蘇北四市2017一模數(shù)學(xué)試卷

1、蘇北四市2016-2017學(xué)年度高三年級第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1、 已知集合 A -2,0二 B 一-2,3則 AUB 二.2、已知復(fù)數(shù)z滿足(1 -i )z = 2i，其中i為虛數(shù)單位，則z的模為.3、 某次比賽甲得分的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分， 去掉一個最低分，則剩下4個分數(shù)的方差為.3""J41 42 4 652 8 |J4、根據(jù)如圖所示的偽代碼，則輸出S的值為:S 0H 1'WhileI < 5I -I 11S IEnd WhliePri ntS5、從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)中一次隨機地

2、取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的和能被3整除的概率為.2 26、若拋物線y2 =8x的焦點恰好是雙曲線 令-三 1(a0)的右焦點，則實數(shù) a的值為a 37、 已知圓錐的底面直徑與高都是2，則該圓錐的側(cè)面積為兀118、 若函數(shù)f(x)=sinC 二x-g)C' 0)的最小正周期為，貝V f ()的值為9、已知等比數(shù)列CaJ的前n項和為Sn，若=232 3,S2as 3，則公比q的值為10、已知函數(shù)f(x)是定義R在上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0時，f(x)=2x-3，則不等式f(x) < -5的解集為.1 3111、 若實數(shù)x, y滿足xy 3x =3(0 ： x )，貝U的最小值為 _2 x

3、y -3片彳 片N專 *4 412、已知非零向量 a,b滿足a = b = a+b，貝U a與2ab夾角的余弦值為13、 已知 A,B 是圓 G：x2 y2 =1 上的動點，AB 二.3 , P 是圓 C2 ：(3)2 (y-4)2 h上的動點，貝U PA + PB1的取值范圍為 .sin x,x < 1 一一14、已知函數(shù)f (x)3' 2,若函數(shù)f (x)的圖象與直線y = x有三lx3 9x2 +25x + a, x> 1個不同的公共點，則實數(shù) a的取值集合為 .二、解答題(本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明 或演算步驟)15、在=ABC 中，角

4、 代 B,C 的對邊分別為 a,b, c .已知 2cosA(bcosC ccos B) =a .(1) 求角A的值；卄3(2) 右 cosB，求 sin(B-C)的值.5116、如圖，在四棱錐 E -ABCD中，平面EAB _平面ABCD，四邊形ABCD為矩形,EA_ EB，點M ,N分別是AE,CD的中點.求證：(1)直線MN /平面EBC ; (2)直線EA _平面EBC .B3#17、如圖，已知 A,B兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸 MN的A處和湖中小島的 B處，點C在A的3 下正西方向1km處，tan. BAN , BCN現(xiàn)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通 A, B兩鎮(zhèn)，有4 4兩種鋪設(shè)方案：沿線段 AB

5、在水下鋪設(shè)；在湖岸 MN上選一點P，先沿線段 AP在地 下鋪設(shè)，再沿線段 PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元/ km、 4萬元/ km (1) 求A,B兩鎮(zhèn)間的距離；(2) 應(yīng)該如何鋪設(shè)，使總鋪設(shè)費用最低?2 2x y18、如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓2 =1(a b 0)的離心率為a b2，且右焦點F到左準線的距離為 6.2 .2(1)求橢圓C的標準方程;#(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點，P為橢圓C上位于x軸上方的點，直線 PA交y軸于點過點F作MF的垂線，交y軸于點N .1.FMN的外接圓的方程;(i)當(dāng)直線的 PA斜率為丄時，求2(ii)設(shè)直線 AN交橢圓C

6、于另一點Q,#2x19、已知函數(shù) f(x)ax, g(x)=ln x-ax,a R .2e(1) 解關(guān)于x(xR)的不等式f (x) < 0 ;(2) 證明:f (x) > g(x)；(3) 是否存在常數(shù)a, b，使得f (x) > ax b > g(x)對任意的x .0恒成立？若存在，求出a,b的值；若不存在，請說明理由.520、已知正項數(shù)列:an /的前n項和為Sn，且ai =a,(an 1)(ani T) = 6(Sn n) ,nN”.(1) 求數(shù)列an ?的通項公式；(2) 若對于-nN”，都有Sn < n(3n 1)成立，求實數(shù)a取值范圍；(3) 當(dāng)a

