高中數(shù)學(xué)選修2-3人教A教案導(dǎo)學(xué)案3.1.1回歸分析的基本思想與其初步應(yīng)用

1、3 1.1 回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】 1.了解回歸分析的根本思想方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.會(huì)解釋解釋變量和預(yù)報(bào)變量的關(guān)系.【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：回歸分析的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：a 、 b 公式的推到 .【教學(xué)過(guò)程】一、設(shè)置情境，引入課題引入：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)( x1, y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ),( xn , yn ). 其回歸直線方程的截距和斜率的最小二乘法估計(jì)公式分別為：n( xi x)( yi y)a ybxbi 1n(xi x)2i 11n1 nyi(x ,y )稱為樣本點(diǎn)的中心。xxiyn i 1n i1如何推到著兩個(gè)計(jì)算公式？二

2、、引導(dǎo)探究，推出公式n從已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，截距a 和斜率 b 分別是使Q(,)i 1, 的值，由于nx +( y 2Q(,) yixi ( yxi1n 2 yixi( y2 yixi( y( yxxi1n 2n yixi( y2 yixi( y( yxxi1i 1因?yàn)閚n( yixi)2 取最小值時(shí)x( yx2 xn( yx2 yixi( yx ( yx ( yx yixi ( yx i 1i1nn( yxyixin( yxx ( y n y n x n( yx 0,i1i 1所以1n 22 ， yixi( yn( yQxxi12n2nn22(xix)2( xix)( yiy)( yiy)n(

3、yxi1i 1i1nnx)( yi y)22n2i 1( xix)( yiy)2i 1( xin2n( yx(xi( yi y)x)n2n2i 1(xi x)( xi x)i 1i 1i 1在上式中，后兩項(xiàng)和,無(wú)關(guān)，而前兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，因此要使Q 取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值均為0.，既有n( xix)( yiy)i1yxnx) 2( xii 1通過(guò)上式推導(dǎo)， 可以訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力，觀察分析能力，能夠很好訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)能力，必須在教師引導(dǎo)下讓學(xué)生自己推出。n(xi x)( yi y)所以： a y bxbi 1n( xix)2i1三、例題應(yīng)用，剖析回歸根本思想與方法例1、從某大學(xué)中隨機(jī)選取8

4、名女大學(xué)生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下圖：編號(hào)12345678身高 /cm165165157170175165155170體重 /kg4857505464614359(1) 畫出以身高為自變量 x,體重為因變量 y 的散點(diǎn)圖(2) 求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程(3) 求預(yù)報(bào)一名身高為 172cm 的女大學(xué)生的體重解： 1由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重， 因此選取身高為自變量 x,體重為因變量 y 作散點(diǎn)圖b 0.849, a85.7122回歸方程 : y0.849x 85.712.(3)對(duì)于身高 172cm 的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)體重為：y0.84917285.71260.316

5、( kg)四、當(dāng)堂練習(xí)觀察兩相關(guān)變量得如下數(shù)據(jù)2x 1 2 3 4 553421y 9 7 5 3 115379求兩個(gè)變量的回歸方程.10210答：x0, y0,xi110,xi yi110,i 1i110i 1xi yi10 x y110100by bx 0 0 b 0.10210x110101,axi02i1所以所求回歸直線方程為yx五、課堂小結(jié)1. a 、 b 公式的推到過(guò)程。2 ybxa通過(guò) ( x, y)六、布置作業(yè)課本 90 頁(yè)習(xí)題 133 1.1 回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)n( yixi)2 取最小值時(shí)，求, 的值。通過(guò)截距 a 與斜率 b 分別是使

6、Q( , )i1二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 :1. 對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3, y3 ), ,( xn , yn ). 其回歸直線方程的截距和斜率的最小二乘法估計(jì)公式：a =， b =2 x =,y =3樣本點(diǎn)的中心三、提出問(wèn)題如何使Q(,) 值最小，通過(guò)觀察分析式子進(jìn)展試探推到課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解回歸分析的根本思想和方法2. 培養(yǎng)學(xué)生觀察分析計(jì)算的能力二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：回歸方程ybxa ，學(xué)習(xí)難點(diǎn)：a 、 b 公式的推到三、學(xué)習(xí)過(guò)程1使 Q( ,) 值最小時(shí)，,值的推到n( xi x)( yiy)2結(jié)論i 1yxn( xix

