2011初中數(shù)學(xué)課標(biāo)解讀--圖形與幾何(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011版新課標(biāo)解讀-初中數(shù)學(xué)圖形與幾何 株洲市第十九中學(xué) 萬德勝一、圖形與幾何內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析 原來課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿的幾何框架是按照圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)和圖形與證明四條主線來劃分的，新的課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿把四條主線變成三條主線，這三條主線分別是圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)。首先是圖形的性質(zhì)這條主線基本上涵蓋了原來圖形的認(rèn)識和圖形與證明的內(nèi)容，除了對一些基本圖形的認(rèn)識之外，還包含著對圖形一些命題的證明，同時(shí)還發(fā)展了對學(xué)生的空間觀念和推理能力的要求。第二條主線是圖形的變化，這里面包含了合同變換圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)，以及圖形的相似（包括位似），由

2、于和相似關(guān)系密切，因此直角三角形的邊角關(guān)系也包含其中，還有一類變換是仿射變換，在課程標(biāo)準(zhǔn)中呈現(xiàn)的標(biāo)題就是投影。這部分主要研究圖形之間的關(guān)系，特別是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)和變化的角度來研究圖形，這個(gè)方法本身也是十分重要的。第三條主線叫做圖形與坐標(biāo)，它包含坐標(biāo)與圖形的位置，還有坐標(biāo)與圖形的運(yùn)動(dòng)，用坐標(biāo)的方法刻畫在圖形的變換中所熟知的軸對稱，圖形的平移，圖形的位似等等。從具體的內(nèi)容增減變化上，首先會發(fā)現(xiàn)增加了打星號的內(nèi)容，如關(guān)于相似三角形判定的演繹證明，圓中的垂徑定理、切線長定理等。作為選取部分，反映了課程標(biāo)準(zhǔn)理念中的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，相當(dāng)于給學(xué)生提供一個(gè)彈性的空間，對那些有余力、有興趣的學(xué)

3、生，給他進(jìn)一步多學(xué)一點(diǎn)數(shù)學(xué)的機(jī)會，學(xué)生有選擇性的學(xué)或者教師有選擇性的教。另外十個(gè)核心概念中，增加了一個(gè)叫幾何直觀。這部分內(nèi)容針對的是圖形，幾何直觀簡單的說就是用圖形說事。還有一些關(guān)于基本事實(shí)的增減變化等等。作為一線教師，這些變化需要我們重新去領(lǐng)悟和把握。首先我覺得應(yīng)該對這部分的內(nèi)容結(jié)構(gòu)有一個(gè)整體的認(rèn)識和把握，比如四條主線變成了三條主線，這三條主線不光是對具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求，更是從不同的角度，更多的維度對我們初中階段的幾何圖形進(jìn)行了全方位的、立體化的研究，它可以看作圖形研究不同的三個(gè)途徑，比如說都是一個(gè)三角形，我既可以用歐式的綜合幾何的角度去認(rèn)識它，也可以用變換的角度去認(rèn)識，同樣可以把它放在坐

4、標(biāo)系，從坐標(biāo)的角度去認(rèn)識它。所以同樣是這些圖形，有這樣三條主線，可能就豐富了我們對這些圖形的理解。理解好這一點(diǎn)，可以使大家更深刻的體會到幾何課程對學(xué)生們的教育意義。圖形與坐標(biāo)這部分內(nèi)容，跟實(shí)驗(yàn)稿相比要求提高了。比方說軸對稱、平移現(xiàn)在要放到坐標(biāo)系當(dāng)中，利用量化的辦法進(jìn)行研究，所以從思維層次上講提高了。從要求上看，這個(gè)步子確實(shí)比較大，所以希望老師們能夠進(jìn)一步研讀標(biāo)準(zhǔn)，以達(dá)到能夠準(zhǔn)確地去把握。 二、圖形的性質(zhì)內(nèi)容與教學(xué)分析 首先，我們所研究的這些圖形可以從不同的角度進(jìn)行分類，比如說把它們分成直線形、曲線形。從維度上，有一維圖形，重點(diǎn)是二維圖形，當(dāng)然還有簡單的三維圖形。從圖形的復(fù)雜程度上，有

