數(shù)學物理方程ppt

1、出出 版：電子科技大學出版社版：電子科技大學出版社( (成都市建設北路二段四號，郵編：成都市建設北路二段四號，郵編：610054)610054)責任編輯：徐守銘責任編輯：徐守銘發(fā)發(fā) 行：電子科技大學出版社行：電子科技大學出版社印印 刷：成都蜀通印務有限責任公司刷：成都蜀通印務有限責任公司開開 本：本：787mm787mm1092mm 1/16 1092mm 1/16 印張印張 16.625 16.625 字數(shù)字數(shù) 425425千字千字版版 次：次：20062006年年4 4月第一版月第一版印印 次：次：20072007年年8 8月第二次印刷月第二次印刷書書 號：號：ISBN 978ISBN 9

2、78 7 7 8111481114 098098 9 9印印 數(shù)：數(shù)：2001500020015000冊冊定定 價：價：28.0028.00元元 數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程李明奇李明奇 田太心田太心 主編主編 版權所有版權所有 侵權必究侵權必究 郵購本書請與本社發(fā)行科聯(lián)系。電話：郵購本書請與本社發(fā)行科聯(lián)系。電話：(028)83201495 (028)83201495 郵編：郵編：610054610054。 本書如有缺頁、破損、裝訂錯誤，請寄回印刷廠調換。本書如有缺頁、破損、裝訂錯誤，請寄回印刷廠調換。目 錄第一章 緒論笫二章 定解問題與偏微分方程理論第三章 分離變量法第四章 行波法第五章 積分變

3、換第六章 Green函數(shù)法第七章 Bessel函數(shù)第八章 Legendre多項式第九章 保角變換法第十章 非線性數(shù)學物理方程簡介 第一章第一章 緒論緒論1.1 常微分方程基礎常微分方程基礎1.2 積分方程基礎積分方程基礎1.3 場論基本概念場論基本概念1.4 常用算符與函數(shù)常用算符與函數(shù) 1.5 常用物理規(guī)律常用物理規(guī)律1.1 1.1 常微分方程基礎常微分方程基礎一、一階微分方程一階常微分方程典則形式與對稱形式分別為:( , ),yf x y ( , )d( , )d0p x yxq x yy1可分離變量的一階微分方程( )d( )df xxg yy2齊次方程d( )dyyfxx( )uxuf

4、 u3一階線性微分方程( )( )yp x yq x( )d( )de( )edp xxp xxyq xxc4Bernoulli方程( )( )nyp x yq x y(1) ( )(1) ( )un p x un q x(0, 1)n 二、高階微分方程1可降階的二階微分方程( , )yf x y( , )yf y y( , )ppf y p 2n階常系數(shù)齊次線性微分方程( )(1)(2)121( )( )( )( )0nnnnnya x ya x yax ya x y定理定理1 的特解可以通過方程 的特解之和求得。1L( )niiyf xL( ), 1, , iyf xin（1）特征方程有n

5、個不同的實根 ，則 ， 為任意常數(shù)；（2）特征方程有r個不同的實根 ，其重數(shù)分別為 ， ，則其中， 為任意常數(shù)。（3）若 ，特征方程有r個不同的復根 （ ），其重數(shù)分別為 ，所有復根重數(shù)之和為，則 12, , , n1einxiiycic定理定理2 n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為：12, , , n12, , , rnnn1=rkknn1, 0, 1, (1)1()eiirnxiiiiiyccxcx, i jc( )ia xR12, , , rkkki12, , , rnnn1, 0, 1, (1)11, 0, 1, (1)1()esin ()ecosiiiirnxiiiiiirnxiii

6、iiiyccxcxxddxdxx3二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解設設 為為 對應的齊對應的齊次方程的次方程的i ( )重根，其中，重根，其中， 與與 分別是次多項式，分別是次多項式， 為常數(shù)。為常數(shù)。則存在次多項式則存在次多項式 使非齊次方程使非齊次方程有如下形式的特解：有如下形式的特解：00( )exmypyqypx定理定理3:( )mpx( )npx00, 1, 2i ( )mqx0( )eximyx qx 與 分別是 次多項式， 與 為常數(shù)，則的特解為：定理定理4:( )mpx( )npx, m n000(0) 000e( )cos( )sinxmnypyqypxxpxx000e(

7、)cos( )sinxkllyxp xxq xx二階非齊次線性微分方程定理定理5:)(xfqyypy 的特解為2112001212( )( )dd(, )(, )xxy fy fyyyyyyy 通解為21121122001212( )( )dd( )( )(, )(, )xxy fy fyyyC y xC yxyyyy 三、Euler方程在微分方程中，我們還經常遇到一類特殊的非常系數(shù)非齊次線性微分方程Euler方程的求解：( )1(1)011( )nnnnnnp x yp xypxyp yf x0D(D1)(D1)(e )ntn kkpkyf四、Bessel方程定義定義2 二階線性微分方程 2

8、22()0 x yxyxy稱為Bessel方程， 為非負常數(shù)。定義定義4 二階線性微分方程 222102x yxyxmy稱為半奇數(shù)階Bessel方程。(m為整數(shù))定義定義5 二階線性微分方程 222()0 x yxyxy稱為虛宗量Bessel方程。五、Legendre方程與SturmLiouville方程定義定義6 二階線性微分方程 2(1)2(1)0, 1, 1xyxyn nyx 稱為n階Legendre方程。定義定義7 二階線性微分方程dd ( )( )( )( )( )0ddy xk xxq xy xxxaxb稱為SturmLiouville方程。六、微分方程解的理論基礎定義定義8 對于

