理論物理整理習(xí)題答案

1、習(xí)題21.解：2220( ) ( )xxx dxAx edx利用分部積分234A13/22A（1）（2）粒子的幾率密度2322( )( ) ( )( )4xP xxxxx e（3）對幾率密度求一階導(dǎo)數(shù)( )0dP xdx2(1)0 xxx e得方程解得方程的根0;1/xxx 將三個根代入幾率密度，得2(0)0;lim( )0; (1/ )4xPP xPe1/x可見，處幾率最大2.解：（1）222xdxAedx 2axedxa利用2A1A（2）xx dx222xAxedx0（3）221()2Uxdx22222xx edx 22220 xx edx 221210(21)!2naxnnnx edxa

2、利用雙階乘m!表示： 當(dāng)m是自然數(shù)時，表示不超過m且與m有相同奇偶性的所有正整數(shù)的乘積。如：3!=1*3=3,6!=2*4*6=48（另0!=1） 當(dāng)m是負(fù)奇數(shù)時，表示絕對值小于它的絕對值的所有負(fù)奇數(shù)的絕對值積的倒數(shù)。如：（-7）!=1/(|-5| * |-3| * |-1|)=1/15 當(dāng)m是負(fù)偶數(shù)時，m!不存在. 22 314 （）2242利用144.證明：定態(tài)薛定諤方程為22222( )1() ( )( )22dxxq xxExdx上式可以改寫為2222222222242( )1(2) ( )( )( )222dxqqqxxxxExdx 222222222( )1()( )() ( )2

3、22dxqqxxExdx即22122,2qqxxEE作代換則方程可化為標(biāo)準(zhǔn)的一維諧振子方程222111121()1()()22dxxxExdx2211211()()xnnnxN eHx其解為能量為1()2nEn 從而可得2222221()222nnqqEEn1.1.試用證明判斷下列算符中哪些是厄米算符？試用證明判斷下列算符中哪些是厄米算符？2222,ddddiidxdxdxdx證明：證明： （1）設(shè)1和2為任意波函數(shù)+12-dddx+21-=ddydzdxdx+1122-=ddydzdxdx +12-=()dddx不是厄米算符習(xí)題3（3）設(shè)1和2為任意波函數(shù)2+122-dddx2+212-=d

4、dydzdxdx+2211-=ddddydzdxdxdxdx+21-=()dddydzdxdxdx+12-=dddydzdxdxdx+2+11222-=dddydzdxddx+2+11222-=dddydzdxddx2+122-=ddydzdxdx2+122-=()ddxdx是厄米算符2.解一維諧振子的能量算符為22222122dHxdx 能量的本征方程為( )( )HxEx222221 ( )22dxxdx2422221(5) ( )( )22xxxx 2利用5( )2x則此態(tài)下能量的本征值為523.解（1）動能的平均值222122Tp 22222111()(sin)sinsinrrrr 0

5、022/22300001()sin 2r ar aeerdrdda TT d 0022/2232000011()sin 2r ar addererdrddar drdr 02222 /320000002sin() 2r arrddedraaa 0222 /32000022 2() 2r arredraaa 0222 /40002(2 ) r arr edraa 220402()4aa 利用分部積分2202 a（2）2004eUU da 同理4.（1）證明：設(shè) 、 為系統(tǒng)任意的波函數(shù)AB因為 和 是厄米算符所以()A dAd ()B dBd () ()ABdA Bd () ()ABd()AB d

6、 ()BAd ABBA ()ABd AB是厄米算符（2）ABBA（）/2是厄米算符（3）xxp 不是厄米算符補(bǔ)：補(bǔ)：AB設(shè) 和 是不可對易的厄米算符，則23ABABBAABBA（1）；（ ）；（ ）是厄米算符嗎？不是是不是()ABBAdAB dBA d BAdABd （）（）() BAABd （2）證明5.解 按定義222222();()xxxxxxppp000 xxd x 2222200 xxxdxx edx32212 223000 xxxppdxixedx222200002xxppdxdxx 222222422()xxxpx eedx 22222422xxx edxedx 24232 22

7、2222222221()()224xxxpxp 習(xí)題41.證明：zLi 2222211(sin)sinsinL 3本征值212本征值2.解在球外，波函數(shù)為0在球內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程為222222112rLErrrr因粒子角動量為零，即20L則方程可化為22212ddrEr drdr222()2drErdr可改寫為( )f rr令代入上式，得222( )( )2d f rEf rdr222 Ek令上式可化為222( )( )0d f rk f rdr方程的通解為( )sin()cos()f rAkrBkrsin(0)cos(0)0AB在球心，要求波函數(shù)有限，則(0)0f即0B在r=a處，波函數(shù)連續(xù)，即( )0a( )( )0( )0f aaf aa即sin()0Aka ,1,2,nkna22222nEa從而可得能量波函數(shù)( )( )sin()f rAnrrrra由歸一化條件得12Aasin()1( )2nrarra3.解02210102( )aPrRr dr002 /23204r aar edra002 /203204()()2r aaar d ea 413e4.解2s態(tài)徑向幾率分布0322222020001( )22rarPrRrr eaa 利用兩次分部積分20( )0dPrdr令120304050,2,(35),(35),rra rara