運(yùn)算方法和運(yùn)算器(20211109190839)

1、第二章 運(yùn)算方法與運(yùn)算器2.1.1 數(shù)值數(shù)據(jù)在機(jī)內(nèi)的表示 在選擇計(jì)算機(jī)的數(shù)值數(shù)的表示方式時(shí)，需要考慮以下幾個(gè)因素： (1)要表示的數(shù)的類型 (小 數(shù)、整數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù) )；(2)可能遇到的數(shù)值范圍； (3)數(shù)值精確度； (4)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和處理所需要 的硬件代價(jià)。2.1.1.1 定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù) 計(jì)算機(jī)處理的數(shù)值數(shù)據(jù)多數(shù)帶有小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)在計(jì)算機(jī)中通常有兩種表示方法，一種是 約定所有數(shù)值數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)隱含在某一個(gè)固定位置上，稱為定點(diǎn)表示法，簡(jiǎn)稱定點(diǎn)數(shù)；另一 種是小數(shù)點(diǎn)位置可以浮動(dòng)，稱為浮點(diǎn)表示法，簡(jiǎn)稱浮點(diǎn)數(shù)。1. 定點(diǎn)數(shù)表示法 (fixed-point) 所謂定點(diǎn)格式，即約定機(jī)器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)位置是

2、固定不變的。在計(jì)算機(jī)中通常采 用兩種簡(jiǎn)單的約定：將小數(shù)點(diǎn)的位置固定在數(shù)據(jù)的最高位之前，或者是固定在最低位之后。 一般常稱前者為定點(diǎn)小數(shù)，后者為定點(diǎn)整數(shù)。定點(diǎn)小數(shù)是純小數(shù)，約定的小數(shù)點(diǎn)位置在符號(hào)位之后、有效數(shù)值局部最高位之前。2. 浮點(diǎn)數(shù)表示法 (floating-point number) 與科學(xué)計(jì)數(shù)法相似。2.1.1.2 數(shù)的機(jī)器碼表示1. 原碼表示法 原碼表示法是一種比擬直觀的表示方法，其符號(hào)位表示該數(shù)的符號(hào)，正用“0表示，負(fù)用“1表示；而數(shù)值局部仍保存著其真值的特征。2. 補(bǔ)碼表示法 由于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算受一定字長(zhǎng)的限制，屬于有模運(yùn)算，所以，在計(jì)算機(jī)中可以使用補(bǔ)碼 進(jìn)行計(jì)算。在定點(diǎn)小數(shù)機(jī)器中

3、數(shù)最大不超過 1，也就是負(fù)的小數(shù)對(duì)“ 1的補(bǔ)碼是等價(jià)的。但 實(shí)際上，負(fù)數(shù)的符號(hào)位還有一個(gè)“ 1，要把它看成數(shù)的一局部，所以要對(duì) 2 求補(bǔ)碼，也就是 以 2 為模數(shù)。3. 反碼表示方法反碼表示法中，符號(hào)的表示法與原碼相同。正數(shù)的反碼與正數(shù)的原碼形式相同；負(fù)數(shù)的 反碼符號(hào)位為 1，數(shù)值局部通過將負(fù)數(shù)原碼的數(shù)值局部各位取反(0變 1，1變 0)得到。4. 移碼表示法 移碼通常用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。2.1.2 非數(shù)值數(shù)據(jù)在機(jī)內(nèi)的表示 計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的概念是廣義的，機(jī)內(nèi)除了有數(shù)值的信息之外，還有數(shù)字、字母、通用符 號(hào)、控制符號(hào)等字符信息有邏輯信息、圖形、圖像、語音等信息，這些信息進(jìn)入計(jì)算機(jī)都轉(zhuǎn) 變成 0、

4、1 表示的編碼，所以稱為非數(shù)值數(shù)據(jù)。2.1.2.1 字符的表示方法 字符主要指數(shù)字、字母、通用符號(hào)、控制符號(hào)等，在機(jī)內(nèi)它們都被變換成計(jì)算機(jī)能夠識(shí) 別的十進(jìn)制編碼形式。這些字符編碼方式有很多種，國(guó)際上廣泛采用的是美國(guó)國(guó)家信息交換 標(biāo)準(zhǔn)代碼 (AmericanStandard Code for Information Interchange，) 簡(jiǎn)稱 ASCII 碼。2.1.2.2 漢字的表示方法1. 漢字的輸入碼 目前，計(jì)算機(jī)一般是使用西文標(biāo)準(zhǔn)鍵盤輸入的，為了能直接使用西文標(biāo)準(zhǔn)鍵盤輸入漢字， 必須給漢字設(shè)計(jì)相應(yīng)的輸入編碼方法。其編碼方案有很多種，主要的分為三類：數(shù)字編碼、 拼音碼和字形編碼。2.

