系統(tǒng)穩(wěn)定性及其判定(羅斯陣列)

1、6-6系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定所有工程實際系統(tǒng)的工作都應(yīng)該具有穩(wěn)定性，所以對系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究十分重要。本 節(jié)將介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義及其判定方法。、系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義若系統(tǒng)對有界激勵f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，即當(dāng)時，若有 坯4)|(式中 叫 和“爭均為有界的正實常數(shù))，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)或系統(tǒng)具有穩(wěn)定性研究不同問題時，“穩(wěn)定”的定義不盡相同。這里的定義是“有界輸入、有界輸出”意義下的穩(wěn)定。，否則即為不穩(wěn)定系統(tǒng)或系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性?？梢宰C明，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要與充分條件，在時域中是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)絕對可積，即<g(6-36)證明 設(shè)激勵f(t)為有界，即式中，二為有界的正實常數(shù)

2、。又因有yf (t) = f(t)*h(t) = j(t 故有玉匸 |h(琲(t - T)矢£ |h&)|f(6-37)由此式看出，若滿足<g即.:一 一也一定有界。式中' 了為有界的正實常數(shù)。由式(6-36)還可看出,系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要條件是(6-38)式(6-36)和式(6-38)都說明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性描述的是系統(tǒng)本身的特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與系統(tǒng)的激勵和初始狀態(tài)均無關(guān)。若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，則式(6-36)和式(6-38)可寫為匸I11(護(hù)VOO(6-39)lim h(0 = 0trg(6-40)二、系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可以在時域中進(jìn)

3、行，也可以在s域中進(jìn)行。在時域中就是按式(6-36) 和式(6-38)判斷，已如上所述。下面研究如何從s域中判斷。1. 從H(s)的極點即D(s)=O的根分布來判定若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的所有極點均位于 s平面的左半開平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若H(s)在j 3軸上有單階極點分布，而其余的極點都位于s平面的左半開平面，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。若H(s)的極點中至少有一個極點位于 s平面的右半開平面，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若 在j 3軸上有重階極點分布，則系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。2. 川歲步疔川訓(xùn)立用上述方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，必須先要求出H(s)的極點值。但當(dāng) H(s)分母多項式D(s)的幕次較高時，此時要具體求

4、得H(s)的極點就困難了。所以必須尋求另外的方法。其實，在判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，并不要求知道 H(s)極點的具體數(shù)值，而是只需要知道H(s)極點的分布區(qū)域就可以了。禾U用羅斯準(zhǔn)則即可解決此問題。羅斯判定準(zhǔn)則的內(nèi)容如下：多項式D(s)的各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)；多項式中無缺項(即s的幕從n到0,項也不缺)。這是系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件。若多項式D(s)各項的系數(shù)均為正實常數(shù)，則對于二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的；但若系統(tǒng)的 階數(shù)n> 2時，系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還須排出如下的羅斯陣列。設(shè)_|:：n:，-1 + I.陣列中第1第2行各元素的意義不言而喻，第3行及以后各行的元素按以下各式計算:則羅斯陣列的排列規(guī)則如

5、下(共有n+1行):第1行:第布第市%嚴(yán):%如法炮制地依次排列下去，共有(n+1)行，最后一行中將只留有一個不等于零的數(shù)字。若所排出的數(shù)字陣列中第一列的(n +1)個數(shù)字全部是正號，則H(s)的極點即全部位于 s平面的左半開平面，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；若第一列(n+1)個數(shù)字的符號不完全相同，則符號改變的次數(shù)即等于在 s平面右半開平面上出現(xiàn)的H(s)極點的個數(shù)，因而系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。在排列羅斯陣列時，有時會出現(xiàn)如下的兩種特殊情況：(1) 陣列的第一列中出現(xiàn)數(shù)字為零的元素。此時可用一個無窮小量£ (認(rèn)為&是正或負(fù)均可)來代替該零元素，這不影響所得結(jié)論的正確性。(2) 陣列的某一行元素

