立體幾何的解題技巧

1、學習好資料歡迎下載立體幾何大題的解題技巧綜合提升【命題分析】 高考中立體幾何命題特點：1.線面位置關系突出平行和垂直，將側重于垂直關系2.空間“角”與“距離”的計算常在解答題中綜合出現(xiàn)3.多面體及簡單多面體的概念、性質多在選擇題，填空題出現(xiàn)4.有關三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關的問題將是高考命題的熱點此類題目分值一般在 17-22 分之間，題型一般為 1 個選擇題， 1 個填空題， 1 個解答題 . 【考點分析】 掌握兩條直線所成的角和距離的概念， 對于異面直線的距離， 只要求會計算已給出公垂線時的距離 .掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念 .掌握

2、二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念.【高考考查的重難點 * 狀元總結】空間距離和角：“六個距離”：1兩點間距離 d( x1x2 )2( y1 y2 )2( z1 z2 ) 22點 P 到線 l 的距離 dPQ * u（ Q 是直線 l 上任意一點， u 為過點 P 的直線 l 法向量）u3 兩異面直線的距離4 點 P 到平面的距離PQ* uduPQ* udu（ P、Q 分別是兩直線上任意兩點u 為兩直線公共法向量）（ Q 是平面上任意一點，u 為平面法向量）5 直線與平面的距離【同上】6 平行平面間的距離【同上】“三個角度”：1 異面直線角【0，】 cos =v1v20，）【辨

3、】直線傾斜角范圍【2v1 v22 線面角【 0，】 sin = cos v, nvn或者解三角形2v n3 二面角【 0，】 cosn1n2或者找垂直線，解三角形n1 n2學習好資料歡迎下載不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成，即寓證明于運算之中，正是本專題的一大特色.求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。其中，利用 空間向量 求空間距離和角的 套路與格式固定 ，是解決立體幾何問題這套強有力的工具時，使得高考題具有很強的套路性?！纠}解析】考點 1點到平面的距離求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關鍵在于確定點在平面

4、內的垂足，當然別忘了轉化法與 等體積法 的應用 .典型例題例 1（福建卷） 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1 的所有棱長都為2 ， D 為 CC1中點（）求證： AB1 平面 A1 BD ；AA1（）求二面角AA1DB 的大小；（）求點 C 到平面 A1 BD 的距離CDC1考查目的： 本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的BB1大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力解：解法一：（）取 BC 中點 O，連結 AO AA1Q ABC 為正三角形，AOBCQ 正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC1B1 ，F(xiàn)CC1AO 平面 BCC1B1

5、ODBB1連結B1O，在正方形中，O， D 分別為11BBCCBC，CC1 的中點，B1O BD ，AB1 BD 在正方形 ABB A 中， AB AB，AB 平面A1 BD1 1111（）設 AB1 與 A1 B 交于點 G ，在平面 A1 BD 中，作 GF A1D 于 F ，連結 AF ，由（）得 AB1 平面 ABD11，AFG為二面角AADB的平面角AFAD1在 AA1D 中，由等面積法可求得AF4 5 ，5學習好資料歡迎下載又Q AG1 AB12 ，sinAFGAG2102AF4 545所以二面角 AAD B的大小為arcsin1014（） A1 BD 中， BDA1D5， A1B

6、 22， S A1BD6 ， SBCD 1在正三棱柱中，A1 到平面 BCC1B1 的距離為3 設點 C 到平面 A1BD 的距離為 d 由 VA1BCDV，得 1SBCDg 31 SA BDgd ，C A1BD331d3S BCD2 S A1BD2點 C 到平面 A1BD 的距離為2 2解法二：（）取 BC 中點 O ，連結 AO Q ABC 為正三角形，AO BC Q 在正三棱柱11 1 中，平面ABC 平面 BCC1B1 ，ABC AB CAD 平面 BCC1B1 uuuruuuuruuur取 B1C1 中點 O1 ，以 O為原點， OB， OO1 ， OA 的方向為 x， y， z 軸

7、的正方向建立空間直角坐標系，則B(10，0) ， D (11，0) ， 1，A(0，0，3)， B1 (12，0) ，A (0，2，3)uuur， uuur， uuur，AB13)BDBA1(3)(12( 210)12uuuruuur220 0uuur uuur1430 ，Q AB1gBD， AB1 gBA1uuuruuuruuuruuurAB1 BD ， AB1 BA1 AB1平面 A1BD （）設平面 A1AD 的法向量為 n(x， y，z) uuur，uuuruuuruuur，AD，3)，Q n AD，nAA( 11AA1(0 20)1uuur，y，xy，0n gAD03z 0uuur2

