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1、錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校電子教案教 案20162017學(xué)年度第一學(xué)期課 程 名 稱(chēng)思想道德修養(yǎng)與法律基礎(chǔ)教學(xué)單位計(jì)算機(jī)系教研室數(shù)學(xué)任 課 教 師陳藝華職 稱(chēng)助教授課班級(jí)2017級(jí)各專(zhuān)業(yè)錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校第 1 頁(yè) 共 69 頁(yè)20162017學(xué)年度第一學(xué)期授課課程:思想道德修養(yǎng)與法律基礎(chǔ) 授課教師:陳藝華章 節(jié)緒論-珍惜大學(xué)生活 開(kāi)拓新的境界授課班級(jí)2017級(jí)數(shù)學(xué)教育1、2班授課時(shí)間2017 年11月11日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 2學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.了解大學(xué)生活的特點(diǎn),了解大學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和方法;2.了解人際交往的特點(diǎn),掌握人際交往的原則和藝術(shù)。教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)大學(xué)生活特點(diǎn),學(xué)習(xí)方法,
2、構(gòu)建和諧的人際交往關(guān)系難點(diǎn):如何引導(dǎo)新生盡快適應(yīng)新環(huán)境,確立新目標(biāo)。教學(xué)(具)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)方法視頻播放、啟發(fā)式和案例研討教學(xué)法教學(xué)主要內(nèi)容一、介紹本門(mén)課程的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)時(shí)、考核方式、學(xué)習(xí)方法二、觀看并討論視頻三、大學(xué)生活的新變化及適應(yīng)策略教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課視頻播放貴州大學(xué)校長(zhǎng)鄭強(qiáng)教授在央視一套開(kāi)講啦做的一期節(jié)目,節(jié)目中鄭強(qiáng)教授講述了自己理解中的大學(xué)內(nèi)涵。討論三個(gè)問(wèn)題:1、大學(xué)生活與中學(xué)生活相比,有什么變化?2、大學(xué)生活有哪些新奇和驚喜,又有什么困惑和不適?3、大學(xué)生活的新變化對(duì)大學(xué)生提出了哪些新要求?二、講授新課(一)案例分析過(guò)渡:通過(guò)以上的講述我們知道了大學(xué)生活的
3、特點(diǎn)及與中學(xué)生活的不同,面對(duì)學(xué)習(xí)要求、生活環(huán)境和社會(huì)活動(dòng)方面的變化,我們是否要進(jìn)行適應(yīng)呢?能否很好的適應(yīng)呢?適應(yīng)不好的話(huà),會(huì)產(chǎn)生哪些問(wèn)題呢?:案例1:反面案例2:正面案例總結(jié):大學(xué)生活常見(jiàn)的不適應(yīng)現(xiàn)象主要有:學(xué)習(xí)方法、人際交往、戀愛(ài)、心理健康等方面的問(wèn)題。這些都是屬于大學(xué)新生的普遍現(xiàn)象。我們要以積極的態(tài)度,勇敢地面對(duì)這些問(wèn)題,主動(dòng)而努力地去調(diào)整和適應(yīng)大學(xué)的生活。(二)適應(yīng)策略(1)提高獨(dú)立生活能力(2)樹(shù)立新的學(xué)習(xí)理念(3)培養(yǎng)優(yōu)良學(xué)風(fēng)(4)確立成才目標(biāo),塑造嶄新形象(5)構(gòu)建和諧的人際關(guān)系1)人際交往原則2)人際交往的藝術(shù)三、課堂小結(jié)1、給同學(xué)們推薦大學(xué)生必看勵(lì)志書(shū)籍。作業(yè):結(jié)合自己的專(zhuān)業(yè)和
4、大學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn),制訂一份大學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)劃書(shū)1. 利用10分鐘引入新課,播放視頻2. 利用25分鐘組織學(xué)生討論發(fā)言(啟發(fā)式教學(xué))5分鐘總結(jié)討論10分鐘歸納分析大學(xué)生活常見(jiàn)的問(wèn)題35分鐘理論講述新生適應(yīng)大學(xué)生活的基本策略5分鐘布置作業(yè)和解疑板 書(shū) 設(shè) 計(jì)緒論 珍惜大學(xué)生活 開(kāi)拓新的境界一、認(rèn)識(shí)大學(xué)二、大學(xué)生活常見(jiàn)的不適應(yīng)現(xiàn)象三、適應(yīng)策略樹(shù)立新的學(xué)習(xí)理念構(gòu)建和諧的人際關(guān)系教學(xué)反思章 節(jié)1.1復(fù)數(shù)(二)授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.會(huì)求復(fù)數(shù)的乘冪與方根,掌握共軛復(fù)數(shù)的公式2.掌握歸納的數(shù)學(xué)方法,能應(yīng)用復(fù)數(shù)理論解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):