7、)2i 13 y bxa 中 a 和 b 的含義是什么4. (x, y) 一定通過(guò)回歸方程嗎？四、典型例題例 1研究某灌溉倒水的流速y 與水深 x 之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：水深 x m1.40 1.501.601.70 1.80 1.90 2.00 2.104流速 y(m/s)1.70 1.791.88 1.952.03 2.102.16 2.21(1) 求 y 與 x 的回歸直線方程；(2) 預(yù)測(cè)水深為 1.95m 時(shí)水的流速是 多少？分析： 1 y 與 x 的回歸直線方程為 y 0.733x0.69482當(dāng)水深為1.95m 時(shí)，可以預(yù)測(cè)水的流速約為2.12m/s五、當(dāng)堂練習(xí)1.對(duì)兩個(gè)

8、變量y 和 x 進(jìn)展回歸分析， 得到一組樣本數(shù)據(jù)：( x1 , y1),( x2 , y2 ),( x3, y3 ),( xn , yn ).那么以下說(shuō)法不正確的選項(xiàng)是A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程ybxa 必過(guò)樣本中心(x, y)B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C.用相關(guān)指數(shù) R2來(lái)刻畫回歸效果，R2 越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好D假設(shè)變量 y 與 x 之間的相關(guān)系數(shù) r0.9362，那么變量 y 與 x 之間具有線性相關(guān)關(guān)系2.某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg 與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt 之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911

9、992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0假設(shè) x 與 y 之間線性相關(guān)， 求蔬菜年平均產(chǎn)量y 與使用氮肥量x 之間的回歸直線方程，并估計(jì)15215每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量. x101, y 10.11,xi161, xi yi 16076.8 i 1i 1解：設(shè)所求的回歸直線方程為y bxa ，那么15xi yi15 xy16076.81510110.

10、11bi 10.0937, a y bx 10.11 0.0937 101 0.6463.1522216112515101xi15xi 1所以，回歸直線方程為：y 0.0937 x0.64635當(dāng) x=150kg 時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量y 0.0937 1500.6463 14.701(kg)課后練習(xí)與提高1、 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x噸與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤 )的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1) 請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y 關(guān)于 x 的線性回歸方程y bx a ；(3)該廠技改前1

11、00噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)2求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？參考數(shù)值： 32.5435464.566.5 解： 1由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如以下圖2由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：423 4562.53 44.54xi86, x4.5, y3.5, xi yi66.5i 144i1所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：4xi yi4x y66.544.53.5bi10.7, ay bx3.5 0.74.50.35.424x28644.52xii 1因此，所求的線性回歸方程為y0.7 x 0.35(4) 由 2的回歸方程及技改前生產(chǎn)10

12、0 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90(0.71000.35)19.65 噸標(biāo)準(zhǔn)煤 。63 1.2回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】 1.了解相關(guān)系數(shù)r； 2 了解隨機(jī)誤差；3 會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用殘差分析【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：相關(guān)系數(shù)和隨機(jī)誤差教學(xué)難點(diǎn)：殘差分析應(yīng)用。【教學(xué)過(guò)程】一、設(shè)置情境，引入課題上節(jié)例題中，身高172cm 女大學(xué)生，體重一定是60kg 嗎？如果不是，其原因是什么？二、引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題1 y0.849 x 85.712 對(duì)于 b0.849 是斜率的估計(jì)值，說(shuō)明身高 x 每增加 1 個(gè)單位，體重就，說(shuō)明體重與身高具有的線性相