5、基本圖形與組合圖形。具體來講，這一部分由七個(gè)小的標(biāo)題組成，前五個(gè)標(biāo)題，詳細(xì)地介紹了我們在初中階段所要掌握的一些基本圖形，比如說第一部分是點(diǎn)、線、面，介紹了構(gòu)成幾何圖形的基本元素，第二部分是相交線與平行線，對相交與平行這兩種平面直線位置關(guān)系的概念、定義、性質(zhì)和判別做了介紹。接下來一部分是三角形，這部分內(nèi)容里面涉及到三角形邊角的基本性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、以及特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性質(zhì)。第四部分是四邊形，重點(diǎn)介紹了平行四邊形，以及特殊的平行四邊形矩形、菱形和正方形的判別和性質(zhì)。第五部分是圓，重點(diǎn)介紹了圓的中心對稱性和軸對稱性，以及由此引出的與圓有關(guān)的性質(zhì)。當(dāng)然這里面還有圓與

6、其他圖形（圓與直線，圓與四邊形，圓與多邊形）的關(guān)系。在六、七這兩部分內(nèi)容中，作為幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)有機(jī)組成部分，分別談到了尺規(guī)作圖和定義、公理、證明的相關(guān)知識。對于尺規(guī)作圖，除了這是一種作圖方法，更多的是運(yùn)用了圖形判定的一些辦法，實(shí)際上是對圖形判定的一個(gè)具體應(yīng)用。另外，只有明確了定義，公理、定理和證明的意義，我們才能夠更好地對圖形的性質(zhì)進(jìn)行探索和證明。在“圖形的認(rèn)識”里也有一些變化，比如梯形沒有了，可能有的老師覺得不愿意把它去掉，我想是不是這樣考慮的：首先小學(xué)我們已經(jīng)有了梯形的概念，包括它的面積計(jì)算；其次對于梯形來說，我們往往是把它分割成平行四邊形和三角形來研究的，而平行四邊形和三角形已經(jīng)作為基本

7、圖形在前面研究得比較充分了，也就是說梯形自身已經(jīng)沒有更多新的東西了，即它的問題基本上都解決了。當(dāng)然如果老師們愿意把梯形給學(xué)生們介紹一些也未嘗不可，但是標(biāo)準(zhǔn)沒有再單獨(dú)把它列入在本學(xué)段的內(nèi)容當(dāng)中。另外，標(biāo)準(zhǔn)中增加了圓內(nèi)接四邊形，這里主要是一個(gè)初步的了解，目的是把直線形和曲線形結(jié)合起來認(rèn)識，希望老師們在教學(xué)的時(shí)候能夠很好地把握，沒有必要任意擴(kuò)充。關(guān)于認(rèn)識圖形我們不能只關(guān)注圖形的概念和性質(zhì)這些知識點(diǎn)，還應(yīng)在這個(gè)過程中，關(guān)注圖形之間的關(guān)系，利用認(rèn)識圖形發(fā)展空間觀念與幾何直觀，這都是我們教學(xué)當(dāng)中應(yīng)該考慮的。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿的基本事實(shí)（原稱公理）是6條，現(xiàn)在做了一些調(diào)整，是9條，從這些基本事實(shí)出發(fā)，證明了關(guān)于線段

