概率論第7章7-2

1、第二節(jié)第二節(jié) 基于截尾樣本的最大基于截尾樣本的最大似然估計似然估計一、基本概念一、基本概念二、二、基于截尾樣本的最大似然估計基于截尾樣本的最大似然估計三、小結(jié)三、小結(jié)一、基本概念一、基本概念1. 壽命分布的定義壽命分布的定義產(chǎn)品壽命產(chǎn)品壽命T 是一個隨機變量是一個隨機變量,它的分布稱為它的分布稱為壽命分布壽命分布.2. 完全樣本的定義完全樣本的定義.) 0 ( , . , 0 21叫完全樣本叫完全樣本所組成的樣本所組成的樣本的失效時間的失效時間即由所有產(chǎn)品即由所有產(chǎn)品這樣得到的樣本這樣得到的樣本品的失效時間品的失效時間記錄每一個產(chǎn)記錄每一個產(chǎn)都失效都失效投入試驗直到每個產(chǎn)品投入試驗直到每個產(chǎn)品

2、同時同時時時個產(chǎn)品在時間個產(chǎn)品在時間將隨機抽取的將隨機抽取的nttttn (一種典型的壽命試驗一種典型的壽命試驗)如果不能得到完全樣本如果不能得到完全樣本, 就考慮截尾壽命試驗就考慮截尾壽命試驗.3. 兩種常見的截尾壽命試驗兩種常見的截尾壽命試驗(1) 定時截尾壽命試驗定時截尾壽命試驗. , , , , ,0 , , , 0 210210稱為定時截尾樣本稱為定時截尾樣本所得的樣本所得的樣本是一個隨機變量是一個隨機變量此時此時它們的失效時間分別為它們的失效時間分別為個產(chǎn)品失效個產(chǎn)品失效如試驗截止時共有如試驗截止時共有停止停止間間截尾時截尾時試驗進行到事先規(guī)定的試驗進行到事先規(guī)定的同時投入試驗同時

3、投入試驗時時個產(chǎn)品在時間個產(chǎn)品在時間假設(shè)將隨機抽取的假設(shè)將隨機抽取的mmtttmttttmttn (2) 定數(shù)截尾壽命試驗定數(shù)截尾壽命試驗. , , , , ,0 , ) , ( , 0 2121為定數(shù)截尾樣本為定數(shù)截尾樣本稱稱所得的樣本所得的樣本個產(chǎn)品的失效時間個產(chǎn)品的失效時間是第是第這里這里時間分別為時間分別為個產(chǎn)品的失效個產(chǎn)品的失效產(chǎn)品失效時停止產(chǎn)品失效時停止定的定的是事先規(guī)是事先規(guī)個個試驗進行到有試驗進行到有同時投入試驗同時投入試驗時時個產(chǎn)品在時間個產(chǎn)品在時間假設(shè)將隨機抽取的假設(shè)將隨機抽取的mmmtttmttttmnmmmtn 二、基于截尾樣本的最大似然估計二、基于截尾樣本的最大似然估

4、計1. 定數(shù)截尾樣本的最大似然估計定數(shù)截尾樣本的最大似然估計設(shè)產(chǎn)品的壽命分布是指數(shù)分布設(shè)產(chǎn)品的壽命分布是指數(shù)分布,其概率密度是其概率密度是 , 0, 0, 0,e1)(tttft .0未知未知 設(shè)有設(shè)有n個產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗個產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗, 截尾數(shù)為截尾數(shù)為m,得定數(shù)截尾樣本得定數(shù)截尾樣本 ,0 21mttt ).( 產(chǎn)品的平均壽命產(chǎn)品的平均壽命參數(shù)參數(shù)利用這一樣本估計未知利用這一樣本估計未知 , , 0 個產(chǎn)品失效個產(chǎn)品失效有有在時間區(qū)間在時間區(qū)間mtm . mtmn個產(chǎn)品的壽命超過個產(chǎn)品的壽命超過有有 , 估計估計利用最大似然估計法來利用最大似然估計法來為了確定似然函數(shù)為了確定似

5、然函數(shù), 觀察上述結(jié)果出現(xiàn)的概率觀察上述結(jié)果出現(xiàn)的概率., 2, 1,de1d)( d,(mitttftttitiiiiii 失效的概率近似地為失效的概率近似地為產(chǎn)品在產(chǎn)品在 的概率為的概率為個產(chǎn)品壽命超過個產(chǎn)品壽命超過其余其余mtmn mnttmt de1 ,)e (mntm 上述觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率近似地為上述觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率近似地為 mntmtttmmtttmn )e (de1de1de12121 ,ddde121)(121mtmntttmtttmnmm . d , ,d ,d 21為常數(shù)為常數(shù)其中其中mttt取似然函數(shù)為取似然函數(shù)為.e1)()(121mmtmntttmL 對數(shù)似然函數(shù)

6、為對數(shù)似然函數(shù)為,)(1ln)(ln21mmtmntttmL , 0)(lndd L令令, 0)(1 212 mmtmntttm 則則 的最大似然估計值為的最大似然估計值為得到得到 .)(mtsm . , )()(21試驗時間的總和試驗時間的總和個產(chǎn)品的個產(chǎn)品的為止為止它表示直到時刻它表示直到時刻試驗時間試驗時間稱為總稱為總其中其中nttmnttttsmmmm 2. 定時截尾樣本的最大似然估計定時截尾樣本的最大似然估計設(shè)定時截尾樣本設(shè)定時截尾樣本 ,0 021ttttm ) (0是截尾時間是截尾時間其中其中t與上面討論類似與上面討論類似,得似然函數(shù)為得似然函數(shù)為.e1)()(1021tmntt

7、tmmL 的最大似然估計值為的最大似然估計值為 ,)(0mts . , )()(00210試驗時間的總和試驗時間的總和個產(chǎn)品的個產(chǎn)品的為止為止它表示直到時刻它表示直到時刻試驗時間試驗時間稱為總稱為總其中其中nttmnttttsm 例例 設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 , 0, 0, 0,e1)(tttft .0未知未知 隨機地取隨機地取50只電池投入壽命試驗只電池投入壽命試驗, 規(guī)定試驗進規(guī)定試驗進行到其中有行到其中有15只失效時結(jié)束試驗只失效時結(jié)束試驗, 測得失效時測得失效時間間(小時小時)為為115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172. . 的最大似然估計值的最大似然估計值試求電池的平均壽命試求電池的平均壽命 解解,15,50 mn172)1550(172170119115)(15 ts,8270 的最大似然估計值為的最大似然估計值為 158270 ).( 33.551小時小時 三、小結(jié)三、小結(jié)兩種常見