9、一階微分方程，稱以下問題為Cauchy問題：00( , )()yf x yy xy 定義定義9 對于二階微分方程，稱以下問題為邊值問題：12345( , , , )0, ( , )( )( )( )( )f x y yyta ya ya ya ya 設為 方程 的平凡解，若 ，當 時，對 ，有 ，則稱 解穩(wěn)定。定義定義10:0y ( , )yg x y 0000, , ( , )0, xIxy 00( , )yx 0 xx 00( , , )y x xy0y 定義定義11: 設 為方程 的平凡解，若 ，當 時， ，有 ，則 稱解不穩(wěn)定。 0y ( , )yg x y 0000, , 0, xy

10、0y10 xx100( , , )y xxy0y 1.2 1.2 積分方程基礎積分方程基礎定義定義1 積分號下含有未知函數(shù)的方程稱為積分方程。若方程關于未知函數(shù)是線性的，則稱之為線性積分方程；否則該積分方程稱為非線性積分方程。定義定義2 若未知函數(shù)只出現(xiàn)在積分號下，稱為第一類線性積分方程；若未知函數(shù)不僅出現(xiàn)在積分號下，還出現(xiàn)在其他部分，則稱為第二類線性積分方程。定義定義3 若含參數(shù)齊次方程 ，在 有非零解，則 稱為特征值，相應的解為特征函數(shù)。特征函數(shù)構成的空間稱為線性空間，其維數(shù)稱為 的重數(shù)。( )( , ) ( )dbay xk x t y tt000定理定理1 若 在 ， 在 內都連續(xù)，且

11、 ， ， 。級數(shù) 在 一致絕對收斂，并且為方程的唯一解。( )f x , xa b( , )k x t , , a ba b( )f xm( , )k x tM1M ba0( )iiix , xa b( )( )( , ) ( )dbay xf xk x t y tt定義定義4 若 ， 與 都線性無關，則 稱為退化核。 為退化核，則方程變?yōu)榇朐匠痰?( , )( )( )niiik x txt( )ix( )it( , )k x t( , )k x t( )( )( , ) ( )dbay xf xk x t y tt1( )( )( ), ( ) ( )danbiiiiy xf xx y

12、yt y tti1,niiikkkyfy( )( )d , ( ) ( )d , 1, , bbikikiiaatttft f tt in1.3 1.3 場論基本概念場論基本概念一、散度與通量設S是一分片光滑的有向曲面，其單位側向量為 ，則向量場 沿曲面S的第二類曲面積分0n( , , )x y zA0ddSSSASA n稱為向量場通過曲面S向著指定側的通量。如果S是一分片光滑的閉曲面，為外法向，V為S所包圍的空間區(qū)域，由Gauss公式有0dd ( , , )d d( , , )d d( , , )d d ()d d dSSSxyzVSp x y zy zq x y zz xr x y zx

13、ypqrx y zASA n其中， 稱為向量場的散度，記為 ，即xyzpqrdiv Adiv xyzpqrA二、環(huán)流量與旋度對于給定向量場( , , )( , , )( , , )( , , )x y zp x y zq x y zr x y zAijk設L為場內一有向閉曲線，L上與指定方向一致的單位切向量為 ，則稱積分0 0ddLLsArA 為向量場沿有向閉曲線L的環(huán)流量。設S是以L為邊界的有向曲面，曲線L的方向與曲面S的側符合右手規(guī)則，由Strokes公式，有d( , , )d( , , )d( , , )d ()cos()cos()cos dLLyzzxxySp x y zxq x y

14、zyr x y zzrqprqpSAr其中，向量 為有向曲面S的單位法向量 的方向余弦，向量場的旋度記為 ，且cos , cos, cos 0nrot Arot ()()()yzzxxyrq iprjqpkA旋度是一個向量，它是由向量場產生的向量場，稱為旋度場。1.4 1.4 常用算符與函數(shù)常用算符與函數(shù)一、常用算符求導算子D： D ( )( )f xfx梯度算子 與Laplace算子 是兩個最基本的算符：, , xyz 222222xyz 設為向量場， 為數(shù)值函數(shù)，則有以下公式：( , , )uu x y zgrad uu div AArot AA2 grad uuuu () uvu vu

15、v 定理定理1 設平面區(qū)域D由分段光滑的閉曲線L圍成，函數(shù) 、 在L上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有Green公式：( , )p x y( , )q x y( , )d( , )d( , )( , )d dxyLDp x yxq x yyqx ypx yx y式中，L的方向為區(qū)域D邊界曲線的正向。定理定理2 設曲線L為分段光滑的空間有向閉曲線，S為以L為邊界的任意分片光滑的有向曲面。函數(shù) 、 、 在包含S的某一個空間區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有Strokes公式( , , )p x y z( , , )q x y z( , , )r x y zd dd dd d( , , )d( , , )d(