6、全部為零。當(dāng)D(s)=O的根中出現(xiàn)有共軛虛根上I時，就會出現(xiàn)此種情況。此時可利用前一行的數(shù)字構(gòu)成一個輔助的s多項式P(s)，然后將P(s)對s求導(dǎo)一次，再用該導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成新的一行，來代替全為零元素的行即可；而輔助多項式P(s)=0的根就是H(s)極點的一部分。例6-22 已知H(s)的分母D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因D(s)中無缺項且各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：4 131221欣2-2注=2lx0-2xl0-2212 1 2x 22 x 0 1x0001_ i122fl2x0-lxl0.52x0-lx

7、00022可見陣列中的第一列數(shù)字符號無變化，故該H(s)所描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即H(s)的極點全部位于s平面的左半開平面上。TT/ s? + 2s2 + s -b2 H =r33例6-23 已知。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因-八-中無缺項且各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：?121222001 x 20- 2x8-1x0- 2x1 “ 門s3 = -2= 102x1-(-2)x20_；jl2xO-2)xO_0 Q-20-1x21=121可見陣列中的第一列數(shù)字符號有兩次變化，即從+2變?yōu)?2，又從-2變?yōu)?21。故H(s)的極點中有兩個極點位于s平面的

8、右半開平面上，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。/ H- 4S十 1= r7丟例6-24 已知'。試判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解： 因D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10中的系數(shù)均為大于零的實常數(shù)且無缺項，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：S31211241006012012由于第3行的第一個兀素為0,從而使第4行的第一個兀素°成為(-m)，使陣列無法繼續(xù)排列下去。對于此種情況，可用一個任意小的正數(shù)來代替第3行的第一個元素 0，然后照上述方法繼續(xù)排列下去。 在計算過程中可忽略含有 占，的項。最后將發(fā)現(xiàn)， 陣列第一列數(shù)字符號改變的次數(shù)將與/12門?2410s3s50

9、£無關(guān)。按此種處理方法，繼續(xù)完成上面的陣列:(12-412可見陣列中第一列數(shù)字的符號有兩次變化,12 12即從變?yōu)?二,又從 二變?yōu)?。故H(s)600 s° 10 00的極點中有兩個極點位于s平面的右半開平面上，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。H(s) = 弓"嚴(yán)例6-25 已知。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因-'中無缺項且各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下:s4144s3360s3240s1000可見第4行全為零元素。處理此種情況的方法之一是：以前一行的元素值構(gòu)建一個s的多項式P(s)，即P(s) = 2s3+4將式(6-41

10、)對s求一階導(dǎo)數(shù)，即dP(s) /門-4s + 0 ds現(xiàn)以此一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成原陣列中全零行即?1436sa24s100sc40(行)的元素，然后再按原方法繼續(xù)排列下去。40000可見陣列中的第一列數(shù)字符號沒有變化，故H(s)在s平面的右半開平面上無極點，因而系統(tǒng)肯定不是不穩(wěn)定的。但到底是穩(wěn)定的還是臨界穩(wěn)定的，則還須進(jìn)行下面的分析工作。解之得兩個純虛數(shù)的極點：-11。這說明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。實際上，若將D(s)分解因式，即為s* + 3? + 4s3+6s + 4=(2sa + 4)(s + 2)= 2 十 j一炯(s + l)(s + 2)可見H(s)共有4個極點：L-1"',位于軸上； 一 ，位于s平面的左半開平面。故該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。例6-26 圖6-38所示系統(tǒng)。試分析反饋系數(shù)K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。yG）圖 6-38解：張卜爲(wèi)恥卜爲(wèi)図冷卜艸）卜為詰%）-砒）=為島耶）-Y創(chuàng)-KW）解之得環(huán)）旦一1±±0_I F® 滬+ + 10（K+l>5+10欲使此系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是2 -: ' I |丨卜1中的各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)，故應(yīng)有 K>-1。但此條件