7、= 2時，將數(shù)列 也1中的部分項按原來的順序構(gòu)成數(shù)列曲，且D二a?，證明:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列：bn /.2#徐州市2017屆高三期末調(diào)研測試15.數(shù)學(xué)試題參考答案與評分標準填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.20,32.,23.144. 205.1'36. 17 .弘8. -210. (-：,-311.5/7812.1413.7,1314. -20,-16解答題：本大題共6小題，共計90分.i.9.(1)由正弦定理可知，2cosA(si nBcosC si nCcosB)二 si nA , 2 分即 2cosAsi nA=si nA，因為 A：=(0, n，

8、所以 si nA = 0 ,1所以 2cosA，即 cosAr ,又A (0, n，所以A二n. 6分3(2)因為 cosB =3 , B (0, n，所以 sin B 二.1 cos2 B =- , 8分55所以 sin2B=2sin BcosB 二卻,cos2B =12sin2B7 , 10 分2525所以 sin(B -C)二sinB -(匕一B)二sin(2B -糾16.2 n2 n= sin 2Bcos cos2 B sin 3324 173( )25 22527 ： 3 -24-50(1)取BE中點F，連結(jié)CF , MF ,1又M是AE的中點，所以MF = -AB ,2又N是矩形A

9、BCD邊CD的中點，12分14分所以 NC i 1AB，所以 MF I NC , 所以四邊形MNCF是平行四邊形，4分 所以 MN /CF ,又MN二平面EBC , CF 平面EBC ,所以MN /平面EBC 7分(2)在矩形 ABCD 中，BC_AB ,又平面EAB_平面ABCD，平面ABCD 平面EAB二AB, BC 平面ABCD ,所以BC _平面EAB , 10分又EA 平面EAB，所以BC _ EA,又 EA_EB , BCflEBB , EB , BC 平面 EBC ,所以EA_平面EBC 14分17. (1)過B作MN的垂線，垂足為 D BD 3在 Rt ABD 中，tan /B

10、AD =tan EBAN 二AD 4所以 AD =-BD ,3bd在 Rt BCD 中，tan. BCD =tan. BCN1 ,CD所以 CD =：BD .41貝U AC =AD -CDBD -BDBD =1，即 BD =3 ,3 3所以 CD =3 , AD =4 , 由勾股定理得， AB=y；AD2 BD2=5(km).所以A, B兩鎮(zhèn)間的距離為5 km . 4分(2)方案：沿線段 AB在水下鋪設(shè)時，總鋪設(shè)費用為5 4 =20(萬元). 6分方案：設(shè) NBPD =日，則日但0,-)，其中日0 =NBAN , 2在 Rt BDP 中，DP 二-BD tan& tan 日3 所以 A

11、P =4 - DP =4.tan日則總鋪設(shè)費用為 2AP4BP=8ta n&BD 3 BP 二sin& sin 日122-cos ：8 6si n0si n02-cos sin2)-(2-cos"cos1 -2cos設(shè)f，則f'二v)sin usin2 二sin2'272#令W)。得七，列表如下:日(時) f'但)-2#29極小值2#18.(1)(2)(1)所以f a)的最小值為f()= 3 所以方案的總鋪設(shè)費用最小為而 8 6 .”3 :：: 20 ,所以應(yīng)選擇方案進行鋪設(shè)，點 用最低.c 2由題意，得 a22c -6 2,、 c8 6 3

12、(萬元)，此時AP =4-.甘3 .12分P選在A的正西方向(4-.寸3) km處，總鋪設(shè)費 14分解得a"則2.2 ,c =2J2,2 2所以橢圓C的標準方程為 y 1 .16 8由題可設(shè)直線 PA的方程為y二k(x4) , k .0,則M(0,4k),FN 的方程為 y=Sl(x22)，則 N(0,-2).4kk11_PA 的斜率為，即 k 時，M(0,2) , N(0,V) , F(2.2,0),22_FN，所以圓心為(0, -1)，半徑為3 ,所以直線(i)當(dāng)直線因為MF所以 FMN的外接圓的方程為 x2 (y 1)9 . y =k(x 4),(ii)聯(lián)立 x2 y 消去 y