16、, , )dLSy zz xx yp x y zxq x y zyr x y zzxyzpqr定理定理3 設分片光滑的有向閉曲面圍成空間區(qū)域V。函數(shù) 、 、 在V上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有Gauss公式： ( , , )p x y z( , , )q x y z( , , )r x y z( , , )( , , )d d( , , )d d()d d dxyzSVp x y z dydzq x y zz xr x y zx ypqrx y z式中，S為空間區(qū)域V的外側。二、 函數(shù)、函數(shù)與誤差函數(shù)1 函數(shù)是指10( )e d , 0 xtxtt x2函數(shù)是指1110( , )(1)d , 0,

17、 0pqp qttt pq函數(shù)的主要性質有：( , )( , )p qq p ( ) ( )( , )()pqp qpq3誤差函數(shù)是指202erf( )edxtxt余誤差函數(shù)是指ercf( )1erf( )xx 主要性質有：22461 e13 44 5 6ercf( )(1)2(2 )(2 )xxxxxx 三、常用結論命題命題1 ，其球坐標表示為 。n為以原點為球心，半徑為r的球面的外側，則( , , )uu x y z( , , )uu r ruun命題命題2 221111cos2212 cos()nnkkntktk| 1k 1.5 1.5 常用物理規(guī)律常用物理規(guī)律1Newton第二定律。平

18、動規(guī)律： ；轉動規(guī)律： 。2Hooke定律。 （1）在彈性限度內，彈簧的彈力和彈簧的伸長成正比： 。其中，k為彈簧的彈性系數(shù)。負號表示彈力的方向和形變量的方向相反。（2）彈性體的應力p與彈性體的相對伸長成正比： 。其中，Y為楊氏模量，表示相對伸長。FmaMIfkx xpYu3Fourier實驗定律（即熱傳導定律）。當物體內存在溫差時，會產生熱量的流動。在dt時間內，沿熱流方向流過面積微元dS的熱量為，其中k稱熱傳導系數(shù)，它與物體的材料有關；式中的負號表示熱量由高處流向低處；為溫度沿熱流方向的方向導數(shù)。熱流密度q為d( , )d dnQqkux tS t 4Newton冷卻定律。設 為周圍介質的

19、溫度， 為物體的溫度。物體冷卻時單位時間內流過單位面積放出的熱量與物體和外界的溫度差（ ）成正比，即熱流密度q為 。5熱量守恒定律。物體內部溫度升高所吸收的熱量，等于流入物體內部的凈熱量與物體內部的源所產生的熱量之和。0usu0suu0sqk uu6擴散實驗定律。當物體內濃度分布不均勻時會引起物質的擴散運動。沿粒子流方向流過面積微元dS的粒子質量為 ，其中k稱為擴散系數(shù)，它與材料有關；負號表示粒子流由濃度高處流向低處， 為溫度沿熱流方向的方向導數(shù)。粒子流密度q為 。7電荷守恒定律。電荷既不能創(chuàng)造，也不能消滅，它們只能從一個物體轉移到另一個物體，或者從物體的一部分轉移到另一部分。d( , )d

20、dnMkux tS t nu( , )nqkux t 8Coulomb定律。放置于坐標原點的電量為e的點電荷所產生電場（介電常數(shù)為）的電位勢為 。9Gauss定律。通過一個任意閉合曲面的電通量，等于這個閉曲面所包圍的自由電荷的電量的倍。即 。其中， 為介電常數(shù)， 為體電荷密度。4eur11ddSVvES10JouleLenz定律。電流通過純電阻的一導體時所放出的熱量跟電流強度的平方、導線的電阻和通電的時間成正比。即 。11Kirchhoff定律。（1）第一定律。會合在節(jié)點的電流代數(shù)和為零，即 。（2）第二定律。沿任一閉合回路的電勢增量的代數(shù)和為零，即 。2QRtI10nkkI11nnkkkkk

21、I R12Faraday電磁感應定律。不論任何原因使通過回路面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中產生的感應電動勢與磁通量對時間的變化率的負值成正比，即式中，N為感應回路串聯(lián)線圈的匝數(shù)。此即Faraday電磁感應定律。由該定律知，當閉合回路（或線圈）中的電流發(fā)生變化而引起自身回路的磁通量改變而產生的自感電動勢為式中，L為自感系數(shù)。ddNt ddLt 2.1 波動方程及定解條件波動方程及定解條件2.2 熱傳導方程及定解條件熱傳導方程及定解條件2.3 穩(wěn)態(tài)方程的定解問題穩(wěn)態(tài)方程的定解問題2.4 方程的化簡與分類方程的化簡與分類2.5 二階線性偏微分方程理論二階線性偏微分方程理論2.6 函數(shù)函數(shù)笫二章笫二章

22、 定解問題與偏微分方程理論定解問題與偏微分方程理論2.1 2.1 波動方程及定解條件波動方程及定解條件一、波動方程的建立細弦線橫振動問題。設有一根均勻柔軟的細弦線，一端固定在坐標原點，另一端沿x軸拉緊固定在x軸上的L處，受到擾動，開始沿x軸（平衡位置）上下作微小橫振動（細弦線上各點運動方向垂直于x軸）。試建立細弦線上任意點位移函數(shù)所滿足的規(guī)律。 u T1 0 x x+dx L x T2 gdx 2 1 二、定解條件1初始條件波動方程含有對時間的二階偏導數(shù)。因此，一般要給出兩個初始條件。對于做機械運動的物體，其初始條件可以從系統(tǒng)各點的初位移和初速度考慮，即00( )( )tttuxux2邊界條件

