《廣義結(jié)構(gòu)力學(xué)及其工程應(yīng)用》 陳燊 - 2

1、 第2章 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化與機(jī)動(dòng)分析§2.1 緒論結(jié)構(gòu)力學(xué)研究對(duì)象經(jīng)典的結(jié)構(gòu)力學(xué)也稱狹義結(jié)構(gòu)力學(xué)，主要研究由桿件組成的體系（桿件系統(tǒng)），更多涉及平面桿系。若該體系(或其中某些構(gòu)件)能承擔(dān)荷載，并起傳力的骨架作用，則稱為結(jié)構(gòu)。所謂桿件是指可以當(dāng)作一維構(gòu)件計(jì)算的三維物體，包括梁、柱、鏈桿、曲桿、轉(zhuǎn)軸等等，桿的橫截面尺寸比長(zhǎng)度小得多。廣義結(jié)構(gòu)力學(xué)除了研究可變形的桿件體系外，還包括可變形的連續(xù)體，如平板、殼體、塊體等等。所謂“殼”是指可以當(dāng)作二維曲面彈性體計(jì)算的三維物體，殼的橫截面的厚度比曲面橫展尺寸小得多?！鞍濉笔侵盖蕿榱愕钠綒ぃ坏珜?shí)際上平板形變后都成為有曲率的殼體。而堤壩、地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)的三維

2、尺寸差異不大，應(yīng)作為空間問(wèn)題考慮，某些特殊情況可以簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題處理。結(jié)構(gòu)向復(fù)雜化系統(tǒng)發(fā)展有兩個(gè)特點(diǎn)：一是簡(jiǎn)單的梁桿構(gòu)件組成越來(lái)越復(fù)雜的桿件系統(tǒng)，未知量成千上萬(wàn)；另一方面則發(fā)展成復(fù)雜的構(gòu)件、板殼及其組合系統(tǒng)。因此現(xiàn)代廣義結(jié)構(gòu)力學(xué)所研究的對(duì)象已大大超出了狹義結(jié)構(gòu)力學(xué)的范疇。 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖由實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化抽象而成，取桿件軸線，或板殼中面，或塊體輪廓加上結(jié)構(gòu)內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)、結(jié)線聯(lián)系，或外部的支桿、支座等邊界約束，并考慮簡(jiǎn)化或分配的荷載，構(gòu)成力學(xué)計(jì)算模型。（1）聯(lián)系（約束）結(jié)點(diǎn)（內(nèi)部聯(lián)系）分鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)和組合結(jié)點(diǎn)。支座（外部約束）分固定（或活動(dòng)）鉸支座、固定端支座、滑動(dòng)支座、彈簧支座。（2）荷載類

3、型集中荷載和分布荷載（各包括力或力偶），稱“主動(dòng)力”，往往是已知的外力，連續(xù)體中的分布荷載有面力和體力之分。為了平衡主動(dòng)力，支座必然產(chǎn)生約束反力，稱“被動(dòng)力”，一般是未知的外力。當(dāng)取分離體研究時(shí)，截面內(nèi)力或內(nèi)部聯(lián)系中的內(nèi)力可能暴露成外力，視為某種約束力來(lái)求解。（3）內(nèi)力素為了承受和傳遞荷載，構(gòu)件內(nèi)部產(chǎn)生的作用力，稱“內(nèi)力” 。內(nèi)力元素一般分為四種：軸力（N）、剪力（Q）、扭矩（T）、彎矩（M）；與之相應(yīng)的變形有軸向拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲或各種組合形式。在平面桿件體系中只有軸力、剪力、彎矩，而扭矩為面外力。但作為內(nèi)力集度的應(yīng)力則只有垂直于截面的正應(yīng)力（）和截面上平行于截面的剪應(yīng)力（）兩種分量

