裂項相消法求和附問題詳解

1、裂項相消法利用列項相消法求和時， 應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面剩兩項，再就是通項公式列項后， 有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使列項前后等式兩邊保持相等。（1）若是an等差數(shù)列，則1a*an ian 1),1an an 21an 2(2)1n (n 1)(3)1n(n k)(4)1(2n 1)(2 n 1)(1 )2 2n 1 2n 1(5)1n(n 1)( n 2)(7)1 n ink1.已知數(shù)列 的前n項和為 ，叫d f+ "(H+I) gM)1(n 1)(n 2)（6）不 心（1）求數(shù)列 的通項公式；b”=-（2 ）設，求數(shù)列的前n項和為.解析&

2、#39;'n2時，也一必仃=九+ fi(fJ -0 得：':-'-即-： 3 分在中令I ,有.一 ，即',5分故對1'2已知an是公差為d的等差數(shù)列，它的前 n項和為Sn, S4=2S 2+8 .對所有的(I)求公差d的值;(n)若ai=1 ,設Tn是數(shù)列的前n項和，求使不等式 n N*恒成立的最大正整數(shù) m的值;解析(I)設數(shù)列an的公差為d ,/ S4=2S 2+8，即 4ai+6d=2(2a1+d) +8 ，化簡得：4d=8 ,解得d=2 .(n)由 a 1=1 , d=2，"得 a n =2n-1!4)(2柑-+22h-¥

3、ITn= 心遇疋氐込滄I 1 I I 1 II I-Il 一 + + + - +=.丄'-3m)又不等式Tn >對所有的n N*恒成立,10分化簡得：m2-5m-6 WO,解得：-1 <m <6 .12分.m的最大正整數(shù)值為 6 .3.)已知各項均不相同的等差數(shù)列an的前四項和S4=14,且ai,a3,a7成等比數(shù)列(I )求數(shù)列an的通項公式；(n )設Tn為數(shù)列1%人曲的前n項和，求T2 012的值答案(I )設公差為d,由已知得觸山尹"心(3分)解得d=1或d=0（舍去）,.31=2. （5 分）故 an=n+1. （6 分）1 1 1 1 （n 產(chǎn)和

4、i=（n41）54E）=】i+l-n+Z,（8 分） Tn =11111LI+ +-7=-=.(10 分)503T2 012 =17. (12 分)4.)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，-=8n+4,設數(shù)列|an|的前n項和為Sn,數(shù)列的前n項和為Tn.(1)求數(shù)列an的通項公式求證：<Tn<1答案(1)設等差數(shù)列an的公差為d,則an=a 1+(n-1)d. (2 分)-=8n+4,(a n+1 +a n )(a n+1 -a n )=d(2a 1 -d+2nd)=8n+4.當 n=1 時,d(2a 1+d)=12;當 n=2 時,d(2a 1+3d)=20.解方程組口創(chuàng)什旳垃4得山二2

5、或治二(4分)經(jīng)檢驗知,an=2n或an=-2n都滿足要求.an=2n 或 an=-2n. (6 分)證明：由(1)知:an=2n或an=-2n.|a n |=2 n.Sn= n(n+1). (8分)1n(ti+L)= 】i|-n + l.Tn = 1-分)WTn<1. (12 分)5已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為Sn,且Si,S2,S4成等比數(shù)列.(I )求數(shù)列an的通項公式；(n )令bn=(-1) n-1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.答案查看解析2x1解析(I )因為 S1=a 1,S2=2a 1X2=2a 1+2,4x3S4=4a 1+X2=4a 1+12,由題意得(2a

6、1+2) 2=a 1(4a 1+12),解得a1=1,所以 an=2n-1.44沖(n )b n=(-1)n-1 =(-1) n-1-'-'當n為偶數(shù)時,I=1-2 川-4-12a=-而2/j + U(-ir ' 加】16.足函數(shù)）=（口的圖象上一點，等比數(shù)列當n為奇數(shù)時,f1+n( n1 1I!1Tn =l 3 JU 5 J+-(2 屮一3 + 2 科一1)+( 2h-1 +2刃十 1)=1+加十12y2<加+ 'J為奇數(shù),Iff + l"為觀一所以Tn =L2fl+1的“和勿町*列他X.）的首項為前“項和（I）求數(shù)列 和的通項公式；_!_刖o

7、（n）若數(shù)列'' 的前“項和為，問1：，1的最小正整數(shù)'是多少?/（i）=«=i/w=4r解析解：（i）因為，所以,=fO）-c = -c a2=f 一匚一£ 一 d 一舟所以，碼二*（3）7】叫肌2二芻£il_2 1口 = = £比 _ 23 3又數(shù)列；是等比數(shù)列，所以-，所以，tiy 2111"亍肓 叫二-t-r1 = -2n*） 又公比 ,所以-,因為11'，Z） > 0> o Js Js. = 1又，所以，所以,Js?= i +（ i? -1）x i = n所以數(shù)列構成一個首項為i，公差為i的

8、等差數(shù)列，、所以，當' 時,=乞-W-1）' = 2（6分）丄+丄（n）由（I）得 “1 II+ + +呂 * 4亦補 i1x22x3(2片一)(2巾+ 】)1 zr I 11I1、科二一(-h +)2 335In - 加十1 2n+1(卩 分)T _ a 1000由'得1(X)0，滿足1000的最小正整數(shù)為72.（12分）7.在數(shù)列 ，；中， -成等差數(shù)列，二z成(I)求'，由此歸納出，的通項公式，并證明你的（n）證明:512n »結(jié)論;+£7 + Aj a, + b： (iy ->rb解析(I)由條件得,由此可得二匚息二廠必汽二乜g