23、描述物理問題在邊界上受約束的狀態(tài)，歸結為三類邊界條件。（1）第一類邊界條件：給出未知函數(shù)u在邊界上的分布值。例如，長為L的細弦線橫振動，細弦線的兩端固定在原點和x軸的L處，其邊界條件為，稱固定端。 （2）第二類邊界條件：給出未知函數(shù)u在邊界上的法向導數(shù)值。（3）第三類邊界條件：第一類和第二類邊界條件的線性組合。00, 0 xx Luu2.2 2.2 熱傳導方程及定解條件熱傳導方程及定解條件一、熱傳導方程 細桿的橫截面積為常數(shù)A，又設它的側面絕熱，即熱量只能沿長度方向傳導，由于細桿很細，以致在任何時刻都可以把橫截面積上的溫度視為相同，密度為。試求細桿的溫度分布規(guī)律。 x x x+dx L 0 二

24、、擴散方程的建立*設半導體材料每點的橫截面積相等，其值為A；在這塊材料中，有一種雜質正在擴散，我們用u表示雜質濃度，即單位體積內所含雜質的質量；由于各個橫截面上雜質的濃度不一樣，而且它又是隨時間改變的（設同一時間同一橫截面上各點處的濃度是相同的），所以濃度u既是位置x的函數(shù)，又是時間t的函數(shù)，即 。求 滿足的規(guī)律。 A x x 0 x+dx ( , )u x t( , )u x t三、定解條件1初始條件熱傳導方程含有對時間的一階偏導數(shù)，故只要一個初始條件初始時刻的溫度分布。2邊界條件（1）第一類邊界條件，給定溫度在邊界上的值。若細桿在x=0端保持為零度， 端保持為 度，則有： ， 。（2）第二

25、類邊界條件，給定溫度在邊界上的法向導數(shù)值。（3）第三類邊界條件，給定邊界上溫度與溫度的法向導數(shù)的線性關系。Tx L00 xux LuT2.3 2.3 穩(wěn)態(tài)方程的定解問題穩(wěn)態(tài)方程的定解問題一、靜電場的電位方程設空間有一分布電荷，其體密度為 ，E表示電場強度， 表示電位，在國際單位制下，靜電場滿足：（1）靜電場的發(fā)散性： ； （2）靜電場的無旋性： ； （3）靜電場存在場勢函數(shù)： ( , , )x y z( , , )u x y zE0Eu E二、自由電磁波方程設空間中沒有電荷，且和分別表示電場強度和磁場強度。由電磁場理論，描述介質中電磁場運動的Maxwell方程組的微分形式為00tt HEEHE

26、EH三、穩(wěn)態(tài)場定解條件的提法1邊界條件邊界條件共分三類，第一類、第二類、第三類邊界條件也是分別給出邊界上未知函數(shù)值、未知函數(shù)的導數(shù)值或兩者的線性關系。穩(wěn)態(tài)場方程加上第一類、第二類、第三類邊界條件構成的定解問題分別稱為第一類、第二類、第三類邊值問題，也依次稱為Dirichlet問題、Neumann問題和Robin問題。2銜接條件性質性質1 在兩種介質的分界面上，靜電場電勢的邊值關系為式中， 與 分別為界面兩側介質的電勢和介電常數(shù)；n是界面上由介質1指向介質2的法向單位向量； 是界面上的自由電荷面密度。211221, fuuuu nn12, uu12, f性質性質2 若為 導體的電勢， 為絕緣介質

27、的電勢， 為封閉面S所包圍的電量的代數(shù)和，則在導體與介質分界面上電勢u的邊值關系為1u2ufQ12uu22fu n22dfSuSQ n3有限性條件例如，在靜電場中常利用在坐標原點電勢有限的條件（當原點無點電荷時）。4周期性條件由于物理量在同一點、在同一時刻有確定值，在采用球坐標系（或柱坐標系）時，就必然導致周期性條件，因為與 均表示空間同一點，由電勢的唯一性可得, , 2, , u ru r , , 2r ( , , )r 2.4 2.4 方程的化簡與分類方程的化簡與分類一、方程的化簡、特征方程二、方程的分類若在區(qū)域D中某點 ，有 （或 ），我們就稱方程式在點為雙曲型（或拋物型，或橢圓型）。若

28、方程在某個區(qū)域中的每一點均為雙曲型（或拋物型，或橢圓型），我們就稱方程在區(qū)域D上是雙曲型（或拋物型，或橢圓型）。00, xy0 0, 0 2.5 2.5 二階線性偏微分方程理論二階線性偏微分方程理論一、疊加原理定義定義1 泛定方程是線性的，而且定解條件也是線性的，這種定解問題稱為線性定解問題。定義定義2 對于一個算子T，若滿足則稱算子T為線性算子。1 1221122TTTcuc ucucu疊加原理疊加原理1 設滿足線性方程（或線性定解條件） （ ）那么這些解的線性組合必滿足方程（或定解條件）： 。疊加原理疊加原理2 設滿足線性方程（或線性定解條件） （ ）且級數(shù)收斂，并滿足算子中出現(xiàn)的偏導數(shù)與