4、。它們的定義可參考材料力學(xué)和彈性力學(xué)的規(guī)定。結(jié)構(gòu)類型一般分桿件結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、塊體結(jié)構(gòu)（圖2.1.1）。常見的桿件結(jié)構(gòu)（包括薄壁桿件結(jié)構(gòu)）有：梁（桿軸為直線或雖為曲桿但主要受彎的結(jié)構(gòu)）、拱（由曲桿組成，僅在豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平推力的結(jié)構(gòu)）、桁架（由等截面直桿理想鉸結(jié)形成、僅在結(jié)點(diǎn)處受荷載作用的結(jié)構(gòu)）、剛架（由等直桿剛結(jié)或部分剛結(jié)、部分組合結(jié)點(diǎn)連接而成的結(jié)構(gòu)）及組合結(jié)構(gòu)（部分桿件屬桁架桿、索或拱，另一部分又屬于受彎的梁式桿的結(jié)構(gòu)）。它們既可以是靜定結(jié)構(gòu)，也可以是超靜定結(jié)構(gòu)。后者內(nèi)力僅由平衡條件尚不能確定，須補(bǔ)充變形條件。圖2.1.1 結(jié)構(gòu)分類根據(jù)結(jié)構(gòu)軸線（面）和外力的空間位置，結(jié)構(gòu)可分為空間

5、結(jié)構(gòu)和平面結(jié)構(gòu)。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)都是空間結(jié)構(gòu)，但有些可簡(jiǎn)化、分解為平面結(jié)構(gòu)（或平面問(wèn)題）來(lái)處理。平面結(jié)構(gòu)各桿軸及外力均在同一平面內(nèi)，不出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)或斜彎曲狀態(tài)。§2.2 實(shí)際結(jié)構(gòu)體系的簡(jiǎn)化實(shí)際結(jié)構(gòu)是很復(fù)雜的，在對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)（如高層建筑、大跨度橋梁、大型水工結(jié)構(gòu)）進(jìn)行力學(xué)分析和計(jì)算之前必須加以簡(jiǎn)化，用一個(gè)簡(jiǎn)化圖形（結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖）來(lái)代替實(shí)際結(jié)構(gòu)，略其次要細(xì)節(jié)，顯示其基本特點(diǎn)，作為力學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)。這一過(guò)程通常稱為力學(xué)建模。結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的選擇經(jīng)歷一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，需要力學(xué)知識(shí)、結(jié)構(gòu)知識(shí)、工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和洞察力，經(jīng)過(guò)科學(xué)抽象、實(shí)驗(yàn)論證，根據(jù)實(shí)際受力、變形規(guī)律等主要因素，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理簡(jiǎn)化。它不僅與結(jié)構(gòu)的種類

6、、功能有關(guān)，而且與作用在結(jié)構(gòu)上的荷載、計(jì)算精度要求、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的剛度比、安裝順序、實(shí)際運(yùn)營(yíng)狀態(tài)及其它指標(biāo)有關(guān)。計(jì)算簡(jiǎn)圖的選擇可能因計(jì)算狀態(tài)（是考慮強(qiáng)度或剛度，計(jì)算穩(wěn)定或振動(dòng)，還是鋼筋混凝土抗裂驗(yàn)算）而異，也依賴于所要采用的計(jì)算理論和計(jì)算方法，方能完成結(jié)構(gòu)構(gòu)件線性或非線性的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)分析。實(shí)用上可以參考同類工程實(shí)例。對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)體系主要進(jìn)行如下的簡(jiǎn)化6。 結(jié)構(gòu)整體的簡(jiǎn)化除了具有明顯空間特征的結(jié)構(gòu)外，在多數(shù)情況下，把實(shí)際的空間結(jié)構(gòu)（忽略次要的空間約束）分解為平面結(jié)構(gòu)。對(duì)于沿長(zhǎng)度方向結(jié)構(gòu)的橫截面保持不變的柱形結(jié)構(gòu)，如隧洞、水管、廠房結(jié)構(gòu)（圖2.2.1），可作兩相鄰橫截面截取平面結(jié)構(gòu)（切片）計(jì)算。對(duì)于

