求多元函數(shù)極限的方法

1、求多元函數(shù)極限的方法【摘要】對于大部分學生,尤其是初接觸高等數(shù)學的同學而言,極限是一道很難過的關(guān),因為那種“無限逼近”卻又“無法達到”的抽象對于剛剛結(jié)束中學數(shù)學學習,習慣于具體圖形分析、函數(shù)計算的同學來說,在思維上有了更高的要求。而對于高等數(shù)學來講,極限又是相當重要的基礎(chǔ),不管是函數(shù)連續(xù)性的驗證,亦或是單側(cè)導數(shù)的求解,極限都是很重要的一個環(huán)節(jié),它就相當于一條線慣于始終,所以說學好極限,是學好高等數(shù)學的一個起點。【1】【關(guān)鍵詞】多元函數(shù)；求極限多種方法；求極限常出現(xiàn)的錯誤【引言】之前學過如連續(xù)、導數(shù)微分和積分等都要用極和秋極限的方法，例如：利用定義來求極限、用柯西收斂準則、利用兩邊夾定理等等。這

2、些方法雖然簡便易于理解和掌握，但對于一些特殊的極限題目很難解決，例如：設(shè)，求的問題題目盡給出了第項和第+1項的關(guān)系若用利用定義來求極限、用柯西收斂準則及求一些復合函數(shù)極限的問題本文將探討一些特殊的求極限的方法，對某些用常見方法不易求解的題目運用此方法可以容易地解出?！?】本文將從多個方面,通過利用極限的性質(zhì)及相關(guān)概念和幾個典型例題對常用求極限的方法進行解析，并列出容易出錯的地方。1 利用極限定義的思想觀察函數(shù)的極限例1、討論當時函數(shù)=的極限。我們列出了當時某些函數(shù)值，考察函數(shù)的變化趨勢，如下表所示。0.4930.4960.4980.4990.5010.5020.5030.5050.7570.7

3、540.7520.7510.7490.7480.7450.745從列表可以看出，當趨向于時，就趨向于0.7，即時，=的極限是0.75。2、利用四則運算法則求極限例2（1）求（2）解（2）=3、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系及無窮小量的性質(zhì)求極限例3求解因為=0，且即有界，所以=04、利用兩個重要極限求極限例4 求解=1（因為時）。令則當時所以=也可以直接計算=5、利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限例5求解：點是初等函數(shù)的一個定義區(qū)間內(nèi)的點，所以6、利用等價無窮小代換求極限例6 求解：當時， 所以7、利用羅比達法則求極限例7 求解：=8、利用左、右極限來確定分段函數(shù)在分界點處的極限求，解：因為=1所以不存

4、在因為1利用極限的定義來驗證極限的存在極限定義并未給出求極限的具體方法,但卻可以驗證極限的存在,而且它是研究理論問題的基本方法,用極限定義驗證極限存在,一般需經(jīng)過變形放大,由或去尋找滿足條件的充分大的正整數(shù) N或充分小的正數(shù)或充分充分的正數(shù) X。比如:證明證明對，要使，只要因為，不妨設(shè)，此時，從而，因此，,于是取，從而，當時，總有，從而2利用化簡來求極限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形)比如 求此題要用到兩個知識點將分子有理化分母分解因式解：=3利用極限運算法則和無窮小的性質(zhì)求極限比如 求本題是“-”型的極限,先對分子有理化,可轉(zhuǎn)化為型將分子分母同時除以 x的最高次冪變形后求解。解=在

5、無窮小量的諸多性質(zhì)中,常用無窮小乘以有界變量仍為無窮小及用等價無窮小代換來求極限。比如 求解 注意到且所以由無窮小的性質(zhì)得又比如求解 當時，所以=4.2重要極限2，特征:“1 ”型;底數(shù)中要轉(zhuǎn)化為有“1”的形式; “1”的后面的變量與冪指數(shù)互為倒數(shù)。比如 求解=5利用極限存在準則(夾逼定理、單調(diào)有界原理)來求極限5.1利用夾逼定理求極限比如 求解 因為，=1，2，3，從而而，所以5.2利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”定理求極限特點:能出現(xiàn)關(guān)系式;可轉(zhuǎn)化為關(guān)系式解題方法 :一是利用數(shù)學歸納法證有界,二是證單調(diào)。比如 設(shè)試證數(shù)列極限存在，并求此極限。顯然，假設(shè)因由數(shù)學歸納法知對,0<<2,