13、關(guān)關(guān)系。2 如何描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？n( xix)( yiy)ri 1nnx) 2y) 2(xi( yii 1i 1(1)r>0 說(shuō)明兩個(gè)變量正相關(guān)； 2 r<0 說(shuō)明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；3 r 的絕對(duì)值越接近1，說(shuō)明相關(guān)性越強(qiáng)，r 的絕對(duì)值越接近0，說(shuō)明相關(guān)性越弱。4當(dāng) r 的絕對(duì)值大于0.75 認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的相關(guān)性關(guān)系。3 身高 172cm的女大學(xué)生顯然不一定體重是60.316kg, 但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg.樣本點(diǎn)與回歸直線的所有的樣本點(diǎn)不共線，而是散布在某一條直線的附近，該直線表示身高與體重的關(guān)系的線性回歸模型表示ybxae 是 y 與 ybxa

14、 的誤差， e 為隨機(jī)變量， e 稱為隨機(jī)誤差。E(e)=0， D(e)=2 >0. D(e)越小，預(yù)報(bào)真實(shí)值y 的精度越高。隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值y 與真實(shí)值 y 之間的誤差之一。 a, b 為截距和斜率的估計(jì)值，與a,b 的真實(shí)值之間存在誤差，這種誤差也引起y 與真實(shí)值y 之間的誤差之一。4 思考產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e 的原因是什么？5 探究在線性回歸模型中，e 是用 y 預(yù)報(bào)真實(shí)值y 的誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么應(yīng)該怎樣研究隨機(jī)誤差？如何衡量預(yù)報(bào)的精度？ D (e)2 來(lái)衡量隨機(jī)誤差的大小。eiyiyi eiyiyiyibxia721n21Q (a, b)(n 2)n2 i 1en

15、2 Q(a, b) 稱為殘差平方和，2越小，預(yù)報(bào)精度越高。6 思考當(dāng)樣本容量為 1 或 2 時(shí)，殘差平方和是多少？用這樣的樣本建立的線性回歸方程的預(yù)報(bào)誤差為0嗎？7 殘差分析nyi )22( yi判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)；殘差圖相關(guān)指數(shù)R1i 1ny) 2( yii 1R2 越大，殘差平方和越小，擬合效果越好；R2 越接近 1，說(shuō)明回歸的效果越好。8 建立回歸模型的根本步驟：確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量時(shí)解釋變量，哪個(gè)變量時(shí)預(yù)報(bào)變量。畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量得散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系；由經(jīng)歷確定回歸方程的類型；按一定規(guī)那么估計(jì)回歸方程中的參數(shù)；得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常。三、典型

16、例題例 1 下表是某年美國(guó)舊轎車價(jià)格的調(diào)查資料，今以 x 表示轎車的使用年數(shù)，y 表示響應(yīng)的年均價(jià)格，求y 關(guān)于 x 的回歸方程使用年數(shù) x年均價(jià)格 y美元123456789102651194 314941087765538484290226204分析：由表格先畫出散點(diǎn)圖，可以看出隨著使用年數(shù)的增加，轎車的平均價(jià)格在遞減，但不在一條直線附近， 但據(jù)此認(rèn)為 y 與 x 之間具有線性回歸關(guān)系是不科學(xué)的， 要根據(jù)圖的形狀進(jìn)展合理轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成線性關(guān)系的變量間的關(guān)系。解：作出散點(diǎn)圖如以下圖可以發(fā)現(xiàn)， 各點(diǎn)并不是根本處于一條直線附近，因此，y 與 x 之間應(yīng)是非線性相關(guān)關(guān)系 .與已學(xué)函數(shù)圖像比擬，用y e

17、bxa 來(lái)刻畫題中模型更為合理，令zln y ，那么 zbx a ，題中數(shù)據(jù)變成如下表所示：x12345678910y7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318在散點(diǎn)圖中可以看出變換的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用線性回歸模型方程擬合，由表中數(shù)據(jù)可得 r0.996, r 0.75，認(rèn)為 x 與 z 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)8據(jù)的 b0.298, a8.165, 所以 z0.298x8.165 ，最后回代zln y ，即 ye 0.298 x 8.165四、當(dāng)堂練習(xí)：1 兩個(gè)變量 y 與 x 的回歸模型中，分別選擇了4 個(gè)不同

