181923　232　雙曲線的幾何性質(zhì)

1、2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解雙曲線的幾何性質(zhì)(重點(diǎn))2.會求雙曲線的漸近線、離心率、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等(重點(diǎn))3.會用雙曲線的幾何性質(zhì)處理簡單的問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸：x軸，y軸，對稱中心：原點(diǎn)O頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)離心率e漸近線y±xy±x2.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的離心率e.3離心率對雙曲線開口大小的影響以雙曲線1(a>0，b>0)為例e，故當(dāng)

2、的值越大，漸近線yx的斜率越大，雙曲線的開口越大，e也越大，所以e反映了雙曲線開口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越大基礎(chǔ)自測1判斷正誤：(1)等軸雙曲線的離心率是.()(2)方程1(a0，b0)的漸近線方程為y±x.()(3)離心率越大，雙曲線1的漸近線斜率絕對值越大()【解析】(1).因?yàn)閍b，所以ca，所以e.(2)×.由1，得y±x，所以漸近線方程為y±x.(3).由(e1)，所以e越大，漸近線y±x斜率的絕對值越大【答案】(1)(2)×(3)2雙曲線x21的漸近線方程為_，離心率e_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902117】【

3、解析】a1，b，漸近線方程為y±x，離心率e2.【答案】y±x2合 作 探 究·攻 重 難由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求幾何性質(zhì)求雙曲線nx2my2mn(m0，n0)的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程思路探究【自主解答】把方程nx2my2mn(m0，n0)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程1(m0，n0)，由此可知，實(shí)半軸長a，虛半軸長b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)(，0)，(，0)，離心率e.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)漸近線的方程為y±x±x.規(guī)律方法1由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟：(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦

4、點(diǎn)位置，確定a、b的值(3)由c2a2b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)2(1)由雙曲線方程求其幾何性質(zhì)時(shí)，要與橢圓區(qū)分開，不能混淆，如對橢圓a2b2c2，而對雙曲線則是c2a2b2；對橢圓e，對雙曲線則是e.(2)求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只需將雙曲線方程中的常數(shù)項(xiàng)化為零即可得到跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線x23y2120的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程. 【導(dǎo)學(xué)號：95902118】【解】將方程x23y2120化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，a2，b2，c4，因此頂點(diǎn)A1(0，2)，A2(0,2)，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，4)，F(xiàn)2(0,4)，實(shí)軸長2a4，虛軸長2b4，離心率e2，漸近線方程

5、為y±x.由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于；(2)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y±x；(3)與雙曲線x22y22有公共的漸近線，且過點(diǎn)M(2，2)思路探究【自主解答】(1)依題意，b，2a1，c2，雙曲線的方程為x21或y21.(2)設(shè)以y±x為漸近線的雙曲線方程為(0)當(dāng)>0時(shí)，a24，2a26；當(dāng)<0時(shí)，a29，2a261.所求的方程為1和1.(3)設(shè)與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k，將點(diǎn)(2，2)代入得k(2)22，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法1根據(jù)雙曲線的某些幾

6、何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式2利用漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，設(shè)有公共漸近線的雙曲線系方程(0)，這樣可避免分類討論，從而減少運(yùn)算量，提高解題速度與準(zhǔn)確性跟蹤訓(xùn)練2已知雙曲線1(a>0，b>0)和橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902119】【解析】由題意知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0)，離心率是.故在雙曲線中c，e，故a2，b2c2a23，故所求雙曲線的方程是1.【答案】1雙曲線的離心率探究問題1雙曲線離心率的定義式是什么？你能從其定義式得到其離

7、心率的范圍嗎？【提示】e，因?yàn)閏2a2b2，所以ca0，所以e1.2利用a，b，c的關(guān)系c2a2b2，雙曲線的離心率還有其它表達(dá)方式嗎？【提示】e或e.3根據(jù)探究2可知，求雙曲線的離心率并不一定要求出a，b，c的具體數(shù)值，只要知道a，b，c三個(gè)參數(shù)中任意兩個(gè)的比值就可以求出離心率，如果c2ac2a20，那么雙曲線的離心率是什么？【提示】由c2ac2a20可得20，即e2e20，所以(e1)(e2)0，因?yàn)閑1，所以e2.4如何求雙曲線的離心率的取值范圍？【提示】解關(guān)于離心率e的不等式，或者利用基本不等式、雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍求出或的取值范圍可求離心率的取值范圍(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1

8、(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(PF1PF2)2b23ab，則該雙曲線的離心率為_(2)已知雙曲線1(a0，b0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線離心率的取值范圍是_思路探究(1)(PF1PF2)2b23ab4a2b23ab離心率(2)利用雙曲線的定義及基本不等式尋找a，c之間的不等關(guān)系，可求出雙曲線離心率的取值范圍【自主解答】(1)由雙曲線的定義知，(PF1PF2)24a2，又(PF1PF2)2b23ab，所以4a2b23ab，等號兩邊同除a2，化簡得3·40，解得4，或1(舍去)故離心率e.(2)因?yàn)镻為雙曲線

9、右支上的任意一點(diǎn)，所以PF12aPF2，所以PF24a24a8a，當(dāng)且僅當(dāng)PF22a，PF14a，可得2a4a2c解得e3，又因?yàn)殡p曲線離心率大于1，故答案為(1,3【答案】(1)(2)(1,3規(guī)律方法求雙曲線離心率的兩種方法(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e求解.(2)方程法：若無法求出a，b，c的具體值，但根據(jù)條件可確定a，b，c之間的關(guān)系，可通過b2c2a2，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程，借助于e，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的n次方程求解.跟蹤訓(xùn)練3雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為_【解析】依題意·1，ab.則e22，

10、e.【答案】構(gòu)建·體系 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是_【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，a24，2a4.【答案】42已知雙曲線1(m0)的離心率為，則m_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902120】【解析】這里a2m23，b24m，c2m24m3，2，解得m1或m3.【答案】1或33已知中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過點(diǎn)P(1,3)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】由離心率為，e212，即ab，雙曲線為等軸雙曲線，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2(0)，又點(diǎn)P(1,3)在雙曲線上，則198，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1. 【答案】14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(m0)的離心率為，則該雙曲線的兩條漸近線方程是_【解析】a22，b2m，c22m，又e，e2，即，得m1，故漸近線方程為y±x±x.【答案】