8、、角、三角形，四邊形大概 40 幾個(gè)結(jié)論，還包括圓，相似形的一些性質(zhì)。這些方法都應(yīng)是有機(jī)地聯(lián)系的，往往一個(gè)結(jié)論我們先通過合情推理得到一種猜想，然后我們再用邏輯推理的辦法來進(jìn)行證明。在這個(gè)過程當(dāng)中，學(xué)生不但學(xué)會了證明，得到了一些結(jié)論，同時(shí)也積累了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這次課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)比較重要的變化就是，把雙基拓展到四基，從兩個(gè)能力拓展到四個(gè)能力。我們在認(rèn)識圖形的方式方法的多樣性方面，如果給予關(guān)注，實(shí)際上也正是對從雙基到四基實(shí)踐的一個(gè)很好的機(jī)會。因?yàn)樵谶@個(gè)過程當(dāng)中，所謂的合情推理，包括歸納類比，一些數(shù)學(xué)的思想都會滲透其中。基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，畫圖、拼圖、測量，要讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，比如變換，折疊運(yùn)

9、動(dòng)很可能與后面演繹推理的輔助線的引出、圖形的構(gòu)造是聯(lián)系很密切的。其實(shí)這樣的操作活動(dòng)對學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提供了非常好的機(jī)會。所以老師們應(yīng)該認(rèn)識到，圖形認(rèn)識方法的多樣性，帶給孩子們的收獲不僅僅是一些具體的結(jié)論。圖形的性質(zhì)在我們教學(xué)當(dāng)中占的比重比較大，所以老師對這部分內(nèi)容的處理是不是能夠很好地去按照標(biāo)準(zhǔn)的要求去做，對學(xué)生的“圖形與幾何”這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)還是關(guān)系很重大的。在研究圖形的性質(zhì)的過程當(dāng)中，一個(gè)是研究的性質(zhì)有哪些我們要明確，第二個(gè)研究它的手段和途徑我們也要能夠按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求做好設(shè)計(jì)，在一節(jié)課當(dāng)中，使過程性目標(biāo)和結(jié)果性目標(biāo)對接。三、圖形的變化內(nèi)容與教學(xué)分析 首先圖形的變化應(yīng)該是圖形一種屬性的

10、體現(xiàn)，比如有很多圖形本身就是軸對稱的，如等腰三角形、正方形等等，有一些圖形又表現(xiàn)為中心對稱，比如平行四邊形，當(dāng)然平行四邊形也可以看成一條邊是由其對邊平移得到的。所以在我們所學(xué)的圖形中，大都已經(jīng)隱含了我們用變化的角度來認(rèn)識它，來看待它這樣一種屬性；第二，在日常生活當(dāng)中，我們也會看到圖形的運(yùn)動(dòng)。所以，能夠用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來認(rèn)識圖形，是更好認(rèn)識我們周圍世界的另一個(gè)角度。圖形變換是比較新的內(nèi)容，這里面有合同變換軸對稱，旋轉(zhuǎn)，平移。對于這些概念，課程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)實(shí)際上的要求，不是說要嚴(yán)格對它進(jìn)行定義，只是直觀的描述。所以，老師們在這個(gè)地方也不必過多地去深挖定義，主要是和學(xué)生們一起對它的性質(zhì)做一些研究。同時(shí)

11、還有相似，相似的內(nèi)容比較多，其中包括位似，另外就是投影，平行投影和中心投影，還有視圖，都和相似聯(lián)系得比較密切。對于相似我們主要以三角形的相似為主，這里面還包括增加了一條基本事實(shí)-平行線分線段成比例。增加這個(gè)基本事實(shí)的目的，是希望能夠?qū)筮吶切蜗嗨频呐卸ㄌ峁┳C明的基礎(chǔ)，這部分證明是打星號的內(nèi)容，這個(gè)基本事實(shí)的給出實(shí)際上是針對學(xué)有余力的學(xué)生，對他們的證明學(xué)習(xí)進(jìn)一步打基礎(chǔ)。關(guān)于相似里的位似，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，要求是了解位似能夠把圖形放大或者縮小，老師們在這個(gè)地方也不必過多深究。另外就是關(guān)于旋轉(zhuǎn)，主要研究中心對稱。軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移，統(tǒng)稱為合同變換，因?yàn)樗鼈兊墓餐卣魇潜３謭D形的大小不變。在學(xué)習(xí)合同變換時(shí)，