29、求和記號交換次序所需要的條件，那么滿足線性方程（或定解條件）Liiuf1, 2, , in1Lniiiuc fLiiuf1, 2, i 1Liiiuc f 疊加原理疊加原理3 設滿足線性方程（或線性定解條件）其中，M表示自變量組；M0為參數(shù)組。且積分收斂，并滿足中出現(xiàn)的偏導數(shù)與積分運算交換次序所需要的條件，那么滿足方程（或定解條件）特別地，當滿足齊次方程（或齊次定解條件）時，也滿足此齊次方程（或齊次定解條件）。0L, uf M M00, dvU Mu M MM00L(), dvU Mf M MM二、齊次化原理齊次化原理齊次化原理1 設 滿足齊次方程的Cauchy問題（這里，M是自變量組 為參數(shù)

30、）, ; w t M ( , , ), x y z232L , , 0, , ttMRttfMt齊次化原理齊次化原理2 設 滿足Cauchy問題 , ; t M3L , , , tMRttfM則Cauchy問題30L( , ), , 00tuuf t MMRttu0, ; dtut M三、解的適定性一個定解問題提得是否符合實際情況，當然必須靠實踐來證實。然而從數(shù)學角度來看，可以從三方面加以檢驗：（1）解的存在性：研究所歸結出來的定解問題是否有解。（2）解的唯一性：研究定解問題是否只有一個解。（3）解的穩(wěn)定性：即看當定解條件有微小變動時，解也相應地只有微小的變動，則稱解具有穩(wěn)定性。在具體問題中解

31、的穩(wěn)定性是必需的，否則所得的解就無實用價值。2.6 2.6 函函 數(shù)數(shù)（1）對稱性。 ，即 是偶函數(shù)。形式地作變量代換 ，對于任何連續(xù)函數(shù) ，有這就說明了等式的合理性。更一般地，有對稱性，即對任何連續(xù)函數(shù)，有把上式中的與變換位置，得 。（2）函數(shù)的導數(shù)。設 ，則由 定義的算符稱為函數(shù)的導數(shù)。這個定義的合理性可由下面形式的分部積分看出：( )()xx( )xxt ( )x0() ( )d( ) ()d()(0)txxxtttt00()()xxxx000() ( )d() ( )d()xxxxxxxxx000() ()d( )xxxxx( ) ( )d( ) ( )( )( )d(0)x f xx

32、x f xx fxxf 1( )f xC( ) ( )d(0)x f xxf 3.1 齊次弦振動方程的分離變量法齊次弦振動方程的分離變量法3.2 熱傳導方程混合問題分離變量法熱傳導方程混合問題分離變量法3.3 二維定解問題分離變量法二維定解問題分離變量法3.4 高維混合問題的分離變量法高維混合問題的分離變量法3.5 非齊次方程定解問題的解非齊次方程定解問題的解3.6 非齊次邊界條件定解問題的解非齊次邊界條件定解問題的解3.7 Sturm Liouville固有值問題固有值問題 第三章第三章 分離變量法分離變量法3.1 3.1 齊次弦振動方程的分離變量法齊次弦振動方程的分離變量法一、求解弦振動方

33、程的混合問題2000, 0, 00, 0( ), ( )ttxxxx Ltttua uxL tuuuxux其中為其中為 已知函數(shù)。已知函數(shù)。( ), ( )xx1當時當時 ，方程，方程 的通解為的通解為00XX( )eexxX xAB 2當時當時 ，方程，方程 的通解為的通解為。其中。其中A,B為兩個任意常數(shù)。代入邊界條件，得為兩個任意常數(shù)。代入邊界條件，得00XXXAxB(0)00, ( )0XABX LA LB3當時當時 ，方程，方程 的通解為的通解為00XX( )cossinX xAxBx二、級數(shù)解的物理意義1 ( , )(cossin)sinnnnn atn atn xu x tCDL

34、LL, sinsinnnnnn xux tNtL221, tan,nnnnnnnCn aNCDDL( , )u x t 是由一系列頻率不同、相位不同、振幅不同的是由一系列頻率不同、相位不同、振幅不同的駐波疊加而成的。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波駐波疊加而成的。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波振幅的大小和相位的差異，由初始條件決定，而圓頻率振幅的大小和相位的差異，由初始條件決定，而圓頻率與初始條件無關，所以也稱為弦的固有頻率。與初始條件無關，所以也稱為弦的固有頻率。nn aL三、解的適定性1解的存在性 2000, 0, 00, 0, ttxxxx Ltttua uxL tuuuxux11

35、( , )(cossin)sinnnnnnn atn atn xuux tCDLLL可以驗證上述可以驗證上述Fourier解，既滿足方程，又滿足邊界條件和初始條解，既滿足方程，又滿足邊界條件和初始條件。為了保證解的存在性，我們需要以下兩個充分條件：件。為了保證解的存在性，我們需要以下兩個充分條件： 43, xCxC(0)( )(0)( )(0)( )0LLL2能量積分和解的唯一性弦振動的動能為 ，而位能為 ，弦振動的總能量稱為一維波動方程的能量積分。在沒有外力作用的情況下，總能量應該是守恒的。 201( )d2LtK tux201( )d2LxV tTux( )( )( )E tK tV t(

36、 )E t3.2 3.2 熱傳導方程混合問題分離變量法熱傳導方程混合問題分離變量法在討論熱傳導方程混合問題的求解時，如果所取的邊界條件是第一類的，當使用分離變量法時，它與上節(jié)所運用過的求解方法相類似，這里就不再重復了。如果所取的邊界條件其一端點上是第一類的，另一端點上是第二類的，那么當使用分離變量法時，其基本思路和步驟與上節(jié)所運用過的求解方法也是一致的，只是特征值問題有所不同。定理定理1（極值原理）（極值原理） 區(qū)域R為 ，為區(qū)域R的邊界。假設函數(shù) 在閉域 ： 上連續(xù)，在上滿足熱傳導方程，則該函數(shù)在區(qū)域上的最大值、最小值必在其邊界曲線上取得，即0, 0 xLtT ( , )u x tR0, 0