5、復(fù)數(shù)的方根. 難點(diǎn):復(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算.教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板、圓規(guī)教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法教學(xué)主要內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的乘冪和方根二、共軛復(fù)數(shù)三、應(yīng)用教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的三種形式,利用指數(shù)式來(lái)解決乘冪和方根二、講授新課(一) 復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.乘冪. 設(shè),則當(dāng)時(shí),棣莫弗公式 例1.3 求用表示的式子提示:利用棣莫弗公式及兩復(fù)數(shù)相等的條件來(lái)解決此問(wèn)題2.方根. 解方程,求,設(shè),帶入得從而有,則結(jié)論:(1)開(kāi)n次方就有n個(gè)根;(2)這n個(gè)根為內(nèi)接于以原點(diǎn)為心,為半徑的圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)(圖1-2).圖1-2例1.4 解方程步驟:(1)解出并將-8化為三角式或指數(shù)式(
6、其中) (2) (3)分別解出三個(gè)根(二) 共軛復(fù)數(shù)1.模與輻角的關(guān)系:2.常用公式(1) (2)設(shè)表示對(duì)于復(fù)數(shù),的任一有理運(yùn)算,則例1.5 設(shè)是兩個(gè)復(fù)數(shù),試證,并用此不等式證明.證 又由于,則兩邊開(kāi)平方得.(三) 應(yīng)用例1.6 連接的線(xiàn)段的參數(shù)方程為 連接的直線(xiàn)的參數(shù)方程為引申:三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件為(為非0非1實(shí)數(shù))三、課堂練習(xí) 解方程四、課堂小結(jié)復(fù)數(shù)的乘冪和方根的求法,共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)公式,三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件五、布置作業(yè)P423、4;P439提問(wèn)復(fù)數(shù)的三種形式啟發(fā)學(xué)生尋找復(fù)數(shù)與其乘冪模和輻角的關(guān)系,得出結(jié)論學(xué)生容易得出錯(cuò)誤結(jié)論,提示學(xué)生思考輻角意義提示解題步驟,由老師學(xué)生共同完成熟練靈活地運(yùn)
7、用這些公式,對(duì)化簡(jiǎn)計(jì)算、解答問(wèn)題都會(huì)帶來(lái)方便提示學(xué)生利用共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)公式類(lèi)比求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,有學(xué)生說(shuō)出第二題的答案師生共同探討參數(shù)為何值(教材上面有錯(cuò)誤)學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)1四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根 2.方根 練習(xí)1、乘冪 推導(dǎo)過(guò)程 例題 例題板書(shū)2五、共軛復(fù)數(shù) 例題 六、應(yīng)用公式 例題教學(xué)反思章 節(jié)1.2復(fù)平面上的點(diǎn)集 1.3復(fù)變函數(shù)(一)授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.熟悉平面點(diǎn)集基本概念,熟練區(qū)分簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)、光滑曲線(xiàn)和區(qū)域2.對(duì)復(fù)變函數(shù)概念有初步了解教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):區(qū)域的概念. 難點(diǎn):復(fù)變函數(shù)
8、概念的理解.教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板、圓規(guī)教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念二、復(fù)變函數(shù)的概念教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課1.提問(wèn)數(shù)學(xué)分析中聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、邊界點(diǎn)、有(無(wú))界集概念.2.回憶上節(jié)提到的線(xiàn)段、直線(xiàn)等,它們都是復(fù)平面的點(diǎn)集,后續(xù)課中講到解析函數(shù),其定義域、值域均為復(fù)平面上某點(diǎn)集.二、講授新課(一)平面點(diǎn)集基本概念 1.點(diǎn)集的基本概念(1)的鄰域,的去心鄰域(2)聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、孤立點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、邊界(3)閉集、開(kāi)集;有界集、無(wú)界集(4)區(qū)域、閉域充分理解上述定義,得出以下結(jié)論:1)內(nèi)點(diǎn)必為聚點(diǎn);2)聚點(diǎn)可能屬于E,可能不屬于E;3)孤立點(diǎn)必為邊界點(diǎn);