12、應(yīng)主要把它作為認(rèn)識圖形的一種工具和途徑，比如說等腰三角形具有軸對稱性，我們發(fā)現(xiàn)它的底角能夠重合在一起是相等的，這成為我們認(rèn)識圖形基本性質(zhì)的方法。另外，因?yàn)樵谏钪?，軸對稱的現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象、平移的現(xiàn)象都很常見，所以也是我們從數(shù)學(xué)的角度來認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)工具。在教學(xué)當(dāng)中，圖形的變化這塊具體的教學(xué)，首先說圖形的變化這一部分，跟傳統(tǒng)的幾何教學(xué)的演繹證明還是不同的，可能老師有些時(shí)候?qū)﹄y度和深度的把握會有不同的理解。圖形的變化得建立在學(xué)生直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，換句話，我們對軸對稱，對旋轉(zhuǎn)、平移，不僅從文字上去理解，或者能用它去做題，應(yīng)更多的讓學(xué)生建立豐富的大量的實(shí)例，只有經(jīng)歷這樣一個(gè)過程，才能夠把這種變換

13、內(nèi)化到自己對圖形的認(rèn)識當(dāng)中、自覺去從變換的角度認(rèn)識圖形。另外一點(diǎn)，有些老師為什么不是很重視圖形變化這部分內(nèi)容呢？往往覺得，它和演繹證明聯(lián)系不大，作用不強(qiáng)。應(yīng)該說，雖然我們不能用變換的方式去完整地處理綜合證明的題，但是我們不妨用變換的角度去認(rèn)識這些問題，挖掘這些問題的證明思路。我們會看到，所有跟等腰三角形有關(guān)的證明題，往往都跟等腰三角形的軸對稱性相關(guān)，如果要添加輔助線，往往都是在對稱軸上做文章。同樣所有跟平行四邊形有關(guān)的證明問題，往往跟對稱中心是相聯(lián)系的，兩條對角線的交點(diǎn)起著很關(guān)鍵的作用，所以圖形變換往往能夠成為我們解決和研究圖形非常有利的工具。四、圖形與坐標(biāo)內(nèi)容與教學(xué)分析 引入直角坐標(biāo)系，首先

14、就是要確定平面上一個(gè)點(diǎn)的位置，這和生活有很密切的聯(lián)系。比方說我們下棋的棋盤、電影院里的座位、地圖等等，把這個(gè)東西抽象出來就是坐標(biāo)系了，在初中就是平面直角坐標(biāo)系。我們畫函數(shù)的圖象當(dāng)然利用的也是坐標(biāo)，但這比確定點(diǎn)的位置更抽象，比如我們畫時(shí)間和路程關(guān)系的圖象，1 小時(shí)，50 公里，這兩個(gè)量的單位完全是不同的，但是它是有序數(shù)對這一點(diǎn)是不變的，所以我們可以借助坐標(biāo)系畫出它的圖象，然后利用圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)。所以畫函數(shù)的圖象，應(yīng)該是平面直角坐標(biāo)系的一個(gè)進(jìn)一步的應(yīng)用。課程標(biāo)準(zhǔn)的研制可能基于這樣一個(gè)考慮，就是坐標(biāo)系更多的還是確定點(diǎn)的位置的一個(gè)工具。因此在圖形與幾何里給出就是很自然的東西。有了坐標(biāo)系之后，因?yàn)?/p>