37、 xLtT max, max, , min, min, RRu x tu x tu x tu x t定理定理2 熱傳導混合問題的解具有唯一性和穩(wěn)定性。3.3 3.3 二維定解問題分離變量法二維定解問題分離變量法求解下列定解問題：其中，A為常數(shù)。0220222110, ()cosuuuuA3.4 3.4 高維混合問題的分離變量法高維混合問題的分離變量法例1 求邊長分別為 的長方體中的溫度分布，設物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為 例2 求解三維靜電場的邊值問題：, , a b c( , , , 0)( , , )u x y zx y z0, 0, 0, 00, , , , 0, 0, , ,

38、0, , 00, , , , xxyyzzuuuxaybzcuy zu a y zu xzu x b zu x yu x y cx y3.5 3.5 非齊次方程定解問題的解非齊次方程定解問題的解I： 1211112222LL( , ), 0, ( , )( , )0(, )(, )0( , 0)( ), ( , 0)( )txxxtuuf x ttxxxa uxtu xta uxtu xtu xxu xx這里 ， 及分別是關于及的二階常系數(shù)線性偏微分算子， 都是非負常數(shù)，。當 是一階算子時，問題I中的初始條件只有： 。求解這類定解問題的一般方法有兩種：固有函數(shù)法和齊次化原理法。 LtLx121

39、2, , , 220(1, 2)iiiLt( , 0)( )u xx3.6 非齊次邊界條件定解問題的解非齊次邊界條件定解問題的解現(xiàn)將解定解問題的主要步驟小結如下：1根據(jù)邊界的形狀選取適當?shù)淖鴺讼?，選取的原則是使在此坐標系中邊界條件的表達式最為簡單。圓、圓環(huán)、扇形等域用極坐標系較方便，圓柱形域與球域分別用柱坐標系與球坐標系較方便。2若邊界條件是非齊次的，又沒有其他條件可以用來定固有函數(shù)，則不論方程是否為齊次，必須先作函數(shù)的代換使之化為具有齊次邊界條件的問題，然后再求解。3非齊次方程、齊次邊界條件的定解問題（不論初始條件如何）可以分為兩個定解問題，其一是具有原來初始條件的齊次方程的定解問題，其二是

40、具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題。第一個問題用分離變量法求解，第二個問題按固有函數(shù)法求解或用齊次化原理求解。3.7 Sturm3.7 Sturm LiouvilleLiouville固有值問題固有值問題一、SturmLiouville方程定理定理1 對于第三類邊值問題 ( )( )( )0, ( )( )0( )( )0k x yq x yx yaxby ahy ay bhy b 在條件k(x)及其一階導數(shù) 和在 上連續(xù)，k(x)， ，在區(qū)間 內為正， 在 內連續(xù)，且在端點a和b上至多有一級極點，而k(x)與 至多有一級零點， ( )x , a b( )x( , )a b( )x( ,

41、)a b( )x（1）固有值具有可數(shù)性。存在無窮多個實的固有值遞增序列 ；與其對應的固有函數(shù) 。（2）固有值的非負性。 。（3）固有函數(shù)系的正交性。設 是任意兩個不同固有值，則對應的固有函數(shù) 與在區(qū)間 以權函數(shù) 正交，即有123nlimnn 123( ), ( ), ( ), , ( ), ny xyxyxyx0nmn( )myx( )nyx , a b( )x( )( )( )d0, bnmax yx yxxmn4展開定理。定義在區(qū)間 上并滿足固有值問題的邊界條件的任意個具有一階連續(xù)導數(shù)f(x)和二階逐段連續(xù)導數(shù)的函數(shù)可按固有函數(shù)系 展成絕對且一致收斂的級數(shù) , a b( )nyx1( )(

42、 )nnnf xf yx其中 2( ) ( )( )d( )( )dbnanbnax f x yxxfx yxx稱為展開式的系數(shù)或廣義Fourier系數(shù)。 4.1 一維波動方程的一維波動方程的d Alembert公式公式4.2 半無界弦振動問題半無界弦振動問題4.3 高維波動方程高維波動方程Cauchy問題問題4.4 非齊次波動方程解法非齊次波動方程解法 第四章第四章 行波法行波法4.1 4.1 一維波動方程的一維波動方程的d d AlembertAlembert公式公式定義定義1 由過點 的兩條斜率分別為 的直線在x軸所截得的區(qū)間 稱為點的依賴區(qū)間。定義定義2 區(qū)間 的決定區(qū)域是指過 點作斜

43、率為 的直線 ，過點 作斜率為 的直線，它們和區(qū)間 一起構成的三角形區(qū)域。( , )x t1a, xat xat12 , xx1x1a1xxat2x1a2xxat12 , xx t (x, t) x 0 xat x+at x=x2at x=x1+at t x=x2at x=x1+at 0 x1 x2 x t x=x1at x=x2+at 0 x1 x2 x (a) (b) (c) 4.2 4.2 半無界弦振動問題半無界弦振動問題一、端點固定端點固定的半無界弦振動定解問題是20, 0( , 0)( ), ( , 0)( ), 0(0, )0ttxxtua uxu xxu xxxut 為了把半無界

