數(shù)值積分與微分方法

1、數(shù)值積分與微分 摘要本文首先列舉了一些常用的數(shù)值求積方法，一是插值型求積公式，以公式為代表，并分析了復(fù)合型的公式；另一個(gè)是求積公式，并給出幾個(gè)常用的求積公式。其次，本文對數(shù)值微分方法進(jìn)行分析，主要是差分型數(shù)值微分和插值型數(shù)值微分，都給出了幾種常用的微分方法。然后，本文比較了數(shù)值積分與微分的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)值積分與微分都與插值或擬合密不可分。本文在每個(gè)方法時(shí)都分析了誤差余項(xiàng)，并且在最后都給出了MATLAB的調(diào)用程序。關(guān)鍵詞：插值型積分 差分?jǐn)?shù)值微分 插值型數(shù)值微分 MATLAB7一、 常用的積分方法計(jì)算積分時(shí)，根據(jù)公式，但如果碰到以下幾種情況：1）被積函數(shù)以一組數(shù)據(jù)形式表示；2）被積函數(shù)過于特殊或者

2、原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示3）原函數(shù)十分復(fù)雜難以計(jì)算這些現(xiàn)象中，公式很難發(fā)揮作用，只能建立積分的近似計(jì)算方法，數(shù)值積分是常用的近似計(jì)算的方法。1.1 插值型積分公式積分中的一個(gè)常用方法是利用插值多項(xiàng)式來構(gòu)造數(shù)值求積公式，具體的步驟如下：在積分區(qū)間上上取一組節(jié)點(diǎn)：。已知的函數(shù)值，作的次插值多項(xiàng)式，則其中，為次插值基函數(shù)，則得公式寫成一般形式：其中，顯然，當(dāng)被積函數(shù)為次數(shù)小于等于的多項(xiàng)式時(shí)，其相應(yīng)的插值型求積公式為準(zhǔn)確公式，即：1.1.1 求積公式的代數(shù)精度定義：求積公式對于任何次數(shù)不大于的代數(shù)多項(xiàng)式均精確成立，而對于不精確成立，則稱求積公式具有次代數(shù)精度。定理：含有個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度

3、至少為。1.2 公式1.2.1 公式將積分區(qū)間等分，并取分點(diǎn)為求積公式，這樣構(gòu)造出來的插值型求積公式就是公式。其中，且系數(shù)滿足重要的關(guān)系式：時(shí)，求積公式為梯形公式（兩點(diǎn)公式）：梯形公式具有1階代數(shù)精度，余項(xiàng)為：=2時(shí)，求積公式為公式(三點(diǎn)公式)：公式具有3階代數(shù)精度，余項(xiàng)為：=4時(shí)，求積公式為公式（五點(diǎn)公式）：其中，公式具有5次代數(shù)精度，余項(xiàng)為：1.2.2 復(fù)合公式當(dāng)積分區(qū)間過大時(shí)，直接使用公式所得的積分的近似值很難得到保證，因此在實(shí)際應(yīng)用中為了既能夠提高結(jié)果的精度，又使得算法簡便且容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，往往采用復(fù)合求積的方法。所謂復(fù)合求積，就是先將積分區(qū)間分成幾個(gè)小區(qū)間，并從每個(gè)小區(qū)間上用低階

4、公式計(jì)算積分的近似值，然后對這些近似值求和，從而得到所求積分的近似值，由此得到一些具有更大實(shí)用價(jià)值的數(shù)值求積公式，統(tǒng)稱為復(fù)合求積公式。將區(qū)間等分，記分點(diǎn)為，其中，稱為步長，然后在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)利用梯形公式，即可導(dǎo)出復(fù)合梯形公式：若將所得積分近似值記為，并注意到，則復(fù)合梯形公式為：其余項(xiàng)為：類似可得復(fù)合公式：其中，.其余項(xiàng)為：1.2.3 公式在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)1）復(fù)合梯形數(shù)值積分：調(diào)用形式：Z=trapz(X,Y)其中，X,Y分別代表數(shù)目相同的向量或者數(shù)值，Y與X的關(guān)系可以是函數(shù)形態(tài)或者離散形態(tài)；Z代表返回的積分值。2）自適應(yīng)公式基本調(diào)用格式：q=quad（fun，a，b，tol，trace，

5、p1，p2）其中：fun代表被積函數(shù)；a，b為積分的上下限；q為積分結(jié)果；tol為默認(rèn)誤差限，默認(rèn)了1.e-6；trace表示取0表示不用圖形顯示積分過程，非0表示用圖形顯示積分過程；p1，p2為直接傳遞給函數(shù)fun的參數(shù)3）自適應(yīng)Lobatto法數(shù)值積分：quadl（） Quadl是高階的自適應(yīng)數(shù)值積分法函數(shù)，比quad函數(shù)更有效，精度更高，使用方法與quad完全相同。1.3 求積公式1、精度較高公式（1）多項(xiàng)式。以點(diǎn)為零點(diǎn)的n次多項(xiàng)式： 上式稱為多項(xiàng)式（2）求積公式。以多項(xiàng)式的n個(gè)實(shí)根為節(jié)點(diǎn)的插值求積公式為求積公式?？紤]在上求積公式的構(gòu)造1）一個(gè)節(jié)點(diǎn)2）兩個(gè)節(jié)點(diǎn)二次正交多項(xiàng)式所以兩點(diǎn)的求積

