Banach空間壓縮映像原理和不動點原理及其應用

1、Banach空間壓縮映像原理和不動點原理及其應用摘 要 本文進一步揭示了Banach空間壓縮映像原理與完備性的關系,對壓縮映像原理與不動點的相關理論做了詳細地闡述，并對Banach空間中壓縮映像原理與不動點原理的應用做了詳細的舉例說明。關鍵詞Banach空間 壓縮原理 完備性 不動點引言 泛函分析是本世紀出才逐漸形成的一個新的數學分支，以其高度的統(tǒng)一性和廣泛的應用性，在現代數學領域占有重要的地位。在泛函分析中，Banach空間理論在隱函數定理、微分方程解的存在性定理、積分方程解的存在性定理等等中，否起到了關鍵的作用，且都歸結為一個定理不動點定理。這正是抽像的結果。 不動點定理實際上是

2、算子方程的求解問題，是分析學的各個分支中存在和唯一性定理的重要基礎，它是關于具體問題解的存在唯一性的定理，其中Banach不動點定理，亦稱壓縮映射原理，它提供了線性方程解的最佳逼近程序，給出了近似解的構造，在常微分方程、積分方程等領域中也有著廣泛的應用，在現代數學發(fā)展中有著重要的地位和作用。正文Banach空間壓縮映像定理及其應用隨著現代電子計算機技術的發(fā)展，我們在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、積分方程、差分方程、代數方程等）的過程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。幾乎可以這樣說：對一個方程，只要我們找到一個迭代公式，就算解出了這個方程（當然我們還要考慮迭代公式的收斂性、解的穩(wěn)定性和收斂

3、速度等問題）。但是，在逐次迭代中，我們必須保證迭代過程中得到的是個收斂序列，否則就是毫無意義的了。而選代法解方程的實質就是尋求變換（映射、映像）的不動點。例如求方程f(x)=0的根，我們可令g(x)=x-f(x)，則求f(x)=0的根就變成求g(x)的不動點，即求,使.而在通常求映射的不動點的方法中，最簡單的就是下面我們所講的-Banach空間壓縮映像定理。 定義（壓縮映像） 設T是度量空間X到X中的映像，如果對都有（是常數）則稱T是X上的一個壓縮映像。 從幾何上說：壓縮映像即點x和y經過映像T后，它們的像的距離縮短了（不超過d(x,y)的倍） 定理1（Banach壓縮映像原理）1922年 （

4、Banach 1892-1945 波蘭數學家） 設（X,d）是一個完備度量空間，T是X上的一個壓縮映像，則丅有唯一的不動點。即存在x屬于X，使得Tx=x。（證明存略）對于壓縮映像原理的應用，最典型的有以下幾個定理可說明問題。定理2（隱函數存在定理） 設在帶狀區(qū)域上處處連續(xù)，處處有關于y的偏導數,且如果存在常數m,M，適合.則方程在閉區(qū)間上有唯一的連續(xù)函數,使。 證：（在中考慮映像，若其為壓縮映像，則有不動點）在完備度量空間中作映像,顯然,對由連續(xù)函數的運算性質有。是到自身的一個映像下證是壓縮的.即證 ,任取由微分中值定理,存在,使令 則 ,故 取最大值 映像T是壓縮的.由Banach壓縮映像定

5、理在上有唯一的不動點使 顯然這個不動點適合注： 注意本定理的證明思路：先確定空間，再找映像（這是難點）,然后證明此映像是壓縮的，最后利用定理即得。注意到這是利用Banach壓縮映像定理解題的一般方法。  此隱函數存在定理給出的條件強于數學分析中隱函數存在定理所給出的條件，因而得出的結論也強些：此處得出區(qū)間上的連續(xù)隱函數.下面我們介紹Banach不動點定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的應用-Picard定理.定理3：（Picard定理 Cauchy-Peano微分方程解的存在唯一性定理） 設在矩形上連續(xù),設又在R上關于x満足Lipschitz（德國人 1832-1903）條件,即存

6、在常數k使對有 ,那么方程在區(qū)間上有唯一的滿足初始條件的連續(xù)函數解.其中證：設表示在區(qū)間上的連續(xù)函數全體。對成完備度量空間。又令表示中滿足條件的連續(xù)函數全體所成的子空間。顯然閉,因而也是完備度量空間.令 如果 當 時,而 是R上的二元連續(xù)函數,映像中積分有意義。又對一切 故T是到的一個映像下證是壓縮的。由Lipschitz條件,對中的任意兩點 有 令 ,則由 有 .則 故T是壓縮的。由Banach壓縮映像定理,T在中有唯一的不動點.即 使 即 且 即 是滿足初值條件的連續(xù)解。再證唯一性。如果 也是 滿足 的連續(xù)解.那么 因而 而且也是T的不動點.而T的不動點是唯一的.故 有唯一解。注：題設條件

7、中Lipschitz條件的要求是十分強的，它保證了解的唯一性。實際上満足Lipschtz條件即為一致收斂。因而可在積分號下求導，如果把解的要求降低，例如只要求廣義解，即只要求滿足積分方程 則題設條件可大大放寬：只要 有界,即可利用Lebesgue控制收斂定理得到廣義解。注意到Banach壓縮映像定理不僅證明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法-逐次逼近法：即只要任取 令 則解 .且在Banach不動點定理的證明中,有 .即此式給出了用逼近解的誤差估計式。不動點定理的應用不動點證明數列極限定理 對于數列，設，。求證：。證明：由，。令，則。那么一定存在極限，設其為。那么，可得，故。不動點定理在圖論中的證明把一張小比例尺的地圖，放在一張同地區(qū)的大比例尺地圖內，則有且僅有一個地名重合( 有一個坐標相同的點相重合)。證明: 把大地圖中所有的地名( 包括未寫出來的) 看作定理1中的( 距離按通常定義)；把小地圖所覆蓋的區(qū)域看作大地圖到自身的映像, 顯然這是一個完備度量空間中的壓縮映像問題, 故結論成立。此外不動點原理還可以應用在數列通項公式中，求方程解中。此處不做一一