44、問題作為保持 的無界問題來處理，必須把 、 和 延拓到整個無界區(qū)域。 (0, )0ut ( , )u x t( )x( )x二、端點自由定解問題是20, 0( , 0)( ), ( , 0)( ), 0(0, )0ttxxtxua uxu xxu xxxut 同理，將dAlembert解代入，得11(0, )022xutatatatata又由于初始位移和初始速度獨立，得, atatatat 可見， 及 均應為正?；呐己瘮?shù)。 x x4.3 4.3 高維波動方程高維波動方程CauchyCauchy問題問題一、三維波動方程 的球對稱解2ttuau將波函數(shù)u用空間球坐標（ ）表示。球對稱就是指u與

45、都無關。在球坐標系中，波動方程變?yōu)? , r , 22222222221111sinsinsinuuuurrrrrrat22222()1rururat二、三維波動方程Cauchy問題平均值法平均值法可以將三維無界空間的自由振動轉化成球對稱情形，把一維的dAlembert公式推廣到三維。設在以 為中心、r為半徑的球面 上的平均值為 。則( , , , )u x y z t( , , )M x y zMrS( , )u r t211( , )(, )d(, )d44MMrrSSu r tu MtSu Mtr三、二維波動方程Cauchy問題的降維法二維波動方程Cauchy問題是2, , , 0, ,

46、 0, , , , 0, ttxxyytuauux ytu x yx yux yx y （）21(, )dd4MMatatSSu M tSSattt dS M at y 0 x z d 四、波動方程Cauchy問題一維、二維、三維的比較考查二維和三維波動方程Cauchy問題200, , , 0( , ), ( , )tttttuaux ytux yux y 200, , , , 0( , , ), ( , , )tttttuaux y ztux y zux y z 1 是一個任意函數(shù)。令則 是函數(shù) 在區(qū)間 上的算術平均值，積分的大小依賴于區(qū)間的中點x和區(qū)間的半徑長。2函數(shù) ，總滿足方程 。3如

47、果要求 還滿足初始條件 ，則只需將被積函數(shù) 換成 。如果 還要求滿足初始條件 ，只需將 換成 。兩者都換了以后， 就成為波動方程一維初值問題的解。( ) x1( , )( )d2x atx atV x tat ( , )V x t( ) , xat xat12( , )( , ), tV x tutV x tut2ttxxua u1u0( )ttux( )x( ) x2u0( )tux( )x( )x12uu五、Poisson公式的物理意義4.4 4.4 非齊次波動方程解法非齊次波動方程解法為了求解無界空間中非齊次波動方程定解問題200( , , , ) , , ( , , ), ( , ,

48、)tttttuauf x y z tx y zux y zux y z ，將定解問題化為200 , , ( , , ), ( , , )tttttuaux y zux y zux y z ，200( , , , ) , , 0, 0tttttuauf x y z tx y zuu ，5.1 Fourier變換變換5.2 Fourier變換的應用變換的應用5.3 Laplace變換變換5.4 Laplace變換的應用變換的應用5.5 其他的積分變換其他的積分變換 第五章第五章 積分變換積分變換5.1 Fourier5.1 Fourier變換變換一、Fourier變換的定義定理定理1 若 ,且在一

49、個周期內只有有限個第一類間斷點與極值點，則其中 ( )(2 )f xf xL01( ), cossin(0)(0)2, 2nnnf xxan xn xabf xf xLLx為連續(xù)點為不連續(xù)點1( )cosd1( )sindLnLLnLn xaf xxLLn xbf xxLL0, 1, 2, n 定義定義1 稱為f(x)的Fourier變換，f(x)稱為 的Fourier逆變換。( )f( )fFourier變換有多種形式。這些形式的差異主要體現(xiàn)在積分號前的系數(shù)以及被積函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的指數(shù)符號。本書采用工程應用中典型的定義形式，這樣的Fourier變換許多性質也可以從物理上得到解釋。 二、正（余

50、）弦變換的定義定義定義2 Fourier余弦變換是指定義定義3 Fourier逆余弦變換是指0( )( )cosdcff xx x02( )cosdcf xfx( )定義定義4 Fourier正弦變換是指定義定義5 Fourier逆正弦變換是指0( )( )sindsff xx x02( )( )sindsf xfx三、Fourier變換的基本性質性質性質1 Fourier變換是一個線性變換：對于任意常數(shù) 、與任意函數(shù) 、 有1( )f x2( )fx1212F( )( )F( )F( )f xfxf xfx定義定義6 設 都滿足Fourier變換的條件，則稱為 的卷積。記為12( ), (

51、)f xfx 12dfxf12( ), ( )f xfx1212( )( )()( )df xfxf xf性質性質2 的卷積的Fourier變換等于 的Fourier變換的乘積： 12( ), ( )f xfx12( ), ( )f xfx1212F( )( )F( )F( )f xfxf xfx11212( )( )F ( )( )f xfxff性質性質3 乘積的Fourier變換等于它們各自的Fourier變換的卷積再乘以系數(shù) ，即 12( ), ( )f xfx1212121F( )( )( )( )2f x fxff性質性質4 F( )j( )fxf( )F( )(j ) ( )kkf