7、多跨多層的空間剛架，根據(jù)縱橫向剛度和荷載（風(fēng)載、地震力、重力等），截取縱向或橫向的平面剛架來(lái)分析（圖2.2.2）。若空間結(jié)構(gòu)是由幾種不同類型的平面結(jié)構(gòu)組成（如框剪結(jié)構(gòu)），在一定條件下可以把各類平面結(jié)構(gòu)合成一個(gè)總的平面結(jié)構(gòu)，并算出每類平面結(jié)構(gòu)所分配的荷載，分別計(jì)算每類平面結(jié)構(gòu)（如圖2.2.3所示）。 圖2.2.1 直墻拱（隧洞） 圖2.2.2 多跨多層空間剛架圖2.2.3 框架剪力墻結(jié)構(gòu) 桿件的簡(jiǎn)化除了短桿深梁外，桿件用其軸線表示，桿件之間的連接區(qū)用結(jié)點(diǎn)表示，并由此組成桿件系統(tǒng)（桿系內(nèi)部結(jié)構(gòu)）。桿長(zhǎng)用結(jié)點(diǎn)間的距離表示，并將荷載作用點(diǎn)轉(zhuǎn)移到桿件的軸線上。對(duì)于微彎、微折或格構(gòu)式桿件常以實(shí)體直桿代替（

8、圖2.2.4）。一些變截面桿件（如斜桿剛架），可逐桿逐段取為等截面，桿軸線取平行于某側(cè)平直表面（圖2.2.5）。在計(jì)算剛架的位移時(shí)，忽略軸向變形的影響（即抗拉壓剛度無(wú)窮大）；強(qiáng)梁弱柱時(shí)，在水平荷載作用下的橫梁剛度也常假設(shè)為無(wú)窮大，如圖2.2.6所示。 桿件間連接的簡(jiǎn)化桿件間的連接區(qū)簡(jiǎn)化為桿軸線的匯交點(diǎn)（稱結(jié)點(diǎn)），桿件連接理想化為鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)和組合結(jié)點(diǎn)。各桿在鉸結(jié)點(diǎn)處互不分離，但可以相互轉(zhuǎn)動(dòng)（如木屋架的結(jié)點(diǎn)）；各桿在剛結(jié)點(diǎn)處既不能相對(duì)移動(dòng)，也不能相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此相互間的作用除了力以外還有力偶（如現(xiàn)澆鋼筋混凝土結(jié)點(diǎn)）。組合結(jié)點(diǎn)即部分桿件之間屬鉸結(jié)點(diǎn)，另部分桿件之間屬剛結(jié)點(diǎn)（有時(shí)也稱半鉸結(jié)點(diǎn)或半剛結(jié)

9、點(diǎn)，如圖2.2.7a所示）。圖2.2.4 廠房排架 圖2.2.5 斜腿剛架 圖2.2.6 剪切型剛架當(dāng)工程結(jié)構(gòu)中桿件接合部加腋，結(jié)合區(qū)尺寸較大，剛度增大的影響不可忽略時(shí)，常將各桿端進(jìn)入結(jié)合區(qū)的一段視為剛性段（稱為剛域），用有限元法分析時(shí)，將具有剛域桿件作為一個(gè)單元，首先建立單元桿端位移（桿端力）和彈性段桿端位移（桿端力）之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，然后利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，由彈性段的剛度方程推出具有剛域單元的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)荷載，如圖2.2.8所示。在確定結(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)圖時(shí)，除要考慮結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造情況外，還要考慮結(jié)構(gòu)的幾何組成情況（詳見§2.3機(jī)動(dòng)分析）。例如工程中的鋼桁架和鋼筋混凝土桁架，雖然從結(jié)點(diǎn)構(gòu)造上看接近

10、于剛結(jié)點(diǎn)，但其受力狀態(tài)卻與一般剛架不同，因?yàn)槠鋷缀螛?gòu)造是桁架，幾何不變性不依靠結(jié)點(diǎn)的剛性，因此結(jié)點(diǎn)處彎矩很小。也就是說(shuō)，軸力是主要的，彎曲內(nèi)力是次要的，把各結(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化為鉸結(jié)點(diǎn)，按理想桁架計(jì)算主要內(nèi)力是合理的。但空腹梁則不同，如果把所有剛結(jié)點(diǎn)都改為鉸結(jié)點(diǎn)，則不能維持幾何不變，其承載性能依賴于結(jié)點(diǎn)的剛性，所以結(jié)點(diǎn)必須取為剛結(jié)點(diǎn)，按剛架計(jì)算，如圖2.2.9所示。圖2.2.7 組合結(jié)點(diǎn)與組合結(jié)構(gòu) 圖2.2.8 具有剛域的結(jié)構(gòu) 圖2.2.9 結(jié)點(diǎn)構(gòu)造與幾何組成 結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)間連接的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)的連接區(qū)簡(jiǎn)化為支座，按其受力特征分為五種：活動(dòng)鉸支座（滾軸支座），固定鉸支座，定向支座（滑動(dòng)支座），固定（端）支座