8、 y，xn gAA0，3z01zAA1FCC1ODyBB1x令 z1 得 n(3，01)， 為平面 A1 AD 的一個法向量學習好資料歡迎下載由（）知AB1 平面ABD ，1uuurAB1 為平面 A1 BD 的法向量cos n ， uuuruuurngAB1336 AB1uuur2g224n gAB1二面角 AA1 D B 的大小為 arccos6 4uuur（）由（） ， AB1 為平面 A1BD 法向量，uuuruuurQ BC ( 2，00)，AB1 (12， 3) uuur uuur2點 C 到平面 A1BD 的距離 dBCgAB12 uuurAB12 22小結 ：本例中（）采用了兩

9、種方法求點到平面的距離.解法二采用了平面向量的計算方法，把不易直接求的 B 點到平面 AMB1 的距離轉化為容易求的點K 到平面 AMB1 的距離的計算方法， 這是數(shù)學解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復雜的幾何作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點 2異面直線的距離考查異目主面直線的距離的概念及其求法考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例 2 已知三棱錐 SABC ，底面是邊長為 42 的正三角形，棱SC的長為 2，且垂直于底面. E、D 分別為 BC、AB 的中點，求 CD 與 SE 間的距離 .思路啟迪 ：由于異面直線 CD 與 SE 的公

10、垂線不易尋找， 所以設法將所求異面直線的距離，轉化成求直線與平面的距離，再進一步轉化成求點到平面的距離 .解：如圖所示，取 BD 的中點 F ，連結 EF， SF， CF，EF 為BCD 的中位線，EF CD,CD 面 SEF ,CD 到平面 SEF 的距離即為兩異面直線間的距離 .又 線面之間的距離可轉化為線CD 上一點 C 到平面 SEF的距離，設其為h，由題意知， BC 42 ,D、 E、F 分別是AB、 BC、 BD 的中點，CD2 6,EF1 CD6, DF2, SC22VS CEF11EF DFSC116 222 332323學習好資料歡迎下載在 RtSCE 中， SE222 3S

11、CCE在 RtSCF 中， SFSC2CF 24 24230又 EF6,S SEF3由于 VCSEFVS CEF1S SEF h ，即 1 3 h2 323，解得 h3333故 CD 與 SE 間的距離為 23.3小結 ：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉化的過程.考點 3 直線到平面的距離偶爾會再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉化.例 3 如圖，在棱長為2 的正方體 AC1 中， G 是 AA1 的中點，求 BD 到平面 GB1 D1 的距離 .思路啟迪 ：把線面距離轉化為點面距離，再用點到平面距離D1的方法求解 .C1O1解：A1B1解法一BD 平

12、面 GB1 D1 ，HBD 上任意一點到平面GB1D1的距離皆為所求，以下求GDC點 O 平面 GB1D1 的距離 ,OABB1 D1A1C1 ， B1D1A1A ，B1 D1平面 A1 ACC1 ,又 B1 D1 平面 GB1 D1平面 A1 ACC1GB1D1 ，兩個平面的交線是 O1G ,作 OHO1G 于 H ，則有 OH平面 GB1 D1 ，即 OH 是 O 點到平面 GB1D1的距離 .在 O1OG 中， S O1OG1 O1O AO1 2 22 .22又 S O1OG1 OH O1G13 OH2, OH2 6 .223即 BD 到平面 GB1 D1 的距離等于26.3解法二BD

13、平面 GB1 D1 ，學習好資料歡迎下載BD 上任意一點到平面GB1 D1 的距離皆為所求，以下求點B 平面 GB1D1 的距離 .設點 B 到平面 GB1 D1 的距離為 h，將它視為三棱錐B GB1D1 的高，則VB GB1D1VD1GBB1 ,由于 S GB1D112236，2VDGBB11 2 224 ,h426 ,113236326即 BD 到平面 GB1 D1 的距離等于3.小結 ：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關鍵是選準恰當?shù)狞c，轉化為點面距離 .本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.考點 4異面直

14、線所成的角【重難點】此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角典型例題例 4如圖，在 RtAOB 中， OAB，斜邊 AB4 Rt AOC 可以通過6Rt AOB 以直線 AO 為軸旋轉得到，且二面角B AO C 的直二面角 D 是 AB 的中點（ I ）求證：平面 COD 平面 AOB ；（ II ）求異面直線 AO 與 CD 所成角的大小思路啟迪 ：（ II ）的關鍵是通過平移把異面直線轉化到一個三角形內.解：解法 1：（ I ）由題意， COAO， BOAO ，BOC 是二面角 B AO C 是直二面角，CCOBO ，又 Q AOI BOO ，CO平面 AOB ，又

