2237高中數(shù)學(xué)必修二空間圖形與平面圖形教案

1、 空間圖形與平面圖形【概 述】1立體幾何是平面幾何的繼續(xù)與發(fā)展. 平面幾何研究平面圖形(由同一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)、線構(gòu)成的圖形)的形狀、大小和位置關(guān)系；立體幾何的研究空間圖形(由空間的點(diǎn)、線、面構(gòu)成的圖形)的性質(zhì)、畫法、計(jì)算，以及它們的應(yīng)用，主要表現(xiàn)為空間位置關(guān)系的判斷、空間角與距離的計(jì)算以及特殊幾何體的有關(guān)面積與體積的計(jì)算；2研究立體幾何的主要思想方法是：空間問題平面化；3觀察、類比、空間想象，作圖、識(shí)圖、計(jì)算等是研究立體幾何的必備技能. 【問題解決】一、空間角與距離1 空間角主要有：異面直線所成角(定義、度量、范圍)、直線與平面所成角、二面角；2 平行與垂直等位置關(guān)系可以看成是特殊的角；3 空間

2、距離主要有：點(diǎn)與線的距離、點(diǎn)與面的距離、線與線(平行、異面)的距離、線與面的距離、面與面的距離等ABCD.例1 已知正四面體ABCD的棱長為a.(1) 求點(diǎn)A到面BCD的距離；(2) 求AB與面BCD所成角；(3) 求二面角ACDB的大??；.例2 如圖，P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA面ABCD，且PA = AB = 2BC = 2.(1)求證AD面PBC；(2)求證面PBC面PAB；(3)求點(diǎn)A到面PBC的距離；(4) 求異面直線PC與AD所成的角. A BD CP 例3 已知P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA面ABCD，且PA = AB = a. 求：(1)PC與平面ADP所成角；

3、(2)面PCD與面ABCD所成角；(3)AP與面CDP所成角；(4)面PAB與PCD所成角；(5) 點(diǎn)D到面PBC的距離；(6)若E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，求A到面PEF的距離和直線BD到面PEF的距離.A BD CP例4 在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1C1D1的中心，求：A BD CA1 B1D1 C1E(1)AE與面ABCD與成的角；(2)AE與A1C所成的角； (3)AE與面ABB1A1與成的角；(4) AE與BD1所成的角. OA BD CA1 B1D1 C1G例5 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC、BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn).(1) 求證：A1O

4、面GBD；(2) 求異面直線A1O與D1G所成角的余弦值；(3) 求異面直線AC與D1G所成角的正弦值.A BD CA1 B1D1 C1例6 已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，側(cè)棱AA1和AB、AD所成的角相等，且.(1) 求證：對(duì)角面ACC1A1底面ABCD；(2) 求證：對(duì)角面BB1D1D是矩形；(3)若BAD = 60º，AA1 = AB，求二面角B1BDC的大小.ABCD例7 已知平面/平面，AB與CD是夾在平面與平面之間的兩條線段，若AB與平面所成的角為30°，且ABCD，AB = 2.(1) 求平面與平面的距離；(2) 求線段CD的取值

5、范圍 例8 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為a，側(cè)棱長為2a.(1) 求點(diǎn)B1到面A1BC1的距離；(2) 求二面角A1BC1B1的正切值；(3) 求異面直線AC1與B1C所成的角；(4) 若E是BB1上的點(diǎn)，異面直線AE與A1D所成的角是60º，求BE的長.A BD CA1 B1D1 C1E例9 如圖,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中點(diǎn).(1)證明AB1平面DBC1；(2)假設(shè)AB1BC1,求以BC1為棱,DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù).例10 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,EBB1，截面A1EC側(cè)面AC1.()求證:BE=EB1；(

6、)若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù). 例11 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1AB1，BC1A1C，求證AB1 = A1C. A BCA1 B1C1二、折疊與展開折疊、圍圈、旋轉(zhuǎn)是將平面圖形擴(kuò)展生成空間圖形的主要途徑. 在生成的空間圖形中，各相關(guān)元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，既與原平面圖形中的相關(guān)元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系有關(guān)聯(lián)，又會(huì)形成新的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，這些變化都與生成過程有關(guān). 射影、展開、截面是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的主要途徑和方法. 這些途徑和方法既用于空間直線與平面位置關(guān)系的判定，又用于空間幾何量(角、距離、面積、體積等)的計(jì)算，

7、是分析和解決空間圖形各種問題的基本思路之一，也是化歸思想 “空間問題平面化”的具體體現(xiàn). 例12 把邊長為a的正ABC沿其高AD折成60°的二面角. (1)求BC的長；(2)求二面角ABCD的度數(shù)；(3)求二面角ACDB的度數(shù).B D CAD CBA A E BD CEPD C例13 如圖，ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，如果將DAE和CBE分別沿虛線DE和CE折起，使AE和BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P，則面PCD與面ECD所成的二面角為 度.例14 已知長方形ABCD中，AB = 4，BC = 3，把長方形沿對(duì)角線AC折成一個(gè)二面角，此時(shí)D在面ABC上的射影E在AB上.(1)