5、 漢字的內(nèi)碼3. 漢字字形碼2.2.1 補(bǔ)碼加法運(yùn)算 補(bǔ)碼加法的公式是： x 補(bǔ) + y 補(bǔ) = x + y 補(bǔ) ( mod 2 ) 含義是：兩個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼之和等于兩個(gè)數(shù)之和的補(bǔ)碼。2.2.2 補(bǔ)碼減法運(yùn)算x-y補(bǔ)=x補(bǔ)-y補(bǔ)=x補(bǔ) +-y補(bǔ)(mod 2 )2.2.3 溢出概念及檢測(cè)方法在計(jì)算機(jī)中，假設(shè)采用定點(diǎn)小數(shù)，數(shù)的表示范圍為|x|v 1,如果出現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果超出數(shù)的表示 范圍的現(xiàn)象，就稱為溢出。在采用定點(diǎn)整數(shù)的情況下，由于機(jī)器字長(zhǎng)一定，所以能表示的數(shù) 據(jù)范圍也是有限的,仍存在溢出問題。產(chǎn)生溢出會(huì)喪失有效數(shù)字,結(jié)果將是錯(cuò)誤的,因此, 必須解決溢出的判斷問題,當(dāng)計(jì)算過程中出現(xiàn)溢出時(shí),能及時(shí)處理。兩

6、個(gè)正數(shù)相加,結(jié)果大于機(jī)器所能表示的最大正數(shù),稱為正溢。而兩個(gè)負(fù)數(shù)相加,結(jié)果 小于機(jī)器所能表示的最小負(fù)數(shù),稱為負(fù)溢。為了判斷“溢出是否發(fā)生,可采用兩種檢測(cè)方法。1 變形補(bǔ)碼操作檢測(cè)方法2單符號(hào)位操作檢測(cè)方法2.2.4 根本的二進(jìn)制加法 /減法器重點(diǎn)介紹一位全加器 (FA)。2.3.1 原碼一位乘法。 在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中,兩個(gè)原碼表示的數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)那么是：乘積的符號(hào)位由兩數(shù)的符號(hào)按 異或運(yùn)算得到,而乘積的數(shù)值局部那么是兩個(gè)正數(shù)相乘之積。設(shè) n 位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù) 表示(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用 )被乘數(shù) x 原 = xf .x0 x1 x2 , xn乘數(shù) y 原 = yf .y0 y1 y2 , y

7、n那么乘積 z 原 二(xf yf ) . (0. x0 x1 x2 , xn)(0 . y1 y2 , yn)式中，xf為被乘數(shù)符號(hào)，yf為乘數(shù)符號(hào)。 乘積符號(hào)的運(yùn)算法那么是：同號(hào)相乘為正,異號(hào)相乘為負(fù)。由于被乘數(shù)和乘數(shù)和符號(hào)組合 只有四種情況 (xf yf = 00, 01, 10, 11),因此積的符號(hào)可按“異或 (按位加)運(yùn)算得到。數(shù)值局部的運(yùn)算方法與普通的十進(jìn)制小數(shù)乘法相類似,不過對(duì)于用二進(jìn)制表達(dá)的數(shù)來說, 其乘法規(guī)那么更為簡(jiǎn)單一些：從乘法 y 的最低位開始,假設(shè)這一位為“ 1,那么將被乘數(shù) x 寫下； 假設(shè)這一位為“ 0那么寫下全0。然后再對(duì)乘數(shù)y的高一位進(jìn)行的乘法運(yùn)算，其規(guī)那么同

8、上，不過這一位乘數(shù)的權(quán)與最低位乘數(shù)的權(quán)不一樣，因此被乘數(shù) x 要左移一位。依次類推，直到乘數(shù) 各位乘完為止，最后將它們統(tǒng)統(tǒng)加起來，便得到最后乘積 z 。2.3.2 補(bǔ)碼一位乘法 原碼乘法的主要問題是符號(hào)位不能參加運(yùn)算，單獨(dú)用一個(gè)異或門產(chǎn)生乘積的符號(hào)位。故 自然提出能否讓符號(hào)數(shù)字化后也參加乘法運(yùn)算，補(bǔ)碼乘法就可以實(shí)現(xiàn)符號(hào)位直接參加運(yùn)算。2.4.1 原碼一位除法 兩個(gè)原碼表示的數(shù)相除時(shí)，商的符號(hào)由兩數(shù)的符號(hào)按位相加求得，商的數(shù)值局部由兩數(shù) 的數(shù)值局部相除求得。設(shè)有n位定點(diǎn)小數(shù)定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用:被除數(shù) x ，其原碼為 x 原 = xf . x1 x2 , xn除數(shù)y,其原碼為y原二yf . y1