9、4)有邊界的不一定是有界集,無(wú)邊界的必為無(wú)界集. 例1.7 (1)帶形區(qū)域(圖1-3);(2)同心圓環(huán)區(qū)域(圖1-4)圖1-3 圖1-42.若當(dāng)曲線(xiàn) 圖1-5非簡(jiǎn)單曲線(xiàn) 圖1-6簡(jiǎn)單曲線(xiàn) 圖1-7非簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) 圖1-8簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) 圖1-9光滑曲線(xiàn) 圖1-10 光滑閉曲線(xiàn)(二)復(fù)變函數(shù)1.定義(圖1-11)單值, 多值圖1-112.代數(shù)式,指數(shù)式 例1.8 設(shè)有函數(shù)試問(wèn)它把平面上的下列曲線(xiàn)分別變成平面上的何種曲線(xiàn)?(1)以原點(diǎn)為心,2為半徑,在第一象限例的圓弧;(2)傾角的直線(xiàn);(3)雙曲線(xiàn). 解 設(shè),則(1)對(duì)應(yīng)平面的圖形為以原點(diǎn)為心,4為半徑,在軸上方的半圓周(2)射線(xiàn)(3) ,故,所以在平
10、面上的像為直線(xiàn).三、課堂練習(xí) 設(shè)函數(shù) (1) (2),分別寫(xiě)成什么形式?四、課堂小結(jié) 若當(dāng)曲線(xiàn)與區(qū)域的概念;復(fù)變函數(shù)的概念五、布置作業(yè)P4310、11鄰域?yàn)閺?fù)數(shù)列與極限論的基礎(chǔ)此部分內(nèi)容師生共同討論完成對(duì)于若當(dāng)曲線(xiàn),給出圖形舉例,省去繁瑣而抽象的定義贅述對(duì)比數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的概念,找到異同點(diǎn)解釋復(fù)變函數(shù)的圖象需要四維空間,不能形象描述提示學(xué)生前兩題考慮模與輻角,三題考慮代數(shù)關(guān)系,師生共同討論完成學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)11、平面點(diǎn)集基本概念 結(jié)論 畫(huà)圖解釋 2、若當(dāng)曲線(xiàn)與區(qū)域 畫(huà)圖解釋若當(dāng)曲線(xiàn) 例題板書(shū)2畫(huà)圖解釋區(qū)域 2、復(fù)變函數(shù) 例題 定義 兩種形式 教學(xué)反思章 節(jié)
11、1.3復(fù)變函數(shù)(二) 1.4復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.理解復(fù)變函數(shù)的性質(zhì),會(huì)應(yīng)用極限、連續(xù)解決相關(guān)問(wèn)題 2.充分理解無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面的概念 3.培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、歸納的能力教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)難點(diǎn):利用極限、連續(xù)的語(yǔ)言解決問(wèn)題教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板、圓規(guī)教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容1.復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) 2.利用極限、連續(xù)的語(yǔ)言證明相關(guān)結(jié)論 3.復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、復(fù)習(xí)舊知、導(dǎo)入新課提問(wèn):數(shù)學(xué)分析中函數(shù)極限和連續(xù)的概念二、講授新課(一)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) 1.極
12、限 注:指沿四面八方通向的任何路徑趨近于. 定理1.1 的充要條件為,.證 由于有 ,則 即, 由,有和于是即 2.連續(xù) 例1.9 證明在原點(diǎn)無(wú)極限,從而在原點(diǎn)不連續(xù). 解 . 設(shè),則=.極限不存在,故在原點(diǎn)不連續(xù) 例1.10 設(shè),則在的某去心鄰域內(nèi)有界. 析:要找到某一,使.由知有.在此式中想解出,需要利用絕對(duì)值不等式 ,解出 例1.11 設(shè),則在的某鄰域內(nèi)恒不為零. 析:即證,由有有想證利用絕對(duì)值不等式得只需取即可. 此題過(guò)程由學(xué)生完成.(二)復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)1.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的引入:首節(jié)課引例3知球面上點(diǎn)在平面上無(wú)對(duì)應(yīng)點(diǎn),引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng),得到擴(kuò)充復(fù)平面,與之對(duì)應(yīng)的球面為復(fù)球面.擴(kuò)充復(fù)平面
