一元二次方程解法及其配套練習(xí)

1、一元二次方程解法及其配套練習(xí) 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 解法一 直接開方法適用范圍：可解部分一元二次方程例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 例2市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率 例3 如圖，在ABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后PBQ的面積

2、等于8cm2？ 例4某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？ 歸納小結(jié)：共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想” 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的若p0則方程無解配套練習(xí)題一、選擇題 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根為

3、（ ） A3 B-3 C±3 D無實(shí)數(shù)根 3用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（ ） A（x-）2=，x=± B（x-）2=-，原方程無解 C（x-）2=，x1=+，x2= D（x-）2=1，x1=，x2=- 二、填空題 1若8x2-16=0，則x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是_ 3如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、綜合提高題1解關(guān)于x的方程（x+m）2=n 2某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m（1）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)

4、到200m嗎？（2）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到210m2嗎？3在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個(gè)矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，并說明你制作的理由嗎？解法二配方法適用范圍：可解全部一元二次方程 引例：要使一塊矩形場(chǎng)地的長比寬多6m，并且面積為16m2,場(chǎng)地的長和寬各是多少？ 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加

5、上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程無實(shí)根 用配方法解一元二次方程小口訣 二次系數(shù)化為一 常數(shù)要往右邊移 一次系數(shù)一半方兩邊加上最相當(dāng) 例1用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 例2如圖，在RtACB中，C=90°，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 例3解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （

6、3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 例4用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 例5. 求證:無論y取何值時(shí),代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0.配套練習(xí)題一、選擇題 1配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=2下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-24將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（

7、x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 5已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 6如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或9二、填空題1方程x2+4x-5=0的解是_ 2代數(shù)式的值為0，則x的值為_3已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為_ 4如果x

8、2+4x-5=0，則x=_ 5無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是_數(shù) 6如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是_ 三、綜合提高題 1用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x2已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長3如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值4新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)5000元，

9、每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？5已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值 6某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)一元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件若商場(chǎng)平均每天贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？請(qǐng)你設(shè)計(jì)銷售方案解法三公式法適用范圍：可解全部一元二次方程首先，要通過=b2-4ac的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個(gè)根1.當(dāng)=b2-4ac<0時(shí) x無實(shí)數(shù)根（初中）2.當(dāng)=b2-4ac=0時(shí) x有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 即x1=x23.

10、當(dāng)=b2-4ac>0時(shí) x有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根 （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。) （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 例1用公式法解下列方程 （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0 配套練習(xí)題 一、選擇題 1用

11、公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空題 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，條件是_ 2當(dāng)x=_時(shí)，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4 3若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_ 三、綜合提高題1用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=02設(shè)x1，x2是一元二次

12、方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，（1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個(gè)月用電量不超過A千瓦時(shí)，那么這戶居民這個(gè)月只交10元電費(fèi)，如果超過A千瓦時(shí)，那么這個(gè)月除了交10元用電費(fèi)外超過部分還要按每千瓦時(shí)元收費(fèi)（1）若某戶2月份用電90千瓦時(shí)，超過規(guī)定A千瓦時(shí)，則超過部分電費(fèi)為多少元？（用A表示）（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況月份用電量（千瓦時(shí)）交電費(fèi)總金額（元） 3 80 25 4 45 10根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？解法四分解

13、因式法適用范圍：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。 例1解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 例2已知9a2-4b2=0，求代數(shù)式的值 配套練習(xí)題 一、選擇題 1下面一元二次方程解法中，正確的是（ ） A（x-3）（x-5）=10×2，x-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7 B（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）（5x-3）=0，x1= ，x2= C（x+2）2+4x=0，x1=2，x

14、2=-2 Dx2=x 兩邊同除以x，得x=1 2下列命題方程kx2-x-2=0是一元二次方程；x=1與方程x2=1是同解方程；方程x2=x與方程x=1是同解方程；由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（ ） A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè) 3如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（ ） A- B-1 C D1 二、填空題 1x2-5x因式分解結(jié)果為_；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是_ 2方程（2x-1）2=2x-1的根是_ 3二次三項(xiàng)式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為_；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個(gè)根是

15、_ 三、綜合提高題 1用因式分解法解下列方程（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=02已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值 3今年初，湖北武穴市發(fā)生禽流感，某養(yǎng)雞專業(yè)戶在禽流感后，打算改建養(yǎng)雞場(chǎng)，建一個(gè)面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場(chǎng)為了節(jié)約材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，墻長am，另三邊用竹籬圍成，如果籬笆的長為35m，問雞場(chǎng)長與寬各為多少？（其中a20m）小結(jié)：一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法是最基本的方法。公式

16、法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。三種方法（配方法、公式法、因式分解法）的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系： 降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次 公式法是由配方法推導(dǎo)而得到 配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次