9、y2 , yn設(shè)商為 q 二 x/y，其原碼為 q原二xf yf . x1 x2 , xn / y1 y2 , yn 商的符號(hào)運(yùn)算qf二xfyf與原碼乘法一樣，用模 2求和得到。商的數(shù)值局部的運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是兩正數(shù)求商的運(yùn)算。根據(jù)我們所熟知的十進(jìn) 制除法運(yùn)算方法，很容易得到二進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算方法，所不同的只是在二進(jìn)制中，商的每 一位不是“ 1就是“ 0，其運(yùn)算法那么更簡(jiǎn)單一些。1 恢復(fù)余數(shù)法事實(shí)上，機(jī)器的運(yùn)算過程和人畢竟不同，人會(huì)心算，一看就知道夠不夠減。但機(jī)器卻不 會(huì)心算，必須先做減法，假設(shè)余數(shù)為正，才知道夠減；假設(shè)余數(shù)為負(fù)，才知道不夠減。不夠減時(shí) 必須恢復(fù)原來的余數(shù)，以便再繼續(xù)往下運(yùn)算，這種

10、方法稱為恢復(fù)余數(shù)法。要恢復(fù)原來的余數(shù)， 只要當(dāng)前的余數(shù)加上除數(shù)即可。2加減交替法對(duì)恢復(fù)余數(shù)法來說，由于要恢復(fù)余數(shù)，使除法進(jìn)行過程的步數(shù)不固定，因此控制比擬復(fù) 雜。實(shí)際上常用不恢復(fù)余數(shù)法，又稱加減交替法。其特點(diǎn)是運(yùn)算過程中如出現(xiàn)不夠減，那么不 必恢復(fù)余數(shù)，根據(jù)余數(shù)符號(hào)，可以繼續(xù)往下運(yùn)算，因此步數(shù)固定，控制簡(jiǎn)單。原碼加減交替法的規(guī)那么是：當(dāng)余數(shù)為正時(shí)，商“ 1 ，余數(shù)左移一位減除數(shù)；當(dāng)余數(shù)為負(fù) 時(shí)，商“ 0，余數(shù)左移一位，加除數(shù)。2.4.2 補(bǔ)碼一位除法補(bǔ)碼除法的被除數(shù)、除數(shù)用補(bǔ)碼表示，符號(hào)位和數(shù)值位一起參加運(yùn)算，商的符號(hào)位與數(shù) 值位由統(tǒng)一的算法求得。1補(bǔ)碼加減交替法算法在補(bǔ)碼一位除法中也必須比擬

11、被除數(shù) (余數(shù) )和除數(shù)的大小，并根據(jù)比擬的結(jié)果來上商。另 外，為了防止溢出，商的絕對(duì)值不能絕對(duì)值大于 1，即被除數(shù)的絕對(duì)值一定要小于除數(shù)的絕對(duì) 值。補(bǔ)碼加減交替除法的算法規(guī)那么如下：(1) 被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)，被除數(shù)與減去除數(shù)；被除數(shù)與除數(shù)異號(hào)，被除數(shù)加上除數(shù)。(2) 余數(shù)和除數(shù)同號(hào)，商為 1，余數(shù)左移一位，下次減除數(shù)；余數(shù)和除數(shù)異號(hào)，商為0，余數(shù)左移一位，下次加除數(shù)。(3) 重復(fù)步驟 (2)，包括符號(hào)位在內(nèi)，共做 n+1 步。2商的校正補(bǔ)碼一位除法的算法是在商的末位“恒置 1的舍入條件下推導(dǎo)的。按照這種算法所得到 的有限位商為負(fù)數(shù)時(shí)，是反碼形式。而正確需要得到的商是補(bǔ)碼形式，兩者之間至多是相