13、的一個(gè)幾何模型就是復(fù)球面.2. 3.相關(guān)結(jié)論:復(fù)平面以點(diǎn)為唯一邊界點(diǎn),擴(kuò)充復(fù)平面以點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn),且它是唯一無(wú)邊界區(qū)域.三、課堂練習(xí) 設(shè)函數(shù) 試證:在原點(diǎn)不連續(xù).四、課堂小結(jié) 復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)的語(yǔ)言,復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面的概念五、布置作業(yè)P44-14、15對(duì)比數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)定義書(shū)上的證明過(guò)程比較簡(jiǎn)潔,不易理解,將詳細(xì)證明過(guò)程板書(shū)演示連續(xù)滿(mǎn)足三點(diǎn),和實(shí)函數(shù)相同提問(wèn):如果設(shè),可否證明得出相應(yīng)結(jié)論??jī)傻览}由教師分析解題思路,證明過(guò)程由師生共同完成提問(wèn):是否可取其他值?只要取都可證明學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)11、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) 定理與證明 (2)連續(xù)定義 (1)極限定義
14、 例1.9 板書(shū)2例題1.10 例1.11 2.復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) (1)復(fù)球面、擴(kuò)充復(fù)平面定義 (2)鄰域、去心鄰域 (3)結(jié)論 教學(xué)反思章 節(jié)2.1 解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的概念 2.了解解析函數(shù)的概念,掌握判斷解析函數(shù)的方法 3.培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、歸納的能力教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):解析函數(shù)的判斷方法難點(diǎn):解析函數(shù)必要、充要條件定理的證明教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 二、解析函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì) 三、C.-R.方程教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè)
15、 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象為解析函數(shù),它是一類(lèi)具有某種特性的可為函數(shù),本節(jié)我們來(lái)研究這類(lèi)函數(shù)和它的性質(zhì).二、講授新課(一)解析函數(shù) 1.導(dǎo)數(shù) 2.微分 結(jié)論:(1)在一點(diǎn)可導(dǎo)可微 (2)可微連續(xù) 例2.1 證明在平面處處不可微 證 ,當(dāng)分別取實(shí)數(shù)和純虛數(shù)時(shí),極限不同,則極限不存在,從而在平面處處不可微.例2.2 求的導(dǎo)數(shù) (二)解析函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì)1. 解析函數(shù):在區(qū)域內(nèi)可微,則稱(chēng)為內(nèi)的解析函數(shù)“解析”概念解釋?zhuān)?1)在解析:在的某一鄰域內(nèi)解析;(2)在區(qū)域解析:在區(qū)域可微;(3)在閉域解析:在包含閉域的區(qū)域解析.經(jīng)過(guò)上述解釋?zhuān)傻靡韵陆Y(jié)論:(1)在解析在可微;(2) 在區(qū)域
16、解析在區(qū)域可微2. 奇點(diǎn):不解析點(diǎn)(無(wú)定義、不連續(xù)、不可導(dǎo))(三)柯西-黎曼方程1. C.-R.方程的引出假設(shè)是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)定義在區(qū)域內(nèi)的函數(shù).當(dāng)二元實(shí)函數(shù)給定時(shí),此函數(shù)也就完全確定.一般說(shuō)來(lái),如果函數(shù)相互獨(dú)立,即使函數(shù)對(duì)所有的偏導(dǎo)數(shù)都存在,函數(shù)通常仍是不可微的.例如,處處連續(xù),并且對(duì)的一切偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù),但卻是一個(gè)處處不可微的函數(shù).提出想法:如果函數(shù)是可微的,它的實(shí)部與虛部應(yīng)不是獨(dú)立的,而必須適合一定的條件,下面我們來(lái)探討這種條件。探討:若在一點(diǎn)可微,則有 (2.1)設(shè),則(2.1)變?yōu)?(2.2)先設(shè),則(2.2)式變?yōu)榧?(2.3)再設(shè),則(2.2)式變?yōu)榧?(2.4)比較(2.3
17、)與(2.4)得出 (C.-R.)上述方程稱(chēng)為柯西黎曼方程,簡(jiǎn)稱(chēng)為C.-R.方程. 2. 函數(shù)若在一點(diǎn)可微必要條件:在滿(mǎn)足C.-R.方程.充要條件:在可微;在滿(mǎn)足C.-R.方程.充分條件:在連續(xù);在滿(mǎn)足C.-R.方程. 3. 函數(shù)若在區(qū)域解析充要條件:在區(qū)域可微;在區(qū)域滿(mǎn)足C.-R.方程.充分條件:在區(qū)域連續(xù);在區(qū)域滿(mǎn)足C.-R.方程. 4. 求導(dǎo)公式例2.3 討論函數(shù)的解析性解 ,故.又這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù),則只在可微,但在整個(gè)平面上處處不解析.例2.4 討論函數(shù)的可微性和解析性.解 故,要滿(mǎn)足C.-R.方程,必須,故僅在直線(xiàn)上滿(mǎn)足C.-R.方程,且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),從而僅在直線(xiàn)上可微,但
