北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.6應(yīng)用一元二次方程教 案

1、第二章 一元二次方程2. 6 應(yīng)用一元二次方程 教材分析本節(jié)課的主題是發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，這也是方程教學(xué)的重要任務(wù).但學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和能力的發(fā)展不是自發(fā)的，需要通過(guò)大量的應(yīng)用實(shí)例，在實(shí)際問(wèn)題的解決中讓學(xué)生感受到其廣泛應(yīng)用，并在具體應(yīng)用中增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力.因此，本節(jié)教學(xué)中需要選用大量的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)列方程解決問(wèn)題，并且在問(wèn)題解決過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題意識(shí)和能力的提高以及方程觀(guān)的初步形成.顯然，這個(gè)任務(wù)并非某個(gè)教學(xué)活動(dòng)所能達(dá)成的，而應(yīng)在教學(xué)活動(dòng)中創(chuàng)設(shè)大量的問(wèn)題解決的情境，在具體情境中發(fā)展學(xué)生的有關(guān)能力. 教學(xué)目標(biāo)1. 通過(guò)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程解決問(wèn)題，認(rèn)識(shí)方程模型的重要性，并

2、總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程.2. 經(jīng)歷分析和建模的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型；能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力；3. 在問(wèn)題解決中，經(jīng)歷一定的合作交流活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力. 教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)難點(diǎn)】 分析和建模的過(guò)程. 課前準(zhǔn)備課件. 教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)回顧（一）回憶：用配方法解一元二次方程的步驟:1. 化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1（方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)）;2. 移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊

3、;3. 配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方;4. 變形:方程左邊配方,右邊合并同類(lèi)項(xiàng);5. 開(kāi)方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開(kāi)平方;6. 求解:解一元一次方程;7. 定解:寫(xiě)出原方程的解.（二）一般地,對(duì)于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） 上面這個(gè)式子稱(chēng)為一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法稱(chēng)為公式法.二、合作交流，探究新知（一）認(rèn)識(shí)黃金分割如圖,點(diǎn)C把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC,如果那么稱(chēng)線(xiàn)段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比稱(chēng)為黃金比.其實(shí),黃金分割就是三條能構(gòu)成比例線(xiàn)段的特殊線(xiàn)段AB,AC和BC.其中線(xiàn)段AC是線(xiàn)段A

4、B和線(xiàn)段BC的比例中項(xiàng),也可寫(xiě)成AC2=AB·BC.如何求得黃金分割？三、運(yùn)用新知例1 ：如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭.小島F位于BC中點(diǎn).一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線(xiàn)航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦.已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1海里）該部分是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，在教學(xué)中要給學(xué)生充分的時(shí)間去審清題意，分析各量之間的關(guān)系，不能粗線(xiàn)條解決.在講解過(guò)

5、程中可逐步分解難點(diǎn)：審清題意；找準(zhǔn)各條有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系；建立方程模型，之后求解.解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是審清題意，因此教學(xué)中老師要給學(xué)生充分的時(shí)間去審清題意，讓學(xué)生自己反復(fù)審題，弄清各量之間的關(guān)系，分析題目中的已知條件和要求解的問(wèn)題，并在這個(gè)前提下抓住圖形中各條線(xiàn)段所表示的量，弄清它們之間的關(guān)系.在學(xué)生分析題意遇到困難時(shí)，教學(xué)中可設(shè)置問(wèn)題串分解難點(diǎn)：（1）要求DE的長(zhǎng)，需要如何設(shè)未知數(shù)？ （2）怎樣建立含DE未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？（3）利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？（4）選定后，三條邊長(zhǎng)都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？學(xué)生在問(wèn)題串的引導(dǎo)下，逐層分析

6、，在分組討論后找出題目中的等量關(guān)系即：速度等量：V軍艦=2×V補(bǔ)給船時(shí)間等量：t軍艦=t補(bǔ)給船三邊數(shù)量關(guān)系：弄清圖形中線(xiàn)段長(zhǎng)表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示補(bǔ)給船的路程，ABBE表示軍艦的路程.學(xué)生在此基礎(chǔ)上選準(zhǔn)未知數(shù)，用未知數(shù)表示出線(xiàn)段：DE、EF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程求解，并判斷解的合理性.解:（1）連接DF,則DFBC. （2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里,則DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里.在RtDEF中，根據(jù)勾股定理可得方程例2：九章算術(shù)“勾股”章中有一題:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙

