2006考研數(shù)一真題及解析(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題：1-6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(1) .(2) 微分方程的通解是 .(3) 設(shè)是錐面()的下側(cè)，則 .(4) 點(diǎn)到平面的距離= .(5) 設(shè)矩陣，為階單位矩陣，矩陣滿足，則= .(6)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則= .二、選擇題：9-14小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).(7) 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在處的增量，與分別為在點(diǎn)處對應(yīng)的增量與微分，若，則( )(A)(B)(

2、C)(D) (8) 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于( )(A)(B)(C) (D) (9) 若級數(shù)收斂，則級數(shù)( )(A)收斂.(B)收斂.(C)收斂.(D)收斂. (10) 設(shè)與均為可微函數(shù)，且. 已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是( )(A)若，則.(B)若，則.(C)若，則.(D)若，則.(11) 設(shè)均為維列向量，是矩陣，下列選項(xiàng)正確的是( )(A)若線性相關(guān)，則線性相關(guān).(B)若線性相關(guān)，則線性無關(guān).(C)若線性無關(guān)，則線性相關(guān).(D)若線性無關(guān)，線性無關(guān). (12) 設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的-1倍加到第2列得，記，則( )(A)(B)(C)(D) (1

3、3) 設(shè)為隨機(jī)事件，且，則必有( )(A)(B)(C)(D) (14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有( )(A)(B)(C)(D) 三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域,計(jì)算二重積分 .(16)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列滿足 .(I)證明存在,并求該極限 ；(II)計(jì)算 .(17)(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù) .(18)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式(I) 驗(yàn)證.(II) 若求函數(shù)的表達(dá)式.(19)(本題滿分12分)設(shè)在上半平面內(nèi),函數(shù)是有連續(xù)

4、偏導(dǎo)數(shù),且對任意的都有.證明: 對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線，都有 (20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組有個(gè)線性無關(guān)的解(I) 證明方程組系數(shù)矩陣的秩;(II) 求的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)階實(shí)對稱矩陣的各行元素之和均為,向量是線性方程組的兩個(gè)解.(I) 求的特征值與特征向量 (II) 求正交矩陣和對角矩陣,使得.(22)(本題滿分9分) 隨機(jī)變量的概率密度為 為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).求(I) 的概率密度; (II) .(23)(本題滿分9分) 設(shè)總體的概率密度為. 為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,記為樣本值中小于的個(gè)數(shù),求的最大似然估計(jì).2006年全國碩士研究生

5、入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(1)【答案】2.【詳解】由等價(jià)無窮小替換，時(shí)，=2(2)【答案】.【詳解】分離變量， (3)【答案】【詳解】補(bǔ)一個(gè)曲面,取上側(cè)，則組成的封閉立體滿足高斯公式， 設(shè) ，則(為錐面和平面所圍區(qū)域)(為上述圓錐體體積)注：以下幾種解法針對于不同的方法求圓錐體體積方法1：(高中方法，圓錐的體積公式，這種方法最簡便)而 (在上：)方法2：先二重積分，后定積分.因?yàn)?，所?.從而方法3：利用球面坐標(biāo). 在球坐標(biāo)下為：，方法4：利用柱面坐標(biāo) . (4)【答案】【詳解】代入點(diǎn) 到平面的距離公式(5)【答案】 【詳解】由已知條件變形得，, 兩邊取行列式, 得 其中， 因此，

6、.(6)【答案】【詳解】根據(jù)獨(dú)立性原理：若事件獨(dú)立，則事件，而隨機(jī)變量與均服從區(qū)間上的均勻分布，有和. 又隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，所以，二、選擇題.(7)【答案】【詳解】方法1： 圖示法. O x0 x0+x xyy=f(x) ydy因?yàn)閯t嚴(yán)格單調(diào)增加；因?yàn)?則是凹函數(shù)，又，畫的圖形結(jié)合圖形分析，就可以明顯得出結(jié)論：.方法2：用兩次拉格朗日中值定理(前兩項(xiàng)用拉氏定理) (再用一次拉氏定理), 其中由于，從而. 又由于，故選方法3： 用拉格朗日余項(xiàng)一階泰勒公式. 泰勒公式：，其中. 此時(shí)取1代入，可得又由，選 .(8)【答案】【詳解】記，則區(qū)域的極坐標(biāo)表示是： ，. 題目考察極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化問

7、題，畫出積分區(qū)間，結(jié)合圖形可以看出，直角坐標(biāo)的積分范圍(注意 與 在第一象限的交點(diǎn)是)，于是 所以，原式. 因此選 (9) 【答案】【詳解】方法1：數(shù)列收斂的性質(zhì)：收斂數(shù)列的四則運(yùn)算后形成的新數(shù)列依然收斂因?yàn)槭諗浚砸彩諗?，所以收斂，從而也收?選D.方法2：記 ，則收斂. 但，(級數(shù)，級數(shù)發(fā)散)；(級數(shù)，級數(shù)發(fā)散)均發(fā)散。由排除法可知，應(yīng)選D.(10) 【答案】【詳解】方法1： 化條件極值問題為一元函數(shù)極值問題。已知，由，在鄰域，可確定隱函數(shù)，滿足，。是在條件下的一個(gè)極值點(diǎn)是 的極值點(diǎn)。它的必要條件是若，則，或，因此不選，.若，則(否則). 因此選方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函數(shù)，有因

