直線與圓錐曲線 的位置關(guān)系

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、基礎知識 1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可通過討論圓錐曲線方程與直線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定。通常消去方程組中變量y（或x）得到關(guān)于變量x（或y）的一元方程(1)、若所得一元方程的二次項系數(shù)不為0，則考慮關(guān)于變量x（或y）一元二次方程的判別式 直線與圓錐曲線相切交于一點0直線與圓錐曲線相交于兩點 00直線與圓錐曲線相離(2)、若所得一元方程的二次項系數(shù)為0，則得到關(guān)于x（或 y）的一元一次方程，此時，直線與圓錐曲線相交于一點。（注意：一般圓錐曲線是雙曲線和拋物線時,會出現(xiàn)這種情況，雖只有一個公共點，但不是相切而是相交。）若圓錐曲線是雙曲線，這時直線平行于

2、雙曲線的一條漸近線。若圓錐曲線是拋物線，這時直線平行于拋物線的對稱軸。焦點弦的長也可以直接利用焦半徑公式處理，可以使運算簡化2122124)()1 (xxxxkd2122124)(11yyyykd 2、求圓錐曲線的弦長時，可利用弦長公 式,再結(jié)合韋達定理解決。 3、涉及弦中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用平方差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法。 例1、試確定直線與雙曲線 的公共點的個數(shù))(1(Rkxky422 yx分析：如圖二、典型例題yxoF1F2)(1(Rkxky422 yxyxo)(1(Rkxky422 yxyoxF1F2)(1(Rkxky422 yxyxoF1F

3、2)(1(Rkxky422 yxyxoF1F2)(1(Rkxky422 yx 4) 1(22yxxky解： 代入，得0) 4(2)1 (4) 1(2222222kxkxkxkx25, 052xx方程變?yōu)檫@就是說，當時1k直線恰與雙曲線) 1( xy422yx的漸進線平行xy直線與雙曲線右支的一個交點的橫標為25x（1）當 即 時， 012 k1kyxoF1F2)(1(Rkxky422 yx1 xy1 xy（2）當即時，012k1k方程是二次方程0) 4(2)1 (2222kxkxk)34(4)4)(1 ( 42224kkkk 當即10342kk)332, 1 ()1 , 1()1,332( k

4、時0方程組有兩組不等的實根，這時直線與雙曲線 有兩個不同的交點)(1(Rkxky422yx)332, 1 ()1 , 1()1,332( k時yxoF1F2 當時，11k直線與雙曲的兩支各有一個交點。當或時，1332k3321kyoxF1F2直線與雙曲線的右支有兩個交點當即時，0342k332kyxoF1F2方程組有相個等的實根，這時直線與雙曲線只有一個公共點，為直線與雙曲線相切。當即 時,方程組無實數(shù)解，這時直線與雙曲線沒有公共點0342k),332()332,(kyxoF1F2練習:1、已知直線時，問直線與雙曲線公共點的個數(shù))7 , 0),2(kxky422 yxyxoF1F21 kxy1

5、422yx2k2、若直線與雙曲線只有一個公共點，求的值842或k ),23(pp) 0(22ppxy3、已知直線L過點A且與拋物線只有一個公共點，求直線L的方程yoxApy 2pxypxy2331 評述：1、在判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系 時，首先判斷直線過的定點位置。2、雙曲線的漸進線的斜率和切線的 斜率是決定交點個數(shù)的邊界值， 非常重要非常重要。 3、一定要結(jié)合圖形。例2、已知橢圓，求橢圓以點A（2，1）為中點的弦所在的直線方程。15822yx分析：如圖yxoAF2F1NM 解:設所求直線為 方法（一）)2(1xky4085) 12(22yxkkxy 代入，得 05) 12(8) 12(16

6、)58(222kxkkxk0因為點A在橢圓內(nèi)，所以設兩交點坐標分別為),(),(2211yxyx45458) 12(16221kkkkxx所求直線為01445yx方法（二）設直線與橢圓的兩個交點為MN),(),(2,211yxyx則 2440854085212122222121yyxxyxyx 由 得將、代入上式得kxxyyyyyyxxxx45)()(0)( 8)( 5212121212121所求直線為01445yx 方法（三）設點P是橢圓上一點，它關(guān)于點A（2,1）的對稱點Q),(yx408522 yx)2,4(yx將P、Q代入橢圓方程 40)2(8)4(540852222yxyx 得0)2

7、( 8)4( 52222yyxx利用平方差公式化簡得即為所求01445yx方法（四）設所求的直線參數(shù)方程為為參數(shù)）ttytx(sin1cos2450sin4cos540sin35sin4cos54012012sin4cos54sin35040sin18cos25221212222tgkttttAtttt）（）（）（即）為弦中點，（點）（）（整理得）（）（將其代入橢圓方程評述：1、由于判斷出點A在橢圓內(nèi)，所以可以不計算判別式。2、本題的四種方法都緊緊抓住中點這個條件。3、方法二是解決弦中點問題常用的方法。平方差公式的使用可得圓錐曲線上兩點連成弦的斜率及弦中點坐標，特別是解決弦中點軌跡問題，特別方

8、便。 例3、直線和曲線相交于A、B兩點（1）當為何值時，以AB為直徑的圓通過原點。（2）是否存在這樣的實數(shù)，使得兩交點A、B關(guān)于直線對稱，如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，說明理由。01 axy1322 yxaxy2aaABCyxoF1F2 時即）（）（時即）當（）（得代入解：6603823030223130112222222aaaaaaxxayxaxy222222222212212216312324)32(1|362323232aaaaaaaABaaaayyaxxaaxx22222631|21333aaaABaaa半徑為），所以圓心坐標為（ 2222222222222222)631(33(

9、)3)631(33()3aaaaaaaaaayaax）所以（因為圓過原點，）（所以圓方程為（舍）或化簡得31aa ayyaaxxyxyxyxByxA22122122222121221136321313),(),(2則、設0)321212221yyxx（）（得 axxyyyyaxxaayyyyxxxx2121212212212121210)36)3230)3化簡（代如上式、將（利用平方差公式得21,2122121xxyykABxyBA即所在的直線斜率兩點對稱，所以兩點關(guān)于直線、因為 22222222121212121xxyyxyyyxxCBAxyBAa即上，）在直線，（兩點的中點、對稱，所以兩點關(guān)于直線、因為所以得到23323322aaaa由此得所以對稱關(guān)于直線兩點、使所以不存在實數(shù)xyBAa2 評述：1、在解決存性問題時