7、東行,甲南行十步而斜東北與乙會(huì).問(wèn)甲乙各行幾何？”大意是說(shuō):已知甲,乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),甲的速度是7,乙的速度是3；乙一直向東走,甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時(shí),甲,乙各走了多遠(yuǎn)？”解:設(shè)甲,乙相遇時(shí)所用時(shí)間為x,根據(jù)題意,得（7x-10）2=（3x）2 +102.整理得:2x2-7x=0.解這個(gè)方程 ,得x1=3.5, x2=0（不合題意,舍去）.3x=3×3.5=10.5, 7x=7×3.5=24.5.答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.例3：綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì),準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g,開(kāi)辟面積為900平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地,并

8、且長(zhǎng)比寬多10米,那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少?例4：學(xué)生會(huì)準(zhǔn)備舉辦攝影展覽, 在每張長(zhǎng)和寬分別為18厘米和12厘米的長(zhǎng)方形相片周?chē)偵弦蝗Φ葘挼牟始?經(jīng)試驗(yàn), 彩紙面積為相片面積的時(shí)較美觀(guān),求鑲上彩紙條的寬.（精確到0.1厘米）答:彩紙條的寬約為2.1cm.【活動(dòng)目的】：一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題的類(lèi)型較多，像數(shù)字問(wèn)題、面積問(wèn)題、平均增長(zhǎng)（或降低）率問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合問(wèn)題等；本節(jié)課以教材上的引例作為出發(fā)點(diǎn)，作為素材來(lái)呈現(xiàn)，可以將應(yīng)用類(lèi)型作適當(dāng)?shù)耐卣?，在練?xí)中將教材中的應(yīng)用問(wèn)題歸類(lèi)呈現(xiàn)出來(lái)，便于學(xué)生理解和掌握.本課由數(shù)形結(jié)合問(wèn)題拓展到面積問(wèn)題，后面可以在練習(xí)中增加數(shù)字問(wèn)題，在第二課時(shí)在利潤(rùn)問(wèn)題上

9、也可增加平均增長(zhǎng)率問(wèn)題等，為學(xué)生呈現(xiàn)更多的應(yīng)用類(lèi)型，讓學(xué)生在不同的情境中體會(huì)建模的重要性.由于本節(jié)“一元二次方程的應(yīng)用”與九年級(jí)下冊(cè)中的“二次函數(shù)”的應(yīng)用聯(lián)系密切，所以學(xué)好本節(jié)課可以為后續(xù)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).【活動(dòng)實(shí)際效果】：應(yīng)用問(wèn)題設(shè)置都經(jīng)過(guò)精心準(zhǔn)備.通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)立，將比較復(fù)雜、難以理解的題目分成多個(gè)小的題目去理解，使學(xué)生在不知不覺(jué)中克服困難，體會(huì)到列方程解應(yīng)用題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：整體系統(tǒng)的審清題意；尋找等量關(guān)系；正確求解并檢驗(yàn)解的合理性.采取的是一講一練，從鞏固練習(xí)的準(zhǔn)確程度上來(lái)看，學(xué)生掌握得比較好，能夠達(dá)到預(yù)期的效果.四、鞏固新知1. 有這樣一道阿拉伯古算題:有兩筆錢(qián),一多一少,其和等于

10、20,積等96,多的一筆被許諾賞給賽義德,那么賽義德得到多少錢(qián)？ 2. 如圖,在RtABC中,C=90°,點(diǎn)P,Q同時(shí)由A,B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AC,BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)（到點(diǎn)C為止）,它們的速度都是1m/s.幾秒后PCQ的面積是RtACB面積的一半？解：設(shè)x秒后，PCQ的面積是Rt ABC面積的一半.根據(jù)題意，得 答：2秒后，PCQ的面積是RtABC面積的一半.3. 某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)春節(jié)期間購(gòu)進(jìn)大量賀年片,一種賀年片平均每天能售出500張,每張盈利0.3元.為了盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查表明:當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)每降價(jià)0.1元時(shí),其銷(xiāo)售量就將多售出100張.商場(chǎng)要想平均每天盈利達(dá)到120元,每張賀年片應(yīng)降價(jià)多少元？解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià) x 元，根據(jù)題意，得， 4. 學(xué)校圖書(shū)館去年年底有圖書(shū)5萬(wàn)冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬(wàn)冊(cè).求這兩年的年平均增長(zhǎng)率. （不合題意，舍去）.答：這兩年的年平均增長(zhǎng)率約為22.47%.五、歸納小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：1本節(jié)課重點(diǎn)學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？2通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該怎么做？列方程解應(yīng)用題的一般步驟是:1