(huán)中元素山a，a，am生成的理想a，a，am特別，由一個元素a生成的主理想a 在一般情況下，主理想a中元素的表達(dá)形式在特殊環(huán)(交換環(huán)和有單位元的環(huán))中a的元素表達(dá)形式如下：1) 在有單位元的環(huán)R中：4理想的和與積仍為理想二、釋疑解難1關(guān)于理想的乘法 我們知道，如果A，B是群G的二子集或(正規(guī))子群，則A與B的乘積是如下規(guī)定的：ABabA,，bB但當(dāng)A，B是環(huán)R的理想時，如果仍按以上規(guī)定相乘，則一般而言其乘積AB不再是理想由于這個原因，環(huán)中理想的乘法規(guī)定為A

15、B有限和iA,，biB2對任意環(huán)R，則R至少有平凡理想和R通常把R本身叫做R的單位理想，這是由于以下原因：對R的任意理想N，顯然都有RNN， NRN但當(dāng)R有單位元時，則顯然又有RNN， NRN從而有 RNNRN這就是說，此時R在理想乘法中的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用 3設(shè)R為任意環(huán)，aR則易知 Nra是R的一個左理想若R是交換環(huán)，則當(dāng)然但是應(yīng)注意，由于R不一定有單位元，故不一定有aN從而也不能說N是由a生成的理想例設(shè)R為偶數(shù)環(huán)，a4，則三、習(xí)題46解答1. 證 略2. 證 1) 略2) 由于3.4. 證 參考上面“釋疑解難”部分35.8. 8證明：§4中例3中的環(huán)FN，當(dāng)N為降秩方陣時，不是單環(huán)§4.7商環(huán)與環(huán)同態(tài)基本定理一、主要內(nèi)容1設(shè) ，則所有(關(guān)于加法的)陪集x十N(xR)對于陪集的加法與乘法(aN)十(bN)(ab)N，(aN)(bN)abN作成一個環(huán)，稱為R關(guān)于理想N的商環(huán)，記為RN即在同構(gòu)意義下，任何環(huán)能而且只能與其商環(huán)同態(tài)此稱為環(huán)同態(tài)基本定理或環(huán)的第一同構(gòu)定理二、釋疑解難 1環(huán)同態(tài)基本定理有的書包括：但有的書不包括這一結(jié)論,而只指出： R，N為核RN也