15、有了有序數(shù)對和點(diǎn)的對應(yīng)，恰與函數(shù)中自變量和因變量之間的關(guān)系相似，所以使得坐標(biāo)系又成為研究函數(shù)的工具。從這個(gè)意義上講，把坐標(biāo)系放在圖形與幾何里應(yīng)該是順理成章的事情。從課程標(biāo)準(zhǔn)來講，首先是要熟悉坐標(biāo)系最基本的要素，比如坐標(biāo)軸、單位，原點(diǎn)等等，然后要讓學(xué)生了解用一個(gè)數(shù)對可以刻畫點(diǎn)的位置，進(jìn)一步刻畫圖形的位置，一個(gè)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的位置確定了，這個(gè)圖形的位置就確定了。當(dāng)然這時(shí)候都是靜止的，在學(xué)習(xí)了圖形的運(yùn)動(dòng)后，就進(jìn)一步研究坐標(biāo)的變化和圖形的變化之間的聯(lián)系。標(biāo)準(zhǔn)的修改稿和原來實(shí)驗(yàn)稿有一些變化，提高了要求，比如要讓學(xué)生知道，沿著坐標(biāo)軸的方向平移一個(gè)圖形，它的坐標(biāo)變化和圖形變化的聯(lián)系。還有軸對稱等等。希望學(xué)生通

16、過這部分的學(xué)習(xí)，能夠體會用坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，點(diǎn)的位置和變化和圖形的運(yùn)動(dòng)變化之間的規(guī)律。在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)要抓住圖形與坐標(biāo)的實(shí)質(zhì)，圖形、圖像與表達(dá)式的對應(yīng)，本質(zhì)上就是點(diǎn)和數(shù)的對應(yīng)，而這種認(rèn)識根本上取決于對點(diǎn)的坐標(biāo)意義的理解，想把這部分教好、學(xué)好，是花的筆墨最多的地方，不是在各種變化和題型的技巧上，而是應(yīng)該濃墨重彩地說明點(diǎn)的坐標(biāo)的含義究竟是什么。把它作為認(rèn)識圖形的另外一個(gè)途徑和手段，在坐標(biāo)系下，圖形和圖象有了數(shù)量的味道，他只要感覺到這種味道，其實(shí)對他今后的數(shù)學(xué)發(fā)展就是很有幫助的。五、空間觀念與幾何直觀 空間觀念在我們國家的以前教學(xué)大綱中就有這樣的提法，但以前的課程中，用來支撐空間觀念，或者培養(yǎng)學(xué)生空

17、間觀念的內(nèi)容和素材卻相對貧乏，所以從課程實(shí)施角度，對它的支撐顯得很不夠。但是這次課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)稿和修改稿，不僅把空間觀念作為一個(gè)核心概念提出來，同時(shí)在內(nèi)容的設(shè)置上、以及在教學(xué)的要求上，都有相應(yīng)的支撐的它的素材。從課程的設(shè)計(jì)中就非常重視二維和三維圖形的轉(zhuǎn)換，因?yàn)檫@樣的轉(zhuǎn)換對發(fā)展學(xué)生的空間觀念是非常有益的。包括展開與折疊、截一個(gè)幾何體、視圖與投影等內(nèi)容，都可以屬于這個(gè)范圍。另外用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看待這個(gè)圖形，如軸對稱、中心對稱，通過變換的角度，我們想象這個(gè)圖象，想象它的形狀，想象它的變化，就是培養(yǎng)空間觀念非常好的素材。同時(shí)，象圖形與坐標(biāo)、一個(gè)圖形可以看成是由另一個(gè)圖形做怎樣的變化得到的，這些內(nèi)容都是非