15、 CO平面 COD .ADEOB平面 COD平面 AOB （II ）作 DEOB ，垂足為 E ，連結 CE （如圖），則 DE AO ，zCDE 是異面直線 AO 與 CD 所成的角在 RtCOE 中， COBO 2， OE1BO 1，A2CECO2OE25 D又 DE1 AO3 2在 RtCDE 中， tanCDECE515 DE33OB yarctan 15 x異面直線 AO 與 CD 所成角的大小為C3學習好資料歡迎下載解法 2：（ I ）同解法 1（II ）建立空間直角坐標系Oxyz，如圖，則 O(0，0，0) ， A(0，0，2 3) ， C(2，0，0) ， D(01，3) ，u

16、uur， uuur，OACD3)(002 3)( 21uuur uuuruuuruuur66 OA gCDcos，OA CDuuuruuur23 g2 24OA gCD異面直線 AO 與 CD 所成角的大小為arccos6 4小結 ： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二； 補形法： 把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系，如解析三 .一般來說，平移法是最常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：0,.2考點

17、 5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純热?典型例題S例 5（全國卷理）四棱錐 S ABCD 中，底面 ABCD為平行四邊形，側面SBC底面 ABCD已知 ABC45o ，AB2， BCCB2 2，SASB3 DA（）證明 SABC ；（）求直線SD 與平面 SAB 所成角的大小考查目的： 本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力解：解法一：（）作 SO BC ，垂足為 O ，連結 AO ，由側面 SBC 底面 ABCD ，得 SO

18、 底面 ABCD 因為SASBAO BO，所以又 ABC45o ，故 AOB 為等腰直角三角形， AO BO ，由三垂線定理，得SA BC （）由（）知SA BC ，依題設 AD BC ，故 SA AD ，由 ADBC 2 2，SA3， AO2 ，得SO 1， SD11 C SAB的面積 S11 ABg SA221 AB2 DA22連結 DB ，得 DAB 的面積 S21 ABgAD sin135 o2SOB2學習好資料歡迎下載設 D 到平面 SAB的距離為 h ，由于 VDSABVS ABD ，得1 hgS1 1 SOgS2，解得 h233設 SD與平面 SAB所成角為，則 sinh222

19、SD1111所以，直線 SD 與平面 SBC所成的我為 arcsin22 11解法二：（）作 SO BC ，垂足為 O ，連結 AO ，由側面 SBC 底面 ABCD ，得 SO 平面ABCD AOBO因為SA SB，所以又 ABC45o ， AOB 為等腰直角三角形，AO OB z如圖，以 O 為坐標原點， OA 為 x 軸正向，建立直角坐標系Oxyz ，SuurGA(2，0，0)，B(0， 2，0)，C (0，2，0)， S(0，0，1) ，SA(，20 1)Cyuuuruur uuurDO EBCB， SACB0，所以A(0 22 0)gSA BCx（）取 AB 中點 E ，E2，2，2

20、20連結 SE，取 SE中點 G ，連結 OG ， G2， 2，1 442OG2，21，22，AB (2，2，0) ，SE，442221SEgOG0 ， ABgOG 0 ， OG 與平面 SAB內兩條相交直線SE ， AB 垂直所以OG平面SAB，OG 與 DS 的夾角記為，SD與平面SAB，則與所成的角記為互余D (2，22，0) ， DS( 2，221)， cosOG gDS22 ， sin22 ，OG gDS1111所以，直線 SD 與平面 SAB所成的角為 arcsin22 11小結 ：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關系；（ 2）當直線和平面斜交時，

21、常用以下步驟： 構造作出斜線與射影所成的角，證明論學習好資料歡迎下載證作出的角為所求的角， 計算常用解三角形的方法求角， 結論點明直線和平面所成的角的值 .考點 6二面角【重點】此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉化為線線角 放到一個合適的三角形中進行求解.二面角是高考的熱點典型例題例 6（湖南卷）如圖，已知直角，APQ ， B， C， CACB ，BAP45o ，直線 CA 和平面所成二面的角為30o CAPQB（I）證明 BC PQ ；（II ）求二面角BACP 的大小命題目的 ：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力 .