11、和彈性（彈簧）支座，前四種支座在理論力學(xué)中出現(xiàn)過(guò)。彈性支座在提供反力的同時(shí)產(chǎn)生相應(yīng)的位移，反力與位移的比值保持不變，稱為彈性支座的剛度系數(shù)。彈性支座既可提供移動(dòng)約束，也可提供轉(zhuǎn)動(dòng)約束。當(dāng)支座剛度與結(jié)構(gòu)剛度相近時(shí)，宜簡(jiǎn)化為彈性支座。當(dāng)結(jié)構(gòu)某一部分承受荷載時(shí)（如研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問(wèn)題），其相鄰部分可看作是該部分的彈性支承，支座的剛度取決于相鄰部分的剛度（如將斜拉橋的斜拉索簡(jiǎn)化為彈簧支座）。當(dāng)支座剛度遠(yuǎn)大于或遠(yuǎn)小于該部分的剛度時(shí)，彈性支座則向前四種理想支座轉(zhuǎn)化，如圖2.2.10所示。圖2.2.10 彈性支座與理想支座 荷載的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)承受的荷載分為體積力（結(jié)構(gòu)的自重或慣性力）和表面力兩大類，都作用于桿件軸線

12、上，并簡(jiǎn)化為分布荷載和集中荷載。§2.3 機(jī)動(dòng)分析及計(jì)算機(jī)方法對(duì)于由結(jié)點(diǎn)連接而成的桿件體系，要判定它是能承載的結(jié)構(gòu)（幾何不變體系，常見于土木工程），還是能運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)（幾何可變體系，常用于機(jī)械工程），必須通過(guò)幾何構(gòu)造分析（也稱機(jī)動(dòng)分析），了解結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律，才能正確選取結(jié)構(gòu)及其計(jì)算簡(jiǎn)圖，進(jìn)一步分析結(jié)構(gòu)的受力和變形。 機(jī)動(dòng)法在分析桿系結(jié)構(gòu)組成時(shí)，主要關(guān)注其幾何形狀和位置的穩(wěn)定，忽略桿件正常承載時(shí)的微小變形，因而把所有桿件視為剛體（平面體系稱為剛片）。根據(jù)三邊定長(zhǎng)的三角形形狀惟一的幾何特性，建立三個(gè)簡(jiǎn)單的判定規(guī)則（實(shí)質(zhì)上歸結(jié)為一個(gè)三剛片規(guī)則，或稱三角形規(guī)則）。1. 三剛片規(guī)則 三個(gè)剛片用三

13、個(gè)不共線單鉸兩兩相連可組成靜定結(jié)構(gòu)（幾何不變體系，且無(wú)多余約束，如三鉸結(jié)構(gòu)）。2. 兩剛片規(guī)則 兩個(gè)剛片用一個(gè)單鉸和一個(gè)不通過(guò)鉸的鏈桿相連可構(gòu)成靜定結(jié)構(gòu)（當(dāng)剛片為一直桿時(shí)，稱作梁式結(jié)構(gòu)）?；蛘哒f(shuō)，兩剛片用三根既不平行也不交于一點(diǎn)的鏈桿相連構(gòu)成靜定結(jié)構(gòu)（即無(wú)多余約束的幾何不變體系）。3. 二元體規(guī)則 在任意一個(gè)體系上增加或減少二元體（在體系上用兩根不共線的鏈桿連接一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造稱為二元體）都不會(huì)改變?cè)畜w系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。若在一個(gè)結(jié)構(gòu)（幾何不變體系或剛片）上，增加二元體可以組成主從結(jié)構(gòu)（如多跨靜定梁），原結(jié)構(gòu)部分稱基本部分，后增加部分稱附屬部分。附屬部分的幾何不變性依賴于基本部分，因此附屬部分