13、并整理得，(1 2k2)x2 16k2x 32k10,2 24 - 8k4 - 8k 8kX1 =-4 或 X22，所以 P(1 2k21AN的方程為y(x 4)，同理可得，2kP , Q關(guān)于原點對稱，即 PQ過原點.1所以 APQ 的面積 SOA (yP - yQ) =2 -21 +2k解得直線所以2 ， 2 丿，1 2k2 1 2k28k2 -48k 、Q (2，2 )，1 2k21 2k210分16k2二 < 82 ,2k -k14分172當(dāng)且僅當(dāng)2k ，即k 2時，取“=”.k2所以 APQ的面積的最大值為 8 2 2xf (x)，所以f(x) <0的解集為0；2e,、,x

14、 、f(x)=x(a),2e則f (x) < 0的解集為則f (x) < 0的解集為當(dāng)a=0時,若a 0 ,若 a ： 0，0,2ea;2ea,0.16分19.11綜上所述，當(dāng)a =0時, f(x) < 0的解集為0;#當(dāng)a 0時，f (x) < 0的解集為0,2ea;當(dāng) a ：0 時，f (x) < 0 的解集為2ea,0.2x -eexx2x(2)設(shè) h(x) =f(x) -g(x)Inx,則 h'(x):2ee令h'(x) =0，得x，列表如下:x(0,肩G/ec)h'(x)0+h(x)極小值/所以函數(shù)h(x)的最小值為h(、.e)=

15、0,2x所以 h(x)In x > 0，即 f (x) > g(x)2e#(3)假設(shè)存在常數(shù)a , b使得f (x) > ax b > g(x)對任意的x 0恒成立， x2即一 > 2ax b > In x對任意的x - 0恒成立.2ex-.e 時，In-，所以丄 > 2a. e b > -,2e 2222a e b =丄，則 b = - 2a e ,2 2x2x2- 12ax -b2ax 2a. e> 0(*)恒成立，2e2e2a < 0時，2a . 5 - - 0 ,所以(*)式在(0,；)上不恒成立；2a 0時，貝V 4a2 -

16、一(2a、.e -一)< 0 ,即(2a -e211a =產(chǎn)，貝U b = 一2拓2而當(dāng)所以所以當(dāng)當(dāng)所以12分13令(x) =1 n x - 1 x 1 ,則(x) = ex，令：'(x) =0，得 x = e , ve2vex當(dāng) 0 ：x ： .e 時，'(x)0 ,：(x)在(0, e)上單調(diào)增；當(dāng)x ,e時，'(x) <0 ,(x)在C.e,；)上單調(diào)減.所以申(x)的最大值 叫掐)=0 所以ln x-x+丄< 0恒成立.Je 21 1所以存在一2(，*2符合題意20. (1)當(dāng) n= 1 時， + 1) + 1)= 6(3 + 1)，故 a2

17、= 5 ；當(dāng) n > 2 時，(樂1 + 1)(気+1)= 6(盼+ n- 1),所以(an + 1)(an+1+1)- (an-1+1)(an + 1)= 6(Sn+ n)- 6(Sn-1 + n- 1),即(an+ 1)(an+1 - %-!)= 6(an + 1),又 an > 0，所以 an+1 - a” i = 6,所以 a2k-1= a+ 6(k- 1)= 6k+ a- 6 , a2k = 5+6(k- 1)= 6k- 1, k? N* , 多3n+ a- 3, n 為奇數(shù)，n? N *,故 an = j'* 5 分?3n- 1,n為偶數(shù)，n ? N .1(2)

18、當(dāng) n 為奇數(shù)時， &=(3 n+a- 2)(3 n+3)- n ,62由 Sn < n(3n + 1)得,恒成立,f(n )=23n + 9n+ 4> 0，(n+ 2)( n+ 1)3n + 3n + 2n + 1令 f(n)= 3n2+3n+2，則 f(n +1)-n+ 1所以 a < f (1)= 4 . 8分1當(dāng) n 為偶數(shù)時，Sn = ?3n(3n a+1)- n ,6由 Sn < n(3n+1)得，a < 3(n+1)恒成立，所以a< 9.又a1 = a> 0 ,所以實數(shù)a的取值范圍是(0,4 . 10分(3)當(dāng)a= 2時，若n為奇數(shù)，則an = 3n - 1，所以an = 3n- 1 . 解法1:令等比數(shù)列bn的公比q = 4m(m? N*)，則bn =也“ 1 = 5? 4m(n-1.4k - 1設(shè) k=