52、xF f x性質性質5 ( )F j( )fxf x性質性質6 設為任意常數(shù)，則設為任意常數(shù)，則 0 x0j0F ()eF ( )xf xxf x性質性質7 設 為任意常數(shù)，則 00j0Fe( )()xf xf性質性質8 1F( )d F ( )jxf ttf x性質性質9 1F ()()f atfaa性質性質10 F ( )( )f xgF ( )2 ()g xf性質性質11 +221( )d( ) d2xxff性質性質12 jj0F ( )ede1xxxxxx（ ）四、n維Fourier變換1 12 21212j()1212F(, , , )F ( , , , ) ( , , , )ed

53、ddn nnnxxxnnf xxxf xxxx xx12(, , , )nf xxx1 12 2j()12121F(, , , )eddd(2)n nxxxnnn n維Fourier變換具有的性質 1212FFFffff1212FFFffff121221FF F(2)f fffFjF , 1, 2, , kkffknxF F j, 1, 2, , kkfx fkn五、Fourier變換在常微分方程中的應用例3 求解 0yxy111F()( j)F()jjjxyFxyyiyyy2F()(j ) yy 221/2/2 j1( )Feed2xRccy x5.2 Fourier5.2 Fourier變

54、換的應用變換的應用Fourier變換法求解步驟為：（1）對定解問題作Fourier變換；（2）求解像函數(shù)；（3）對像函數(shù)作Fourier逆變換。jF ( , )( , )ed( , )xu x tu x tx ut22jj2222dd( , )F( , )( , )ed( , )edddF( , )(j )( , )( , )xxttttxxutux tux txu x txttux tutut 5.3 Laplace5.3 Laplace變換變換一、Laplace變換的定義定義定義1 積分變換 稱為 的Laplace變換，記作 稱為 Laplace逆變換，記作0( )( )edsxf sf

55、xx( )f xL ( )( )f xf sjj1( )( )e d2jsxf xf ss ( )f s1L ( )( )f sf x二、Laplace變換的存在定理定理定理1 若f(x)函數(shù)滿足下述條件：（1）當x0上的解為000222 3/2000( , )1()d d(, ) ()d2()()Vzx yu Mx yG MMf MVxxyyz 推論推論2 Laplace方程Dirichlet問題00()zuuM 在半空間z0上的解為00222 3/2000( , )1()d d2()()zx yu Mx yxxyyz 二、圓和半平面上的Green函數(shù)定理定理3 平面Poisson方程Dir

56、ichlet問題222( , ), ( , )( , )xyRuf x yx yDux y 的解為222012200220001()()d22cos111 lnln( , )d2xyRMMMMDRru MMSRRRrrRf x yrr r推論推論3 平面Laplace方程Dirichlet問題2220, ( , )( , )xyRux yDux y 的解為222220022001()()d22cosxyRRru MMSRRRrr定理定理4 上半平面Poisson方程Dirichlet問題0( , )( )xxyyyuuf x yux的解的表達式為01221111( , )( )dlnln( ,

57、 )d()2MMMMDyu x ysSf x ysxyrr推論推論4 上半平面Laplace方程Dirichlet問題00( )xxyyyuuux的解的表達式為221( , )( )d()yu x ysssxy三、第一象限上的Green函數(shù)平面第一象限上的Green函數(shù)相當于求解定解問題000(), 0, 00, 0 xyGMMxyGG 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 M3 M2 M0 M1 6.6 Laplace6.6 Laplace方程與熱傳導方程的基本解方程與熱傳導方程的基本解一、Lu=0型方程的基本解定義定義1 方程 的解

58、稱為方程 的Green函數(shù)，又稱為基本解。放置于坐標原點的電量為的點電荷的場的勢函數(shù)滿足Poisson方程：L()uM L()uf M ( , , )( , , )u x y zx y z 定義定義2 方程 的解稱為Poisson方程 的基本解。定理定理1 若U是一個基本解，u是相應齊次方程 的任一解，則 仍是基本解，而且方程的全體基本解都可以表示成這種形式。定理定理2 若 是連續(xù)函數(shù)， 滿足方程 ，則卷積( , , )( , , )u x y zx y z ()uf M L0u UuL()uf M ()f M()U ML()uM 3000() ()dRUfU MMf MM二、Poisson方

59、程的基本解定理定理3 空間Poisson方程的特解為0L()/uM 30000()1()d4(, )RMu MMr M M其中， 2220(, )()()()r M Mxyz三、熱傳導方程Cauchy問題的基本解定理4 設 是連續(xù)函數(shù)，且存在，則定解問題(), (, )Mf M t(, )(), (, )(, )U M tMU M tf M tL( , , , )( , , , 0)( , , )uuf x y z ttu x y zx y z的解為3300( , , , )(, )()(, )(, )d (, , , ), , d d d d(, , , ) ( , , , )d d dtR

60、tRu x y z tU M tMU M tf MU xyztU xyztf 定理定理5（ 1）一維熱傳導方程Cauchy問題的基本解為（2）二維熱傳導方程Cauchy問題的基本解為（3）三維熱傳導方程Cauchy問題的基本解為221( , )exp42xU x ta tat22221( , , )exp42xyU x y ta tat322221( , , , )exp42xyzU x y z ta tat四、熱傳導方程邊值問題的基本解定義定義3 定解問題 L , 0, 0(0, )( , )0( , 0)( )tuu txlutu l tu xx的解 稱為( , )U x tL( , ),