6、公式為：對于一般區(qū)間的積分，可以用將區(qū)間轉(zhuǎn)化為，即然后用相應(yīng)的求積公式計(jì)算。（3）一般形式的求積公式為：其中是一個(gè)權(quán)重函數(shù)，為系數(shù)，為橫坐標(biāo)上的節(jié)點(diǎn)。因?yàn)?，所以，一個(gè)n點(diǎn)的求積公式具有如下形式：其中，是函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的值，節(jié)點(diǎn)是正交多項(xiàng)式的根。給出x和A的表格：n正交多項(xiàng)式102213,42、在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)MATLAB沒有提供的有關(guān)計(jì)算函數(shù)，此處給出一部分的編程代碼：function q=gaussL（f，a，b，x，A）N=length（x）；T=zeros（1，N）；T=（a+b）/2+(b-a)/2)*x;q=(b-a)/2)*sum(A.*feval(f.T);其中，f為被積函數(shù)

7、；x和A的值可有上表查到。二、 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分的建立常用的三種思路：1、 直接從微分的定義出發(fā)，通過近似的處理（泰勒展開），得到數(shù)值微分的近似公式；2、 利用插值的基本思想，采用插值近似公式，對插值公式的近似求導(dǎo)得到原數(shù)值微分的近似公式3、 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用最小二乘擬合的方法，得到近似的函數(shù)，然后對此近似函數(shù)求微分就可以得到數(shù)值微分的近似公式。2.1 差分法近似微分1、計(jì)算公式在微積分中，一階微分的計(jì)算可以在相鄰點(diǎn)和間函數(shù)取得極限求得。所以給出下列差分近似式子：一階向前差分：一階向后差分：精度較高的一階中心差分：2、在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)調(diào)用形式：Y=diff(X,n)其中：X表示求導(dǎo)變量

8、，可以是向量或者矩陣。如是矩陣形式則按照各列做差分；n表示n階差分，即差分n次；用diff函數(shù)進(jìn)行離散數(shù)據(jù)的近似求導(dǎo)與向前差分近似，但誤差較大?？梢詫?shù)據(jù)利用插值或者擬合得到多項(xiàng)式，然后對近似多項(xiàng)式進(jìn)行微分。2.2 插值型近似微分1、方法概述插值公式，使得其中，利用插值公式近似替代原函數(shù)，再對插值公式求導(dǎo)，可得插值型求導(dǎo)公式為：余項(xiàng)為：特別的，n=1時(shí)，可得一階微分兩點(diǎn)公式為：n=2時(shí)， 下面給出一個(gè)常用的五點(diǎn)公式：2、三次樣條插值函數(shù)求微分的MATLAB函數(shù)由于三次樣條插值的導(dǎo)數(shù)近似被插值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的效果很好，此處給出三次樣條插值函數(shù)的MATLAB調(diào)用步驟：Step1：對離散數(shù)據(jù)用csapi函

9、數(shù)（或者spline函數(shù)），得到其三次樣條插值函數(shù)調(diào)用形式 pp=csapi（x，y）其中，x，y分別為離散數(shù)據(jù)對的自變量和因變量；pp為得到的三次樣條插值函數(shù)Step2：用fnder函數(shù)求三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)調(diào)用形式 fprime=fnder（f，dorder）其中，f為三次樣條插值函數(shù)，dorder為三次樣條插值函數(shù)的求導(dǎo)階數(shù)； fprime為得到的三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值Step3：用fnval函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)在未知點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值調(diào)用形式 v=fnval（fprime，x）其中，fprime為三次樣條插值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)；x為未知點(diǎn)處自變量值；v為未知點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。三、 數(shù)值積分與微分的比較1、數(shù)值解法微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在實(shí)際工程中有許多重要的應(yīng)用。微積分的數(shù)值解法，是不同于高等數(shù)學(xué)中的解析方法，適合求解沒有或者很那求出微分或者積分解析表達(dá)式的實(shí)際問題的計(jì)算。2、數(shù)值積分與微分與插值和擬合的關(guān)系數(shù)值微分與數(shù)值積分依賴插值和擬合，二者之間密不可分。比如在進(jìn)行數(shù)值微分時(shí)，針對離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，常常利用插值和擬合來減少數(shù)據(jù)誤差。數(shù)值積分的基本思路也來自于插值法。比如當(dāng)所積函數(shù)的形式比較復(fù)雜或是通過表格形式給出，則可以通過構(gòu)造插值多項(xiàng)式來代替原函數(shù)，簡化問題。插值型求積公式是以構(gòu)造插值函數(shù)代替原