18、常重要的。老師在這些內(nèi)容的教學(xué)當(dāng)中要重視這個(gè)過程，把培養(yǎng)空間觀念作為我們的教學(xué)目標(biāo)，給學(xué)生時(shí)間和空間，讓他們?nèi)ヌ骄?、讓他們?nèi)ソ涣鳌⒆屗ケ磉_(dá)，說他的感受，說他的想象，這樣才能使培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念落到實(shí)處。另外，空間觀念培養(yǎng)，核心的東西就是想象，比如在二維圖形和三維圖形轉(zhuǎn)換過程當(dāng)中，實(shí)際上也是看見二維圖形去想象和它對應(yīng)的三維圖形；有了三維圖形去想象跟它相關(guān)的二維圖形。再如截一個(gè)幾何體，我們用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐體，這個(gè)平面和錐體的相交的位置不一樣，它的截面就不同，有時(shí)是一個(gè)圓，有時(shí)是一個(gè)橢圓，有時(shí)又是一條雙曲線，這同樣需要想象；類似的展開折疊也是這樣，一個(gè)平面圖能否折疊成一個(gè)三維圖形，都是想象在

19、起作用。圖形的運(yùn)動(dòng)，圖形的位置的確定，中間也都有很多想象的成份在里面，所以我們要抓住空間觀念的核心要素想象。再有一點(diǎn)，就是空間觀念想要真正能夠落實(shí)，還需要我們在教學(xué)過程中，充分地留給學(xué)生感受體驗(yàn)的過程。唯有過程充分了，觀念和能力才能有所提升。所以，我們盡量不要把關(guān)乎空間觀念的這些課程，上成完成數(shù)學(xué)結(jié)論的課。還是應(yīng)該把過程做足，淡化這些結(jié)論，才能更好地培養(yǎng)空間觀念。關(guān)于幾何直觀，首先是針對圖形，我們根據(jù)直觀可能對圖形的性質(zhì)會有一些判斷，而不是依據(jù)測量或計(jì)算。另外，幾何直觀不管是在代數(shù)當(dāng)中，還是在統(tǒng)計(jì)概率當(dāng)中，可能都要用到。面對一個(gè)比較復(fù)雜的、比較抽象的對象，如果我們能用直觀的辦法，用圖形的辦法，

20、把它描述刻畫出來，會使這個(gè)對象更容易理解，這是一種能力。不說太遠(yuǎn)，在數(shù)學(xué)中畫函數(shù)圖象，對于理解函數(shù)的性質(zhì)有非常大的幫助，就因?yàn)樗庇^，我們可以對函數(shù)的變化情況與趨勢進(jìn)行預(yù)測，這方面比解析式、表格都更清楚。再如在統(tǒng)計(jì)里面，如扇形統(tǒng)計(jì)圖，我們一看就知道哪一部分占的比重更大。我們說幾何直觀是很好的一種能力，一個(gè)學(xué)生如果能用直觀的方式來進(jìn)行描述、來進(jìn)行刻畫，那么說明他對這個(gè)概念本身的理解比較深刻。所以這也是我們學(xué)會用圖形來說事情，用圖形來做事情的一個(gè)很重要的體現(xiàn)。當(dāng)然幾何直觀，作為一個(gè)新出現(xiàn)的核心概念，可能我們對它的認(rèn)識和理解還是要有一個(gè)過程的。六、推理能力 新課程標(biāo)準(zhǔn)明確地提出，推理能力包含了合情推理能力與演繹推理能力，在高中的課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，也提出了合情推理、演繹推理兩個(gè)概念，因此現(xiàn)在也就是在我們從義務(wù)教育階段開始，我們就要關(guān)注兩種能力的培養(yǎng)，一直延續(xù)到高中。合情推理，一般包括歸納和類比，演繹推理一般就是從基本事實(shí)出發(fā)，推出來一些定理，它們再作為推理的出發(fā)點(diǎn)，來進(jìn)行論述。我們在判斷一個(gè)命題是否正確的時(shí)候，首先運(yùn)用合情推理的方法，包括直觀、操作、猜測，然后得出假設(shè)。這些假設(shè)是否能成立呢？我們就需要用演繹推理的方式去進(jìn)行證明。所以合情推理往往是一種發(fā)現(xiàn)的方法和手段，而演繹推理是一種證實(shí)的手段，它們相輔相成，共同完成對一個(gè)命題的認(rèn)識。在日常