8、為，所以，代入(1)得若，則，選(11)【答案】A【詳解】方法1：若線性相關(guān), 則由線性相關(guān)定義存在不全為的數(shù)使得 為了得到的形式，用左乘等式兩邊, 得 于是存在不全為的數(shù)使得成立，所以線性相關(guān).方法：如果用秩來解,則更加簡單明了. 只要熟悉兩個(gè)基本性質(zhì), 它們是:1. 線性相關(guān)Û；2. . 矩陣, 設(shè)， 則由得. 所以答案應(yīng)該為().(12) 【答案】【詳解】用初等矩陣在乘法中的作用(矩陣左乘或右乘初等矩陣相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行初等行變換或列變換)得出將的第2行加到第1行得，即 將的第1列的-1倍加到第2列得，即因?yàn)?，? 從而 ,故選().(13)【答案】C【詳解】本題考條件概率的概念

9、和概率的一般加法公式根據(jù)條件概率的定義，當(dāng)時(shí)，得根據(jù)加法公式有,故選(C)(14) 【答案】A.【詳解】由于與的分布不同，不能直接判斷和的大小與參數(shù)關(guān)系. 如果將其標(biāo)準(zhǔn)化后就可以方便地進(jìn)行比較了。隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，有，且其概率密度函數(shù)是偶函數(shù). 所以.同理有，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，即，所以，故選(A).三、解答題(15)【詳解】積分區(qū)域?qū)ΨQ于軸，為的奇函數(shù)，從而知 所以 (16)【詳解】(I) 由于時(shí)，于是,說明數(shù)列單調(diào)減少且. 由單調(diào)有界準(zhǔn)則知存在.記為. 遞推公式兩邊取極限得(II) 原式，為“”型. 因?yàn)殡x散型不能直接用洛必達(dá)法則，先考慮所以 (17)【詳解】用分解法轉(zhuǎn)化為求的展開

10、式，而這是已知的.由于 因此 .(18)【詳解】(I)由于題目是驗(yàn)證，只要將二階偏導(dǎo)數(shù)求出來代入題目中給的等式就可以了同理 代入，得 ，所以 成立.(II) 令于是上述方程成為，則，即 ，所以 因?yàn)?，所以 ，得 又因?yàn)?，所以 ，得 (19)【詳解】方法1：把兩邊對求導(dǎo)，得：令 ，則；再令 ，所以 ，得 ，所以由格林公式知結(jié)論成立.方法2： 是單連通區(qū)域，對于內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線，為內(nèi)的一曲線在內(nèi)與路徑無關(guān) 同方法1，由 可證得上式.因此結(jié)論成立.(20)【詳解】(I)系數(shù)矩陣未知量的個(gè)數(shù)為，且又有三個(gè)線性無關(guān)解，設(shè)是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解, 則是的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 因?yàn)榫€性無關(guān)又

11、是齊次方程的解，于是的基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)不少于2, 得, 從而.又因?yàn)榈男邢蛄渴莾蓛删€性無關(guān)的, 所以. 所以.(II)對方程組的增廣矩陣作初等行變換: = 由, 得， 即 .所以作初等行變換后化為；，它的同解方程組 中令求出的一個(gè)特解；的同解方程組是 取代入得；取 代入得. 所以的基礎(chǔ)解系為，所以方程組的通解為：，為任意常數(shù) (21)【詳解】(I) 由題設(shè)條件，故是的對應(yīng)于的特征向量，又因?yàn)榫€性無關(guān)，故至少是的二重特征值. 又因?yàn)榈拿啃性刂蜑椋杂?，由特征值、特征向量的定義，是的特征向量, 特征值為，只能是單根，是全體特征向量，從而知是二重特征值.于是的特征值為；屬于的特征向量: ；屬

12、于的特征向量: ，不都為.() 為了求出可逆矩陣必須對特征向量進(jìn)行單位正交化 .先將單位化, 得.對作施密特正交化, 得, .作, 則是正交矩陣,并且 (22)【詳解】, 由于是分段函數(shù)，所以在計(jì)算時(shí)，要相應(yīng)分段討論. 求只是與有關(guān)，不必先求出的函數(shù).(I) 因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，有由概率密度是分布函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的的微分，所以，這個(gè)解法是從分布函數(shù)的最基本的概率定義入手，對y進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠懻摷纯?，屬于基本題型.() 由協(xié)方差的計(jì)算公式需要計(jì)算，.；.故(III) 根據(jù)二維隨機(jī)變量的定義，有 由一維概率計(jì)算公式有，.(23)【答案】的矩估計(jì)；的最大似然估計(jì)【詳解】矩估計(jì)的實(shí)質(zhì)在于用樣本矩來估計(jì)相應(yīng)的總體矩，此題中被估參數(shù)只有一個(gè)，故只需要用樣本一階原點(diǎn)矩(樣本均值)來估計(jì)總體的一階原點(diǎn)矩(期望)，所以矩估計(jì)的關(guān)鍵在于找出總體的矩.最大似然估計(jì)，實(shí)質(zhì)上就