18、在平面上處處不解析. 并且三、課堂練習(xí) 試證函數(shù)在平面上解析,且.四、課堂小結(jié) 函數(shù)在某點(diǎn)可微的必要、充要、充分條件;函數(shù)在某區(qū)域的充要、充分條件五、布置作業(yè)P903、4、5、8提問(wèn)數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)與微分的概念,類(lèi)比得出復(fù)變函數(shù)相關(guān)概念例2.2的求導(dǎo)法則和數(shù)學(xué)分析中一樣,由學(xué)生完成熟練掌握解析的概念學(xué)生分組討論,完成證明過(guò)程,體現(xiàn)師范學(xué)生的示范性教師點(diǎn)睛掌握函數(shù)解析性的一般方法,由學(xué)生總結(jié)步驟學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)11、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 2、解析函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì) (1)導(dǎo)數(shù) (1)解析函數(shù) (2)微分 例2.2 例2.1 (2)奇點(diǎn) 板書(shū)23、柯西-黎曼方程 (
19、2)函數(shù)在某點(diǎn)可微的各條件 例2.3(1) C.-R.方程的引出 (3)函數(shù)在某區(qū)域可微的各條件 例2.4 教學(xué)反思章 節(jié)2.2 初等解析函數(shù)授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.掌握指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì),并掌握其與實(shí)變函數(shù)的異同2.會(huì)利用解析函數(shù)的性質(zhì)解決一般復(fù)數(shù)性問(wèn)題教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì). 難點(diǎn):復(fù)函與實(shí)函相應(yīng)知識(shí)的不同.教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、指數(shù)函數(shù)二、三角函數(shù)三、雙曲函數(shù)教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課上節(jié)課我們將數(shù)學(xué)分析中的知識(shí)平行推廣到復(fù)變函數(shù)中,本節(jié)課我們
20、來(lái)研究初等函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中的推廣,會(huì)得到一些性質(zhì),其中有與數(shù)學(xué)分析不同的新性質(zhì),利用這些性質(zhì)我們可以解決一些復(fù)數(shù)性問(wèn)題。二、講授新課(一)指數(shù)函數(shù) 1.定義 2.性質(zhì) (1) ;(2) ;(3) 以為基本周期,以為周期;(4) 無(wú)意義;(5) 不滿(mǎn)足Rolle定理,滿(mǎn)足羅比達(dá)法則.(二)三角函數(shù) 1.定義 教學(xué)設(shè)計(jì):由歐拉公式啟發(fā)學(xué)生思考怎樣求出和,將以復(fù)數(shù)代替,便得到正余弦的定義.2.性質(zhì) (1);(2) 是奇函數(shù),是偶函數(shù),并滿(mǎn)足三角恒等式;(3) 都以為基本周期;(4) 的零點(diǎn)為,的零點(diǎn)為;(5) 在復(fù)數(shù)域無(wú)界.(三)雙曲函數(shù) 定義 雙曲正余弦 記憶方法:正余弦定義中去掉所有的即可.例2
21、.5 求的值解 =例2.6 ,若解 由已知有,即,于是 所以 則 .三、課堂練習(xí)利用定義證明四、課堂小結(jié) 指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì),與數(shù)分的不同之處五、布置作業(yè)P9110 P92-13、14(1)(2)學(xué)生回答;(3)給出基本周期和周期的概念,證明由學(xué)生完成,強(qiáng)調(diào)與數(shù)分中不同;(4)舉例說(shuō)明;(5)回憶數(shù)分相關(guān)知識(shí), Rolle定理和羅比達(dá)法則,由學(xué)生驗(yàn)證(2)驗(yàn)證和差化積公式之一;(3)由學(xué)生討論并驗(yàn)證;(4)求解有難度,教師板演一個(gè),另一個(gè)由學(xué)生完成;(5)反例無(wú)界,強(qiáng)調(diào)與數(shù)分中不同雙曲函數(shù)為選修內(nèi)容按照正余弦定義解決此類(lèi)型問(wèn)題學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)11、指數(shù)
22、函數(shù) 性質(zhì)相關(guān)證明(1)定義(2)性質(zhì) 2.三角函數(shù) (1)定義 (2)性格 板書(shū)2性質(zhì)相關(guān)證明 3.雙曲函數(shù) 例2.6 例2.5 教學(xué)反思章 節(jié)2.3 初等多值函數(shù)授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.明確對(duì)數(shù)函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù)的概念2.會(huì)求一個(gè)復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)和復(fù)指數(shù)教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):復(fù)對(duì)數(shù)的求法. 難點(diǎn):將一般指數(shù)函數(shù)歸為求解復(fù)對(duì)數(shù).教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、對(duì)數(shù)函數(shù)二、一般指數(shù)函數(shù)教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課前幾節(jié)課我們研究了初等解析函數(shù),它們分別是指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù),這三類(lèi)函數(shù)均為
