概率論 (復(fù)旦三版)習(xí)題四 答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計（復(fù)旦第三版）習(xí)題四 答案1.設(shè)隨機變量X的分布律為X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100個產(chǎn)品中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故 3.設(shè)隨機變量X的分布律為X -1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求.【解】因,又,由聯(lián)立解得4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球為白球的概率是多少？【解】記A=從袋中任

2、取1球為白球，則 5.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.設(shè)隨機變量X，Y，Z相互獨立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 求.【解】方法一：先求與的

3、均值 由與的獨立性，得 方法二：利用隨機變量函數(shù)的均值公式.因與獨立，故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機變量X，Y的概率密度分別為= =求（1） ;（2） .【解】 從而(1) (2)11.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求（1） 系數(shù);（2）;（3） .【解】(1) 由得.(2) (3) 故 12.袋中有12個零件，其中9個合格品，3個廢品.安裝機器時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機變量，求和.【解】設(shè)隨機變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下

4、：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為為確保消費者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺設(shè)備凈盈利只有兩個值：100元和 -200元 故 (元).14.設(shè)是相互獨立的隨機變量，且有,記 ， .（1） 驗證=， =；（2） 驗證；（3） 驗證.【證】(1) (2) 因為 故.(3) 因為,故同理因為 ,故.從而 15.對隨機變量和，已知，,計算：.【解】 (因常數(shù)與任一隨機變量獨立，

5、故,其余類似).16.設(shè)二維隨機變量的概率密度為試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0. （注意到積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)是奇函數(shù)可以直接得到0）而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨立性，當(dāng)時， 當(dāng) 時，.顯然 ,故X和Y不是相互獨立的.17.設(shè)隨機變量的分布律為XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表：X -101 PY -101 PXY -101 P由

6、期望定義易得=0.從而=,再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨立的.18.設(shè)二維隨機變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求，.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 19.設(shè)（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).【解】 從而同理 又 故 20.已知二維隨機變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知條件得：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 21.對于兩個隨機變量V

7、，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：E（VW）2E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（Cauchy -Schwarz）不等式.【證】考慮實變量的二次函數(shù)因為對于一切，有，所以 ，從而二次方程 或者沒有實根，或者只有重根，故其判別式0，即 故 22.假設(shè)一設(shè)備開機后無故障工作的時間X服從參數(shù)=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時開機，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機，而在無故障的情況下工作2小時便關(guān)機.試求該設(shè)備每次開機無故障工作的時間的分布函數(shù). 【解】由題設(shè)可知：設(shè)備開機后無故障工作的時間，其概率密度為 根據(jù)題意 ，所以的分布函數(shù)為 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 于是的分布函數(shù)為：。23.已知甲、乙

8、兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為, 即Z=k0123Pk因此，(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 24.假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑（毫米）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑有如下關(guān)系問：平均直徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？

9、 【解】因為 ,所以平均利潤 令得 兩邊取對數(shù)有解得 (毫米)因為該問題有唯一駐點，所以當(dāng)毫米時，平均利潤最大.25.設(shè)隨機變量的概率密度為對獨立地重復(fù)觀察4次，用表示觀察值大于/3的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令 則相互獨立，都服從（01）分布，且.因為及,所以 ,從而26.兩臺同樣的自動記錄儀，每臺無故障工作的時間 (i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動其中一臺，當(dāng)其發(fā)生故障時停用而另一臺自動開啟.試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間的概率密度，數(shù)學(xué)期望及方差. 【解】由題意知：因為與獨立，所以由卷積公式得的概率密度當(dāng)時，=0;當(dāng)時， 故得由于 ,故知因此，有，.（與獨立

10、）27.設(shè)兩個隨機變量X，Y相互獨立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機變量|X -Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X -Y，由于且X和Y相互獨立，故,即.因為 而 ，所以 .28.某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為，各產(chǎn)品合格與否相互獨立，當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時，即停機檢修.設(shè)開機后第一次停機時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為，求和. 【解】記, 的概率分布為 故又 所以 題29圖29.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布在點（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=

11、D(X)+D(Y)+2E(XY) -E(X)·E(Y).由已知條件得X和Y的聯(lián)合概率密度為 從而因此同理可得 于是 30.設(shè)隨機變量U在區(qū)間 -2,2上服從均勻分布，隨機變量X= Y=試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計算（X，Y）的4個可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.PX= -1, Y= -1 = P U -1,U 1 PX= -1, Y=1 =P U -1, U>1 =P =0,PX=1, Y= -1 =P U> -1, U1.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2

12、) 因,而及的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以31.設(shè)隨機變量的概率密度為f(x)=， (1) 求及；（2） 求,并問與是否不相關(guān)？（3） 問與是否相互獨立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以與不相關(guān).(3) 為判斷|與的獨立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對定義域 中的子區(qū)間（0,+）上給出任意點x0，則有所以故由得出 與不相互獨立.32.已知隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)，設(shè)Z=.（1） 求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)；（3） 問X與Z是否相互獨立，為什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所

13、以 (3) 由，得X與Z不相關(guān).又因，所以X與Z也相互獨立.33.將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次數(shù).試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由條件知X+Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n, p), YB(n, q)，且p = q =,從而有 所以 故= -1.（填空題或選擇題，由可以直接得= -1）.34.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由已知條件得E(X)=0.6, E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX -101P0.080.720.2所以E（XY

14、）= -0.08+0.2=0.12從而 =035.對于任意兩事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,則稱=為事件A和B的相關(guān)系數(shù).試證：（1） 事件A和B獨立的充分必要條件是=0；（2） |1. 【證】（1）由的定義知，=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) -P(A)·P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨立的定義，即=0是A和B獨立的充分必要條件.(2) 引入隨機變量X與Y為 由條件知，X和Y都服從0 -1分布，即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X) = P (A).P (), D(Y) =P (B) ·P (),所以，事件A和B的相

15、關(guān)系數(shù)就是隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二維隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可得|1.36. 設(shè)隨機變量X的概率密度為令，為二維隨機變量的分布函數(shù)，求：(1) 的概率密度；(2);(3). 解： (1) 的分布函數(shù)為.當(dāng)y0時， ，；當(dāng)0y1時，；當(dāng)1y<4時， ；當(dāng)y4時，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 .(3) .37. 設(shè)二維隨機變量的概率分布如下表 -101-100.200.10.2100.1其中為常數(shù)，且的數(shù)學(xué)期望,記求：（1） 的值；（2） 的概率分布；（3） . 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知， ， 即 .(1)由，可得 .（2）再由 ,得 .（3）解方程組（1）（2）（3）得.(2) 的可能取值為-2，-1，0，1，2，即的概率分布為-2-10120.20.10.30.30.1 (3) .38. 設(shè)隨機變量與的概率分布分別如下表所示：01 -101且.（1）求二維隨機變量的概率分布；（2）求的概率分布；（3）求與的相關(guān)系數(shù)。（第四章作業(yè)只有第三問）解 由 得 ，即 進而 再根據(jù)聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布的關(guān)系，可得的概率分布如下表： -101000101（2）的可能取值為：-1，0，1。由得概率分布可得的概率分布-101（3）因為 , 故,從而與的相關(guān)