12、關(guān) 末位的一個(gè)“ 1這樣引起的最大誤差是2 - n。在對(duì)商的精度沒有特殊要求的情況下，一般 采用商的末位“恒置 1的方式進(jìn)行舍入，這樣處理的好處是操作簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)。如果要求 進(jìn)一步提高商的精度，可以不用“恒置 1的方式舍入，而按上述法那么多求一位后，再采用如 下校正方法對(duì)商進(jìn)行處理：(1) 剛好能除盡時(shí)，如果除數(shù)為正，商不必校正；如果除數(shù)為負(fù)，那么商加 2 - n。(2) 不能除盡時(shí)，如果商為正，那么不必校正；如果商為負(fù)，那么商加 2 - n。2.5.1 邏輯非邏輯非也稱求反。對(duì)某數(shù)進(jìn)行邏輯非運(yùn)算，就是按位求它的反，常用變量上方加一橫來 表示。2.5.2 邏輯加對(duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行邏輯或，就是按位求

13、它們的“或 ，所以邏輯或又稱邏輯加，常用記號(hào)“ V “或“ +來表示。2.5.3 邏輯乘對(duì)兩數(shù)進(jìn)行邏輯與，就是按位求它們的“與，所以邏輯與又稱邏輯乘，常用記號(hào)“A 或“ 來表示。2.5.4 邏輯異或?qū)蓴?shù)進(jìn)行邏輯異或就是按位求它們的模 2和，所以邏輯異或又稱按位加，常用記號(hào)“ 來表示。2.6.1 多功能算術(shù) /邏輯運(yùn)算單元 (ALU)了解 74181ALU 算術(shù)/邏輯運(yùn)算功能表，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)內(nèi)容完本錢局部的教學(xué)工作。2.6.2 內(nèi)部總線由于計(jì)算機(jī)內(nèi)部的主要工作過程是信息傳送和加工的過程，因此在機(jī)器內(nèi)部各部件之間的數(shù)據(jù)傳送非常頻繁。為了減少內(nèi)部數(shù)據(jù)傳送線并便于控制，通常將一些存放器之間數(shù)據(jù)傳 送的

14、通路加以歸并，組成總線結(jié)構(gòu)，使不同來源的信息在此傳輸線上分時(shí)傳送。因此，所謂 總線，就是一個(gè)或多個(gè)信息源傳送信息到多個(gè)目的的數(shù)據(jù)通路，它是多個(gè)部件之間傳送信息 的一級(jí)傳輸線。根據(jù)總線所處的位置，總線分為內(nèi)部總線和外部總線兩類。內(nèi)部總線是指 CPU 內(nèi)各部件 的連線，而外部總線是指系統(tǒng)總線，即 CPU與存儲(chǔ)器、I/O系統(tǒng)之間的連線。本節(jié)只討論內(nèi) 部總線。按總線的邏輯結(jié)構(gòu)來說，總線可分為單向傳送總線和雙向傳送總線。所謂單向總線，就 是信息只能向一個(gè)方向傳送。所謂雙向總線，就是信息可以向兩個(gè)方向傳送，即可以發(fā)送數(shù) 據(jù)，也可以接收數(shù)據(jù)。總線的邏輯電路往往是三態(tài)的，即輸出電平有三種狀態(tài)：邏輯“ 1、邏輯

15、“ 0和“浮空 狀態(tài)。三態(tài)緩沖器是靠在“允許 /禁止輸入端來禁止其操作的，禁止時(shí)，輸出呈現(xiàn)高阻抗?fàn)?態(tài)。在高阻抗?fàn)顟B(tài)下，可以認(rèn)為輸出與電路的其他局部被斷開。2.6.3 定點(diǎn)運(yùn)算器的根本結(jié)構(gòu)運(yùn)算器包括 ALU 、陣列乘除器、存放器、多路開關(guān)、三態(tài)緩沖器、數(shù)據(jù)總線等邏輯部件。 運(yùn)算器的設(shè)計(jì)，主要是圍繞著 ALU 和存放器同數(shù)據(jù)總線之間如何傳送操作數(shù)和運(yùn)算結(jié)果而進(jìn) 行的。在決定方案時(shí)，需要考慮數(shù)據(jù)傳送的方便性和操作速度，在微型機(jī)和單片機(jī)中還要考 慮在硅片上制作總線的工藝。計(jì)算機(jī)的運(yùn)算器大體有如下三種結(jié)構(gòu)形式：1單總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器2雙總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器3三總線結(jié)構(gòu)的運(yùn)算器2.6.4 浮點(diǎn)運(yùn)算器實(shí)例(了解)2.7.1 浮點(diǎn)加法和減法完成浮點(diǎn)加減運(yùn)算的操作過程大體分為四步：1. 0 操作數(shù)的檢查；2. 比擬階碼大小并完成對(duì)階；3.