9、二小吒二打,u -1), b + 1)'猜測.(4 分)用數(shù)學歸納法證明:當時，由上可得結(jié)論成立假設當'時，結(jié)論成立，即1 一1 ,他=2燉一畋-2(4 + l)a-i(* + l)-(A + lXA+2> 林=驗=伙 + 2卩 b.所以當2八十'時，結(jié)論也成立由，可知''1 1對一切正整數(shù)都成立 （7分）I I 5=丈(n)因為.' 當n>2時，由（I）知九二刃*1）（如眷”鍬+ 1川-1卅斤十1)ff1 + 1丄丄44丄26 2 2 宀 16 412綜上所述，原不等式成立 （12分）8已知數(shù)列"訃的前冃項和是凡,SH +

10、 /J = I -且5")（I）求數(shù)列山的通項公式;（n）設帥必1L十丄+L . +1Tb,JF J1007,求使Tn >2016成立的最小的正整數(shù)沖的值.解析(1)1時，遇S, 4- =>£?,=，由,當n2時,3 丄'%是以T為首項，為公比的等比數(shù)列.4fI 九壯二f（2 ）由（1 ）知九二噸川譏J二1伽（護二(亦 1)1_ I11(n 1-IX« + 2) nil n f 2+ 1 行二隔*A也10072016=n>2014打理12分故使,:'成立的最小的正整數(shù)冃的值 -'a7成等比數(shù)列.9. 己知各項均不相等的等差

11、數(shù)列an的前四項和S4=14，且ai, a3,(I)求數(shù)列an的通項公式；恒成立，求實數(shù)；的(II)設Tn為數(shù)列W評"丿的前n項和，若Tn "%】對最小值.解析122.(I)設公差為d.由已知得+ 6d = 14W + 2d）2 =厲（幼 +6J）解得 =,所以坷=2故心+ 1Q "-!-!仇亂 4i+ IX«« +1 « + 2恒成立12分A0i + 2)Q匚臣"“對旳芒¥恒成立，即2g2對旳芒悄】=】一丄珈 + 2 尸 2*匚4)二(4 + 4) 16又"'-的最小值為110. 已知數(shù)列 前項

12、和為，首項為，且，成等差數(shù)列(I)求數(shù)列的通項公式;(II )數(shù)列滿足，求證：解析(I)成等差數(shù)列，二,當沖=I時疔嚴亍譏疇?當 時，兩式相減得:所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，（6分）(n)虬冶針 叭略1 硏廣"id吆L»(2ir-lX2* + l)( 8 分)i ri-（12 分）11. 等差數(shù)列an各項均為正整數(shù)，a 1=3,前n項和為Sn,等比數(shù)列bn中，b 1=1,且 b2S2=64, '是公比為64的等比數(shù)列.(I )求 an 與 bn；(n)證明：*+抖.答案(I )設an的公差為d, b n的公比為q,則d為正整數(shù),an=3+(n-1) d,

13、bn=q n-13 tnd lh"1二氏二2 ”依題意有由(6+d) q=64 知q為正有理數(shù)，又由q=知,d為6的因子1,2, 3, 6之一，解得d=2,Szb=(6+d) q=64.q=8.故 an=3+2(n-1) =2n+1, b n=8 n-1(n )證明:Sn=3+5+(2n+1) =n(n+2),=壬占尹疔1/ J月+ . +n(n+2)'+ +12. 等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a 1+3a 2=1,卜1=9a 2a 6.(I )求數(shù)列an的通項公式(n ) 設 b n=log 3a1+log3a2+ +log3an,求數(shù)列儲的前n項和.答案(I )設數(shù)列

14、a n的公比為q.由=9a 2a6得=9 ，所以q 2=.因為條件可知q>0,故q=.由 2ai+3a 2=1 得 2ai+3a iq=1, 所以 ai=.故數(shù)列an的通項公式為(n ) b n=log 3ai+log 3a2+ +log 3an=-(1+2+n)2i i=_21 1 -昭厲+阮=-21 I+所以數(shù)列的前n項和為-.13. 等差數(shù)列an的各項均為正數(shù),ai=3,其前n項和為Sn,bn為等比數(shù)列,bi=1,且b2S2=16,b 3S3=60.(I )求 an 和 bn ；(n)求'L+答案(I )設an的公差為d,且d為正數(shù),b n的公比為q,an=3+( n-1)

15、d,b依題意有b 2S2=q (6+d)=16,b3S3=q 2 (9+3d)=60,(2分)解得 d=2,q=2.(4 分)故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2 n-1 .(6 分)(n )Sn=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分)11 L1X：S+ +R( n-2)=(10 分)32n+3=-.(12 分)14. 設數(shù)列an的前n項和Sn滿足:Sn= na n-2n(n-1).等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,公比為 a1,且 T5=T 3 +2b 5.(2)設數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式1 1的前n項和為M n ,求證3 WM n< -'1答案(1) VT5=T 3+2b 5, Ab 4+b 5=2b 5,即(a1-1)b 4=0,又 b4 MO,.心1=1.n2 時,a