18、模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2 如下，其中擬合效果最好的模型是A模型 1的R20.98B 模型2的R20.80C模型 3的 R20.50D模型 4的 R20.25答案A五、課堂小結(jié)1 相關(guān)系數(shù) r 和相關(guān)指數(shù)R22 殘差分析六、作業(yè)布置課本 90 頁(yè)習(xí)題 393 1.2 回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)1 了解相關(guān)系數(shù)r 和相關(guān)指數(shù) R22 了解殘差分析3 了解隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1相關(guān)系數(shù) rn( xix)( yiy) ri 1nnx)2y) 2( xi( yii 1i 1 r>0 說(shuō)明兩個(gè)變量； r<0 說(shuō)明兩個(gè)變量； r

19、 的絕對(duì)值越接近1，說(shuō)明兩個(gè)變量相關(guān)性，r的絕對(duì)值越接近 0,表示兩個(gè)變量之間當(dāng) r 的絕對(duì)值大于認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的相關(guān)性關(guān)系。2 隨機(jī)誤差在線性回歸模型：y bx a e 中， a 和 b 為模型的，e 是 y 與 ybx a之間的，通常 e 為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差，它的均值E(e)=，方差 D(e)=20y bxa e線性回歸模型的完整表達(dá)式為0, D (e)E(e)隨機(jī)誤差 e 的方差2 越小，通過(guò)回2歸直線 ybxa 預(yù)報(bào)真實(shí)值y 的準(zhǔn)確度3 殘差分析殘差對(duì)于樣本點(diǎn)(x1, y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ),( xn , yn ). 而言，相應(yīng)于它們的隨機(jī)

20、誤差為ei =(i=1,2,3, ,n)其估算值為 ei =(i=1,2,3, ,n).稱為相應(yīng)于點(diǎn)( xi , yi )的殘差。2殘差平方和：類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用=n2(xix)( yi y) n>2作為ay bx， bi 1， Q( a, b) 稱為殘差的估計(jì)量，其中n(xi x)2i 1平方和，可以用22衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度，越小，預(yù)報(bào)精度用圖形來(lái)分析殘差特性：用R21來(lái)刻畫回歸的效果。10三、提出問(wèn)題1 隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因是什么？2 如何建立模型擬合效果最好？課內(nèi)探究學(xué)習(xí)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解相關(guān)系數(shù)和相關(guān)指數(shù)的關(guān)系.2理解隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因 .33 會(huì)進(jìn)展簡(jiǎn)單的

21、殘差分析二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)1 相關(guān)系數(shù) r 2 相關(guān)指數(shù) R23 隨機(jī)誤差學(xué)習(xí)難點(diǎn)殘差分析的應(yīng)用三、學(xué)習(xí)過(guò)程1 相關(guān)系數(shù)r=2 r 的性質(zhì)：3 隨機(jī)誤差的定義：4 相關(guān)指數(shù) R2=5 R2 的性質(zhì)：6 殘差分析的步驟：四、典型例題例 隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速開(kāi)展，城鄉(xiāng)居民的審核水平不斷提高，為研究某市家庭平均收入與月平均生活支出的關(guān)系，該市統(tǒng)計(jì)部門隨機(jī)調(diào)查10 個(gè)家庭，得數(shù)據(jù)如下：家庭編號(hào)12345678910x 收入 (千元 )0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8y 支出千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5(1) 判斷家庭平均收入與月平均生活支出是否相關(guān)？(2) 假設(shè)二者線性相關(guān)，求回歸直線方程。思路點(diǎn)撥： 利用散點(diǎn)圖觀察收入x 和支出 y 是否線性相關(guān)，假設(shè)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，可利用公式來(lái)求出回歸系數(shù)，然后獲得回歸直線方程。解：作散點(diǎn)圖觀察發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在一條直線附近，所以二者呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系。(2)x1(0.81.1 1.3 1.5 1.5 1.82.02.22.4 2.8) 1.74,101y(0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5)1.42,10nxi yin