14、向基本部分傳力是主從結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。機(jī)動(dòng)分析的技巧：a) 靈活選取剛片，并逐步擴(kuò)大剛片。b) 拆除二元體或取內(nèi)部體系，簡(jiǎn)化分析對(duì)象。c) 利用約束的等效代換以及剛片與鏈桿的互換。d) 利用虛實(shí)鉸、無(wú)窮遠(yuǎn)鉸之間的轉(zhuǎn)換。桿系幾何可變性分析，實(shí)質(zhì)上是剛體體系的運(yùn)動(dòng)可能性分析，因此可以聯(lián)系理論力學(xué)中運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體平面運(yùn)動(dòng)速度瞬心知識(shí)，以運(yùn)動(dòng)的思路分析存在虛鉸（也稱瞬鉸）的體系幾何可變性。無(wú)窮遠(yuǎn)處虛鉸的概念與應(yīng)用較難理解與掌握，下面總結(jié)出三個(gè)較為方便的判定規(guī)則7。1. 一鉸在無(wú)窮遠(yuǎn)，且組成無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的兩平行鏈桿與另二鉸連線不平行，體系為幾何不變；若平行，則瞬變；若平行且等長(zhǎng)，則為常變（如圖2.3.1a）。2.

15、兩鉸在無(wú)窮遠(yuǎn)，且組成二無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的兩對(duì)平行鏈桿互不平行，體系為幾何不變；若相互平行，則為瞬變；若四桿平行且等長(zhǎng)，則為常變（如圖2.3.1b）。 3. 三鉸均無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，體系瞬變；若三對(duì)同側(cè)平行鏈桿各自等長(zhǎng)，則為常變（如圖2.3.1c）。圖2.3.1 三剛片虛鉸無(wú)窮遠(yuǎn)分析零載法對(duì)于復(fù)雜體系，當(dāng)用簡(jiǎn)單組成規(guī)則難以奏效時(shí)，可采用其它方法，如零載法8。零載法是以靜定結(jié)構(gòu)的靜力解答惟一性為根據(jù)建立的靜力分析方法，只用于計(jì)算自由度W=0的體系，可以從零載下是否有非零的內(nèi)力存在來(lái)判定它是否幾何不變。零載法不能進(jìn)一步區(qū)分體系是幾何常變還是瞬變（一般也無(wú)需區(qū)分），而統(tǒng)稱幾何可變體系（這種桿件體系不應(yīng)選作結(jié)構(gòu)）。對(duì)

16、于存在非二力桿（如復(fù)鏈桿）的體系，由于要考慮剪力與彎矩作用，可能使零載法變得難以操作。分析示例1：試用零載法對(duì)圖2.3.2所示體系進(jìn)行幾何構(gòu)造分析。 圖2.3.2 示例1圖 圖2.3.3 示例2圖解：（1）計(jì)算自由度： W=2jbr2×12204 （注：該公式適用于鏈桿體系，其中：j表示結(jié)點(diǎn)數(shù)；b表示鏈桿數(shù)；r表示支桿數(shù)。）（2）用零載法分析：在零荷載作用下，取整體考慮，由X=0，得HA=0。利用體系對(duì)稱性，有SDE=SDF 。由D結(jié)點(diǎn)（K形結(jié)點(diǎn)）分析可得SDE=SDF,故SDE=SDF=0，由T形結(jié)點(diǎn)和L形結(jié)點(diǎn)判定零桿，SGE=SGH=SGC=0和SGI=SIH=0，于是SEC=S

17、AE=SAG=SHD=0，即左半部桿力和反力都為零。由對(duì)稱可知，整個(gè)體系內(nèi)力、反力等于零被唯一確定，故體系為幾何不變，且無(wú)多余聯(lián)系。分析示例2：試用零載法對(duì)圖2.3.3a所示體系進(jìn)行幾何構(gòu)造分析。解：（1）計(jì)算自由度： W=3m2hr3×172×2270 （注：該公式中，m表示剛片數(shù)；h表示單鉸數(shù)，復(fù)鉸需折算成單鉸；r表示支座鏈桿數(shù)，即支桿數(shù)。）(2) 用零載法分析：設(shè)在零荷載下，鏈桿GF內(nèi)力有非零解（設(shè)為壓力），依次取結(jié)點(diǎn)G、H、K、D分析，可知各鏈桿HG、KH、DK均為壓桿（且水平分力都相等），各豎桿也為壓桿（因?yàn)榭拷澳_的鏈桿比靠近拱頂?shù)逆湕U傾角更大），左半跨也有同樣