23、單值函數(shù)。本節(jié)課介紹兩種多值函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù).提問(wèn):指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的定義.二、講授新課(一)對(duì)數(shù)函數(shù) 1.定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)即為對(duì)數(shù)函數(shù),稱(chēng)為復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù),記為2.求解公式推導(dǎo).設(shè) 則變?yōu)?,即,于是?得出對(duì)數(shù)公式主值問(wèn):“負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)”在復(fù)數(shù)域是否成立? 例2.7 例2.8 (二)一般指數(shù)函數(shù)1.定義 稱(chēng)為一般指數(shù)函數(shù).2.求解方法 例2.9 (1)(2) 三、課堂練習(xí) 1. 求 2. 解方程(1) (2) (3) (4) 3. 試求之值.四、課堂小結(jié) 1.對(duì)數(shù)函數(shù)的求解方法2.一般指數(shù)函數(shù)的求解方法.五、布置作業(yè)P9320、24找學(xué)生回答定義,鞏固上節(jié)課的內(nèi)容提示注意區(qū)別在設(shè)
24、時(shí),讓學(xué)生思考設(shè)代數(shù)式還是指數(shù)式,學(xué)生討論完成負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù),強(qiáng)調(diào)與實(shí)變函數(shù)的不同之處例2.8由學(xué)生完成,并復(fù)習(xí)主輻角的求法對(duì)比高中數(shù)學(xué)中的對(duì)數(shù)恒等式,提示注意區(qū)別由學(xué)生板演,教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)11、對(duì)數(shù)函數(shù) 練習(xí)(1)定義(2)求解公式推導(dǎo) 例題 板書(shū)22.一般指數(shù)函數(shù) 例題 練習(xí)(1)定義(2)求解方法 教學(xué)反思章 節(jié)3.1 復(fù)積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.充分理解復(fù)積分的概念2.會(huì)求簡(jiǎn)單的復(fù)積分3.培養(yǎng)學(xué)生利用已知探索解題方法的自主學(xué)習(xí)精神教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):復(fù)積分
25、的計(jì)算. 難點(diǎn):參數(shù)思想.教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、復(fù)積分的定義二、復(fù)積分的計(jì)算三、復(fù)積分的性質(zhì)四、積分估值教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課復(fù)積分是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具,積分的概念和數(shù)學(xué)分析中積分的概念相似。提問(wèn):在數(shù)學(xué)分析中積分是如何定義的?分幾個(gè)步驟求解?二、講授新課(一)復(fù)積分的定義 1.準(zhǔn)備知識(shí)(1)周線(xiàn):逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn).(2)方向:“反時(shí)針”為正,“順時(shí)針”為負(fù).2.定義 設(shè)有向曲線(xiàn)以為起點(diǎn),為終點(diǎn),沿有定義.順著從的方向在上取分點(diǎn):把曲線(xiàn)分成若干個(gè)小弧段.在從的每一段弧上任取一點(diǎn),作和數(shù).當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多,而這些弧段長(zhǎng)度的最大值趨于
26、零時(shí),如果和數(shù)的極限存在且等于,則稱(chēng)沿可積,而稱(chēng)為沿的積分,并記為.為積分路徑.3.注意 (1)若存在,一般不能寫(xiě)成,因?yàn)榉e分和路徑有關(guān).(2)可積的必要條件是有界.(二)復(fù)積分的計(jì)算步驟1.寫(xiě)出積分路徑的參數(shù)方程.2.代入3.計(jì)算此實(shí)積分.例3.1 計(jì)算積分.(1)連接由0到的直線(xiàn)段 (2)連接0到1以及1到的直線(xiàn)段所組成的折線(xiàn).解 設(shè)點(diǎn)1為,點(diǎn)為(1),(2)(三)復(fù)積分的基本性質(zhì)1.2. 3. ,由銜接而成4. 5. (四)積分估值定理3.1 連續(xù),存在使,為之長(zhǎng),則.三、課堂練習(xí) 證明四、課堂小結(jié) 復(fù)積分的定義,計(jì)算方法,基本性質(zhì),積分估值五、布置作業(yè)P1411,P1422(1)(2)