22、過程指引 ：（ I）在平面內過點 C 作CO PQ于點 O，連結 OB因為， IPQ ，所以 CO ，又因為 CACB ，所以 OA OB CHBAOoABO 45o90oA而45 ，所以， AOB，PQBO從而 BOPQ，又 COPQ，所以 PQ 平面 OBC 因為 BC平面 OBC，故 PQ BC （II ）解法一：由（ I ）知， BO PQ ，又， IPQ ，BO，所以 BO 過點O 作 OH AC 于點 H ，連結 BH ，由三垂線定理知，BH AC故 BHO 是二面角 B AC P 的平面角由（ I）知， CO ，所以CAO是 CA 和平面所成的角，則CAO 30o ，不妨設 AC

23、 2 ，則 AO3， OHAO sin 30o3 2學習好資料歡迎下載在 RtOAB 中， ABOBAO 45o ，所以 BOAO3，于是在 Rt BOH 中， tanBO3BHO2OH32故二面角 BACP 的大小為 arctan2 解法二：由（ I）知， OC OA ， OC OB ， OA OB ，故可以 O 為原點，分別以直線OB，OA，OC 為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標系（如圖） 因為 CO a ，所以CAO 是 CA 和平面所成的角，則CAO30o 不妨設 AC2，則 AO3， CO1在 RtOAB 中，ABOBAO45o ，Cz所以 BOAO3 PABOQ則相關

24、各點的坐標分別是yxO(0，0，0)， B(3，0，0)， A(0，3，0) ， C(0，0，1)uuur(3，uuur(0，31)， 所以 AB3，0) ， ACurur uuurn1 gAB，3x3 y0，設 n1 x， y， z 是平面 ABC 的一個法向量，由0ur uuur得3 yz0n1 gAC0取x1，得ur，n1(113)易知uur，是平面的一個法向量n2(10 0)設二面角 BACP 的平面角為uruur，由圖可知，n1n2，ur uur所以 cosn1 n215uruur| n1 |g| n2 |5 15故二面角 BACP 的大小為 arccos 5 5小結 ：本題是一個無

25、棱二面角的求解問題 .解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角 .無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出棱，補形構造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.【課后練習】如圖，在四棱錐P ABCD 中， PA底面 ABCD,DAB 為直角， AB CD ，學習好資料歡迎下載AD =CD =2AB, E、F 分別為 PC、CD 的中點 .（）試證： CD平面 BEF ；（）設 PA kAB ,且二面角 E-BD

26、-C 的平面角大于30 ,求 k 的取值范圍 .過程指引 ：方法一關鍵是用恰當?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法.【高考熱點】空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的 表面積1 棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2 圓柱的表面積S2 rl2 r23 圓錐的表面積：4 圓臺的表面積Srlr 2Srlr 2RlR25 球的表面積S4 R26 扇形的面積 S扇形n R21 lr （其中 l 表示弧長， r 表示半徑）3602注：圓錐的側面展開圖的弧長等于地面圓的周長（二）空間幾何體的體積1 柱體的體積VS底 h2 錐體的體積 V1 S底 h33 臺

27、體的體積V1S上 S下S下 )43（ S上h4 球體的體積 VR33【例題解析】考點8 簡單多面體的有關概念及應用，主要考查多面體的概念、性質，主要以填空、選擇題為主，通常結合多面體的定義、性質進行判斷.典型例題例 12 . 如圖（ 1），將邊長為1 的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起， 做成一個無蓋的正六棱柱容器，當這個正六棱柱容器的底面邊長為時容積最大 . 思路啟迪 設四邊形一邊AD ，然后寫出六棱柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時AD 長度即可 .解答過程：如圖（2）設 AD a，易知 ABC 60，且 ABD 30AB3 a .BD 2a正六棱柱體積為V

28、.1292V 6（12a） sin603a （1 2a）a22學習好資料歡迎下載92a)(1 2a)4a 9（23(183） .8當且僅當1 2a 4aa 1時，體積最大，6此時底面邊長為12a 1 2 1 2.63答案為1.6考點 9.簡單多面體的側面積及體積和球的計算棱柱側面積轉化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側面積轉化成求三角形的面積.直棱柱體積V 等于底面積與高的乘積.棱錐體積 V 等于 1 Sh 其中 S 是底面積， h 是棱錐的高 .3例 15. 如圖，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB 2 a， BC CA AA1 a，A 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上1A1C1 求 AB 與側面 AC1 所成角； 若 O 恰好是 AC 的中點，求此三棱柱的側面積 . 思路啟迪 找出 AB 與側面 AC1 所成角即是 CAB；B1三棱錐側面積轉化成三個側面面積之和，側面 BCC1B1 是正方形，側面 ACC 1A1 和側面 ABB1A1 是平行四邊形，分別求其面積即可 .AOC解答過程：點A1 在底面 ABC 的射影在 AC 上， 平面 ACC1A1D平面 ABC.B在 ABC 中，由 BC AC a，AB2 a. ACB90，BC AC. BC平面 ACC1A1.即 CAB 為 AB 與側面 AC1 所成的角在Rt AB