18、的分析結(jié)果。截?cái)嘭Q桿，隔離CB段和AC段（圖2.3.3b、c），分別對(duì)B點(diǎn)和A點(diǎn)取矩，欲使MB=0和MA=0同時(shí)成立，豎桿不能全為壓桿，與假設(shè)產(chǎn)生矛盾。即體系在零荷載下的內(nèi)力與反力不存在非零解，只有唯一的零解答，因此體系為幾何不變體系，且無(wú)多余聯(lián)系。 計(jì)算機(jī)分析法1. 計(jì)算機(jī)零載法分析（1）體系幾何可變性判據(jù)對(duì)于任一平面體系，剛度方程為 P=KU，若荷載向量P=0，則 KU=0， 其中，K為體系的總剛度矩陣，U為對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移列陣。體系內(nèi)力有唯一零解的條件是總剛度矩陣K的行列式的值不為零，即 。若滿足該式，則體系是幾何不變的，否則就是幾何可變，包括常變和瞬變，還需要進(jìn)一步判別。（2）幾何常變與

19、瞬變的判據(jù)幾何常變體系是存在實(shí)際自由度（也存在計(jì)算自由度）的體系。若僅改變其結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置，是不能改變其幾何可變性的。而瞬變體系是具備構(gòu)成幾何不變條件的（計(jì)算自由度為零），只是其結(jié)點(diǎn)幾何位置的特殊性使其成為幾何可變。因此只要在改變其結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位置后，觀察D值是否由零變成非零，即可判別瞬變與常變。（3）計(jì)算機(jī)編程如同矩陣位移法的處理步驟，利用結(jié)構(gòu)靜力分析程序，集成總剛度矩陣。在輸入基本數(shù)據(jù)時(shí)，保留各結(jié)點(diǎn)的原始坐標(biāo)值備用，若D0，則體系幾何不變；若D=0，則對(duì)每一結(jié)點(diǎn)循環(huán)，依次改變各結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，重新集成總剛并計(jì)算D值，若變?yōu)榉橇?，則體系瞬變；若仍為零，則體系為常變。由于結(jié)點(diǎn)的復(fù)雜性，必須提供兩端剛結(jié)（

20、或鉸結(jié)），一端剛結(jié)（鉸接）和另一端鉸結(jié)（剛結(jié)）等四種單元?jiǎng)偠染仃?。?jì)算D值時(shí)，可用全主元消去法，將總剛化為上三角陣，則其行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積。因此總剛主對(duì)角線元素為零（不正定）或消元過(guò)程中發(fā)現(xiàn)主元有零者，體系即為幾何常變。 2. 計(jì)算機(jī)有限（單）元法分析9 （1）單元分析有限單元法作平面體系幾何構(gòu)造分析時(shí)，同樣不考慮桿件的變形，將各桿視為剛體單元，每端結(jié)點(diǎn)定義三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量（u,v,）。由于單元為剛體，六個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量中只有三個(gè)是獨(dú)立的。利用結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為單元的六個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量提供了三個(gè)約束，表達(dá)為單元幾何約束方程。結(jié)點(diǎn)位移分量的幾何約束方程只與單元的長(zhǎng)度及方位角有關(guān)（即只與單元兩結(jié)