27、定積分的求法:分割,近似求和,取極限周線(xiàn)的概念為第二節(jié)做準(zhǔn)備由學(xué)生回憶數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)概念,對(duì)應(yīng)著模擬出復(fù)積分的概念,教師給予及時(shí)評(píng)價(jià)讓學(xué)生考慮如果積分路徑是順時(shí)針,結(jié)果會(huì)怎樣?例題說(shuō)明,即使起點(diǎn)終點(diǎn)一樣,只要積分路徑不同,結(jié)果就可能不同將數(shù)學(xué)分析中的性質(zhì)平移過(guò)來(lái),讓學(xué)生找出它們的異同學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)11、復(fù)積分定義 (3)注意 例題 (1)準(zhǔn)備知識(shí) (2)定義 2.復(fù)積分的計(jì)算 步驟 板書(shū)23.復(fù)積分的性質(zhì) 例題 4.積分估值 教學(xué)反思章 節(jié)3.2 柯西積分定理授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.掌握柯西
28、積分定理及其3個(gè)推廣2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和延拓知識(shí)的能力教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):柯西積分定理. 難點(diǎn):定理的證明.教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、柯西積分定理二、不定積分三、柯西積分定理的推廣 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課上節(jié)課我們講到若積分路徑不同,積分值也可能不同,本節(jié)課我們來(lái)研究積分值與積分路徑無(wú)關(guān)的情況.二、講授新課(一)柯西積分定理 1.準(zhǔn)備知識(shí)(1)單連通區(qū)域:在內(nèi)任意畫(huà)簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),其內(nèi)部都含于;(2)周線(xiàn):逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn).2.定理3.2(柯西積分定理) 設(shè)在平面的單連通區(qū)域內(nèi)解析,為內(nèi)任一周線(xiàn),則.3.定理3.3(柯西積分定理推廣1) 設(shè)在平
29、面的單連通區(qū)域內(nèi)解析,為內(nèi)任一閉曲線(xiàn),則.證 如圖3-1,可看出曲線(xiàn)總可以看作由有限條周線(xiàn)銜接而成,于是有由定理3.2知柯西積分定理的結(jié)論依然成立.圖3-1推論3.4 在平面的單連通區(qū)域內(nèi)解析,則在內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān),即之值不依賴(lài)于內(nèi)連接的曲線(xiàn).圖3-2證 是連接任意兩曲線(xiàn)(如圖3-2),則銜接成內(nèi)一閉曲線(xiàn).于是有,移項(xiàng)即得證(二)不定積分1.變上限積分 (定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn))2.的關(guān)系.定理3.5 在單連通區(qū)域內(nèi)解析,則在內(nèi)解析,且.分析證明,即證,即證下式成立.證 以為心作一個(gè)含于內(nèi)的小圓,在小圓內(nèi)取動(dòng)點(diǎn),于是 (3.1)又因?yàn)?(3.2)(3.1)減(3.2)得 .根據(jù)在內(nèi)的連續(xù)性,對(duì)于任給的,只
30、要開(kāi)始取的那個(gè)小圓足夠小,則小圓內(nèi)一切點(diǎn)均符合條件,于是有.即,即.3.不定積分(1)定義 如果函數(shù)連續(xù),則稱(chēng)符合條件的函數(shù)為的一個(gè)不定積分或原函數(shù).(2)牛頓-萊布尼茨公式(三)柯西積分定理的推廣1.柯西積分定理推廣2定理3.6(柯西積分定理等價(jià)定理) 設(shè)是一條周線(xiàn),為之內(nèi)部,函數(shù)在閉域上解析,則.證 (i)由定理3.2推證定理3.6.由定理3.6的假設(shè),函數(shù)必在平面上一含的單連通區(qū)域內(nèi)解析,于是由定理3.2就有(ii)由定理3.6推證定理3.2.由定理3.2假設(shè):“函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析,為內(nèi)任一周線(xiàn)”,設(shè)為之內(nèi)部,則必在閉域上解析.于是由定理3.6有.定理3.7(柯西積分定理推廣2) 設(shè)
31、使一條周線(xiàn),為之內(nèi)部,則在內(nèi)解析,在上連續(xù),則.2.柯西積分定理推廣3(1)定義 考慮條周線(xiàn),其中中每一條都在其余各條的外部,而它們又全都在的內(nèi)部.在的內(nèi)部同時(shí)又在外部的點(diǎn)集構(gòu)成一個(gè)有界的連通區(qū)域,以為它的邊界.在這種情況下,稱(chēng)區(qū)域的邊界是一條復(fù)周線(xiàn).(圖3-3為的情形)圖3-3(2)定理3.8(柯西積分定理推廣3) 設(shè)是由復(fù)周線(xiàn)所圍成的有界連通區(qū)域,函數(shù)在內(nèi)解析,在上連續(xù),則有,或?qū)懗?(3.3)或?qū)懗?(3.4)(式(3.4)意義為沿外邊界積分等于沿內(nèi)邊界積分之和) 證 取條互不相交且全含在內(nèi)的光滑弧段作為割線(xiàn).用它們順次地與連接.設(shè)想將沿割線(xiàn)割破,于是就被分成兩個(gè)單連通區(qū)域(圖3.3為的