8、 求證：面ABD面BCD；(2)求BD的長；(3)求二面角DACB的度數(shù).A BD CA CBDE例15 如圖，在ABC中，ACB = 90º，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，沿DE將ADE折起，使點(diǎn)A到A´的位置，且平面A´DE平面ABC，設(shè)M是A´B的中點(diǎn).(1) 求證：ME平面A´CD；(2) 求證：ME平面A´BC；(3) 若，求直線A´B與平面ABC所成角的正切值；(4) 若RtABC中，求點(diǎn)C到平面A´BE的距離.B E ACDA´M例16 把邊長為a的正方形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的

9、中點(diǎn)分別為E、F、G、H，沿對(duì)角線BD將正方形折成直二面角. DCABE HF G(1) 證明四邊形EFGH是矩形；(2) 求四邊形EFGH的面積；(3) 求面EFGH與面BCD所成角的大??； 例17 如圖，在邊長為a的正三角形三個(gè)角處各剪去一個(gè)相同的四邊形，用余下的部份做成一個(gè)無蓋的正三棱柱容器，則此容器的高是多少時(shí)，容器的容積最大？最大值是多少？OC DB ANMO1 例18 如圖，一扇形鐵皮AOB的圓心角為60º，半徑OA = 72cm. 現(xiàn)剪下一個(gè)扇環(huán)ABCD做圓臺(tái)形容器的側(cè)面，并從余下的扇形OCD內(nèi)下一個(gè)最大的圓剛好做容器的下底(圓臺(tái)的下底面大于上底面)，若不計(jì)焊接，則OC

10、的長為 .例19 已知RtABC中，C = 90º. 設(shè)BC = a，CA = b，AB = c，以AB邊所在直線為軸將ABC旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為S1，ABC的內(nèi)切圓面積為S2.(1) 求S1，S2；(2) 設(shè)，試將表示為x的函數(shù)f (x)，并求函數(shù)的定義域；(3) 判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最小值.例20 關(guān)于直角ABC在已知平面內(nèi)的射影，有如下判斷：可能是一條線段；可能是一個(gè)銳角三角形；可能是一個(gè)直角三角形；可能是一個(gè)鈍角三角形；可能是一個(gè)點(diǎn). 其中正確判斷的序號(hào)是 . (注：把正確判斷的序號(hào)都填上)例21 如圖，在正三棱錐A-BCD中，底面邊長為a，側(cè)棱長

11、為2a，E、F分別是側(cè)棱AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，求截面BEF的周長的最小值，及相應(yīng)的E、F的位置.ACB DEF 例22 已知圓臺(tái)的軸截面的兩條對(duì)角線互相垂直，上下兩底面半徑之比為3：4，圓臺(tái)的側(cè)面積為，求圓臺(tái)的母線長. 三、綜合問題(接與切，割與補(bǔ)，簡單組合體等)A BD CE F例23 如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF與面ABCD的距離為2，求這個(gè)多面體的體積.A BD CB1D1C1例24 如圖，多面體ABCDB1C1D1是底面為ABCD的正四棱柱的一部份，若面AB1C1D1與底面ABCD成30º，若BB1=DD1，且AB=1，求這個(gè)多

12、面體的體積.例25 一圓柱被一平面所截，截口是一個(gè)橢圓，如果橢圓的長軸長為5，短軸長為4，被截得的幾何體的的最短母線長為1，求此幾何體的體積.例26 已知PQ是過拋物線焦點(diǎn)F的任意一條弦，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P、Q在準(zhǔn)線l上的射影，若將PQ繞準(zhǔn)線l旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積為S1，以MN為直徑的一球面面積為S2，試比較S1和S2的大小.例27 過橢圓的左焦點(diǎn)作一條長為的弦AB，將此橢圓繞其左準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)，求弦AB掃過的曲面的面積. 例28 如圖，SG是正三棱錐SABC的斜高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn). (1) 指出SG與平面DEF的位置關(guān)系，并予以證明；A CBSGDEF(2) 若，求二面角F-DE-C的度數(shù). 例29 如圖，M、N、P分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1、BC、CD的中點(diǎn).A BD CA1 B1D1 C1NMP(1) 求證A1P面DMN；(2) 求DC與面DMN所成的角. B ACC1 例30 如圖，已知直角三角形ABC的斜邊AB在平面內(nèi)，點(diǎn)C在平面上的射影為C1，若AC = 3，BC = 4，CC1 = 2. (1) 求BC與平面所成的角；(2) 求二面角A-BC-C1的大??；(3) 求三棱錐C1-ABC的體積. 例31 如圖，已知正方體ABCD-A1B1