21、點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)），從而構(gòu)造出單元幾何約束矩陣。與一般有限元法中的單元?jiǎng)偠染仃嚥煌?，單元幾何約束矩陣不一定是方陣。單元坐標(biāo)變換矩陣T，同一般有限元法。 （2.3.1）（2）整體分析集成整體幾何約束方程為 GD=0 （2.3.2）其中，G稱為整體幾何約束矩陣，D為整體結(jié)點(diǎn)位移列陣。與有限元法中的剛度集成法不同，集成G時(shí)無(wú)須對(duì)系數(shù)進(jìn)行累加，只須矩陣列對(duì)應(yīng)即可。當(dāng)給定約束時(shí)，則引入支承條件，刪去G中的相應(yīng)列和D中的相應(yīng)行即可。（3）幾何可變性分析通過(guò)對(duì)給定約束條件處理之后的方程階數(shù)及秩的大小分析，即可確定體系的幾何不變性和靜定性。在M行N列的G矩陣中，N是結(jié)點(diǎn)位移的數(shù)目，M是幾何約束方程的個(gè)數(shù)，而r

22、則是獨(dú)立的幾何約束方程的個(gè)數(shù)，rmin(M,N),具有唯一平凡解D=0的充要條件是r=N.此時(shí)，體系的自由度為零，是幾何不變體系。若M=r，則所有M個(gè)約束都是獨(dú)立的、必要的約束；若Mr，則表明在M個(gè)約束中只有r個(gè)約束是彼此獨(dú)立的，因此有M-r個(gè)多余約束。若MN（即行多于列），則由于rN而有Mr，此體系必有多余約束。若rN，則獨(dú)立的約束數(shù)目少于結(jié)點(diǎn)位移的數(shù)目，體系幾何可變。令m=N-r，m為體系的自由度數(shù)。此時(shí)存在m個(gè)線性無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)解，構(gòu)成一個(gè)基礎(chǔ)解系，其線性組合構(gòu)成無(wú)窮多組解。得到m個(gè)線性無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)解，亦即得到體系的m個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)。令體系按m個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)發(fā)生微小變形，在此新的位置上重新計(jì)算G,若微

23、小運(yùn)動(dòng)后體系自由度m,=0，則原體系為瞬變體系；若m,=m，則體系常變；若0m,m，則體系部分瞬變、部分常變。 （4）示例分析 如圖2.3.4所示的二元體，假設(shè)兩單元長(zhǎng)均為L(zhǎng)，點(diǎn)1和點(diǎn)3與地基鉸接，G矩陣和D矩陣如下： （2.3.3）消去（2.3.3）式中與u1,v1,u3和v3對(duì)應(yīng)的G矩陣的列及D列陣中的行，并利用1=2，3=2，簡(jiǎn)化整體幾何約束方程為 （2.3.4）由（D0），可得sin(2-1)= 0，即2=1±k ( k=0,1,2,)時(shí)，幾何可變。當(dāng)21±k時(shí)，（D=0），體系幾何不變。進(jìn)一步分析幾何可變性，設(shè)1=0，考慮情況I: k=0,2=1=0時(shí)，由式（2.

24、3.4）解出u2=0，1=v2/L，3= - v2/L，可見結(jié)點(diǎn)2可作豎直運(yùn)動(dòng)（如圖2.3.5a所示），但微小運(yùn)動(dòng)后21，即二次分析可知體系為幾何不變，因此情況I對(duì)應(yīng)瞬變體系。對(duì)于情況：k=1，2=1+=，由式（2.3.4）解出u2=0，1=2=v2/L=,發(fā)生微小變形后，1=，2=+，仍有2=1+，因此情況對(duì)應(yīng)常變體系(如圖2.3.5b所示)。 圖2.3.4 有限元幾何分析簡(jiǎn)例 圖2.3.5 二元體幾何可變性當(dāng)桿系較為復(fù)雜時(shí)宜編制程序，由計(jì)算機(jī)分析。圖2.3.6a、b所示兩個(gè)體系均為無(wú)多余約束的幾何不變體系，但用機(jī)動(dòng)法或零載法卻很難得到該結(jié)果。 圖2.3.6 計(jì)算機(jī)分析法應(yīng)用 網(wǎng)架幾何不變性分析 網(wǎng)架要能承載同樣必須是幾何不變體系，但許多型式的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)本身內(nèi)部是幾何可變體系，只有加上適當(dāng)?shù)闹ё蛭菝姘寮s束后才成為一個(gè)幾何不變體系。因此有必要對(duì)網(wǎng)架進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。1. 網(wǎng)架幾何不變的必