32、情形),其邊界各是一條周線(xiàn),分別記為.由定理3.7,有.二式相加得.從而有(3.3)和(3.4)成立. 例3.4 設(shè)為周線(xiàn)內(nèi)部一點(diǎn),則. 證 以為圓心畫(huà)圓周,使全含于的內(nèi)部,則由(3.4)式有三、課堂練習(xí)不用計(jì)算,驗(yàn)證下列積分之值為0,其中均為單位圓周(1) (2) (3) (4)四、課堂小結(jié) 柯西積分定理和它的三個(gè)推廣五、布置作業(yè)P425通過(guò)上節(jié)課的例題讓學(xué)生猜想積分值和積分路徑無(wú)關(guān)所需條件,教師總結(jié)之后得出柯西積分定理教材中未給出證明,教師提示思路,由學(xué)生完成類(lèi)比數(shù)學(xué)分析相應(yīng)知識(shí)得出證明過(guò)程需要用到數(shù)學(xué)分析的大量知識(shí),由于學(xué)生基礎(chǔ)不同,采取分層次教學(xué),有興趣和能力的學(xué)生,建議他們盡量掌握證
33、明思路與方法牛頓-萊布尼茨公式是定積分與不定積分的橋梁兩個(gè)定理互相推證的過(guò)程由學(xué)生完成,教師給予引導(dǎo)和及時(shí)評(píng)價(jià)定理3.7將定理3.6的條件放寬,條件“在連續(xù)”也可以換為“在連續(xù)”總結(jié)柯西積分定理和它的等價(jià)定理,以及三個(gè)推廣學(xué)生總結(jié)本堂課知識(shí),不足的教師補(bǔ)充板 書(shū) 設(shè) 計(jì)板書(shū)11、柯西積分定理 (3)推廣1 (1)預(yù)備知識(shí) (2)柯西積分定理 2、不定積分 (1)積分上限函數(shù) (2)定理及證明板書(shū)2定理證明 例題 (3)牛頓-萊布尼茨公式 板書(shū)33、柯西積分定理的推廣 (2)推廣2(1)推廣1 教學(xué)反思章 節(jié)3.3 柯西積分公式及其推論授課班級(jí)2015級(jí)數(shù)學(xué)教育 班授課時(shí)間20 年 月 日授課類(lèi)
34、型理論學(xué)時(shí)數(shù) 學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.掌握柯西積分公式及解析函數(shù)的無(wú)窮可微性2.利用上述公式的變形式求解周線(xiàn)積分教 學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):求解周線(xiàn)積分. 難點(diǎn):柯西積分公式的證明.教學(xué)(具)準(zhǔn)備三角板、圓規(guī)教學(xué)方法講授法、討論法教學(xué)主要內(nèi)容一、柯西積分公式及其推論二、解析函數(shù)的平均值定理三、解析函數(shù)的無(wú)窮可微性教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)備 注一、導(dǎo)入新課1.柯西積分定理及其推論都分別是什么?2.柯西積分定理推廣到復(fù)周線(xiàn)的形式是什么?由以上兩個(gè)問(wèn)題導(dǎo)出本節(jié)課內(nèi)容,利用柯西積分定理的復(fù)周線(xiàn)形式導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分形式.二、講授新課(一)柯西積分公式 1.柯西積分公式 定理3.9 設(shè)區(qū)域的邊界為
35、周線(xiàn),在內(nèi)解析,在連續(xù),則有 證 外均解析,以.對(duì)于復(fù)周線(xiàn),有于是有 只需證即可.而圖3-4則有 (3.5)由的連續(xù)性 .于是(3.5)不大于. 定理得證.2.柯西積分公式的變形式推論3.10 注:柯西積分公式中是被積函數(shù)在內(nèi)部的唯一奇點(diǎn).若在內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上奇點(diǎn),則不可用此公式.思考題:定理3.9的條件下,若,則的值如何?例3.5 求解周線(xiàn)積分解 為被積函數(shù)在內(nèi)的唯一奇點(diǎn),則(二)解析函數(shù)平均值定理定理3.11 若在內(nèi)解析,在閉圓上連續(xù),則意義:在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù).例3.6 設(shè)在上解析,若時(shí).試證:在內(nèi)至少有一零點(diǎn). 證 設(shè)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn),而由題設(shè)在上也無(wú)零點(diǎn).于是設(shè)在閉
36、圓上解析.由解析函數(shù)平均值定理.又有題設(shè),. 從而有 矛盾.故在圓內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).(三)解析函數(shù)的無(wú)窮可微性1.柯西積分公式的高階求導(dǎo)公式(1)猜測(cè)公式,猜測(cè)定理3.12 在定理3.9條件下,在內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),且有 例3.7 計(jì)算,其中是繞一周的周線(xiàn). 解 (2)定理3.12的證明證明情形.即證成立即證,圖3.5即證成立.其中.設(shè)沿周線(xiàn),設(shè)為與上點(diǎn)間的最短距離.于是當(dāng)時(shí).設(shè),則要使之小于.解得,取,于是有設(shè)時(shí)結(jié)論成立.即,當(dāng)時(shí),有定理得證. 簡(jiǎn)單證法 (按照導(dǎo)數(shù)定義證明): 4.解析函數(shù)的無(wú)窮可微性定理3.13 設(shè)在平面上的區(qū)域內(nèi)解析,則在內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),并且它們?cè)趦?nèi)解析。三、課堂練習(xí) (1) (2) 四、課堂小結(jié) 柯西積分公式和高階導(dǎo)公式五、布置作業(yè)P1429、10此公式在計(jì)算周線(xiàn)積分及證明高階求導(dǎo)公式中有充分應(yīng)用,讓學(xué)生給予充分重視.這一步
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