6、又 有界, 0<<2,即有界,又,則 > ,所以單調(diào)增加。因此存在。不妨設(shè)=，由得，從而=2即6利用洛必達法則求極限用洛必達法則時要注意:要注意洛必達法法則條件,有時要用多次洛必達法則,無限次循環(huán)型號不能用洛必達法則,如,每次用洛必達法則前,要先化簡,x0(或x)時,極限中含有sin,cos (或sinx,cox)不能用洛必達法則。“0g”,“-”,“1 ”,“”,“”,“”型未定式,通過變形、通分、有理化分子、取對數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為“”或“”未定式極限后再用洛必達法則。比如求解7利用連續(xù)性求極限比如 求解注意到在x=1處連續(xù),所以=8利用函數(shù)極限存在的充要條件求極限主要用來解決

7、在求分段函數(shù)在分段點處的極限或某些特殊函數(shù)在一些點處的極限時,可用此方法。如求解，所以不存在。9利用導數(shù)求極限 比如設(shè)求解=10利用泰勒公式求極限特點“”型;或或用洛必達法則較復雜或根本不可能用。解題的關(guān)鍵是展開到含項,或相互抵消后的后一項。比如求解=11利用定積分和積分中值定理求極限比如設(shè)=，求解因為所以=12利用函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系求極限比如求解=13利用級數(shù)收斂的必要條件求極限比如 求,考察級數(shù),而<1由正項級數(shù)比值判別法知收斂,再由級數(shù)收斂的必要條件知=014利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限比如 求由于當時，=因此=以上是求極限常用的一些方法,在求極限的過程中,先要用觀察極限屬于什么類

8、型,才能去采取相應(yīng)的方法。同學們在求二元函數(shù)極限時，常出現(xiàn)錯誤。我們將其歸納為一下三種，今寫于此，以供參考。第一種錯誤是把沿在平面上過點的射線方向，代替沿任何方向趨向于，求例1求在同學們的解題過程中常出現(xiàn)的錯誤做法是令于是有當時，由夾逼定理即得=0欲指出此種解法的錯誤，只需注意二元函數(shù)極限的定義：設(shè)函數(shù)在平面的某一個點集D上有定義，是D的一個據(jù)點（不一定屬于D），A為一定數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，使得定義域D上滿足不等式的一切點，能都恒有不等式成立，則稱定數(shù)A為函數(shù)當時的極限，記為=A由極限的定義可以看出，若=A則必須是動點沿定義域內(nèi)的任何曲線趨向于聚點時，都得有不等式成立

9、。而在例1的解法中，即便是取遍了02之間的所有值，都有不等式成立，這也只能說明動點沿過原點的直線族趨向于點（0，0）時，都有。本題的正確解法是，由有可見，動點不論沿平面上任何曲線趨于點（0，0）是，對于任意給定的正數(shù)，只要取時，就能使當時，永遠有成立。這即得證=0例2求若仿照例1中所有用過的錯誤解法，有，且不難討論不論上式右端為任何值，只要時，就有=0但實際上是不存在的，這只要取動點沿曲線趨向于點（0，0）時則有由于不同的值對應(yīng)著不同的極限值，即得證是不存在的。例3求本題的正確解法，是由所以有由夾逼定理便有而此題如果用例1所提出過的錯誤做法雖然也有并由此得出其結(jié)果雖然也是對的，但其理論根據(jù)卻是

10、錯誤的。第二種錯誤是引用了“有限個無窮大之和仍為無窮大”的錯誤結(jié)論。例4這種解法很明顯是錯誤的，因為但并不一定是無窮大，這道理雖然很明顯，但在做題時卻常被疏忽而導致得出錯誤的結(jié)論。事實上，本例所給的極限是不存在的，這只有注意，若動點沿直線趨向于點（0，0）時，原式均無意義就行了，就是避開這條使函數(shù)無意義的直線也就不行的，這只要取動點沿曲線趨向于點（0，0）時，就有=，可以取關(guān)于零的任何值。即得是不存在。第三種錯誤是由于忽視開方時應(yīng)去算數(shù)跟，而造成的錯誤。=0此題的解法是錯誤的，因為將分子及分母同除，它的恒等變形詳細過程如下：=這個恒等變形只有>0時成立，而當<0時本例的正確解法應(yīng)該是由有可見不論動點沿什么曲線，趨向于點（0，0）時，總有此不等式成立。由夾逼定理知=0忽