立體幾何中的常見題型及基本思路

1、學習必備歡迎下載立體幾何中的常見題型及基本思路解決一切空間幾何問題的核心目標是把空間問題轉化為平面問題。1. 線線平行 （是線面平行和面面平行的基礎 ）的證明思路：（1）找到或者構建含兩線的平行四邊形（2）看兩直線是否構成一個三角形的中位線或者等分線的關系（3）垂直于同一平面的兩直線平行。即：若a, b則 a / b .（4）平行于同一直線的兩直線平行。即：若a / b,b / c則 a / c（ 5）線面平行性質得到線線平行：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和已知平面相交， 那么這條直線和交線平行。 即：若 a /, a, 且b,則 a / b .（6）面面平行性質得到線線平行

2、：兩平行平面與同一個平面相交，那么兩條交線平行。即：若/且a,b,則 a / b（7）如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線與這兩個平面的交線平行。即若a /, a /,且b,則 a / b 。2.線面平行的證明思路：（ 1）定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行（不常用）。（ 2）判定定理：在平面內找到一條和已知直線（在平面外）平行的直線。即：若 a,b, 且 a / b,則 a /（3）由面面平行得到的線面平行：兩個平面平行，其中一個平面內的直線平行于另一個平面，即：若/且 a,則 a /。例見 T9 山東 12 年高考學習必備歡迎下載（4）如果一個平面和平面外的

3、一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個平面平行.即若, a, a,則 a /。（ 5）如果兩條平行直線中的一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面 ( 或在這個平面內 ) ，即若 ab, a,b ( 或 b )（ 6）兩個平行平面外的一條直線與其中一個平面平行，也與另一個平面平行，即若 ,a ，a ，a，則 .（ 7）如果一條直線與一個平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若 a,b ，b a，則 b.（ 8）在一個平面同側的兩個點，如果它們與這個平面的距離相等，那么過這兩個點的直線與這個平面平行，即若A ，B ，A 、B在同側，且 A、B 到等距，則 AB .3.

4、面面平行的證明思路 ：（1）定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行，即無公共點.（不常用）（ 2）判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，即若 a,b ，ab=P,a,b,則 .（ 3）垂直于同一直線的兩平面平行 .即若 a,a,則.（ 4）平行于同一平面的兩平面平行 .即若 ,則.（ 5）一個平面內的兩條直線分別平行于另一平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若 a,b ,c,d ,ab=P,ac,bd,則 .4.線線垂直（是線面垂直和面面垂直的基礎）的證明思路：學習必備歡迎下載（ 1）勾股定理（ 2）等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（ 3

5、) 矩形（正方形）臨邊，菱形（正方形）對角線相互垂直（4)線面垂直性質（ a, bab ）（ 5）定義：若兩直線成 90°角，則這兩直線互相垂直 .（ 6）一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若 bc,ab,則 ac（ 7）三垂線定理和它的逆定理：在平面內的一條直線，若和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 .（ 8）如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的垂線垂直 .即若 a ,b,則 ab.（ 9）三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若 ,， ,且=a,=b,=c，則 ab,bc,ca.例見 T8 陜西 12 年文， T14 安徽 1

6、2 年文5.線面垂直的證明思路：（1）判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。即：若m，n，m n=A ，l m,ln,則 l （2)找一個面或者線的平行面或者線，將問題轉化：, a或 a b, ab（3）面面垂直性質：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。即：學習必備歡迎下載,b, a, aba（ 4）定義：若一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直 .（不常用）（ 5）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面 .即若 la,a,則 l.（ 6）一條直線垂直于兩個

7、平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面，即若 ,l，則 l .（ 7）如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面，即若 ,且 a=,則 a.6.面面垂直的證明思路：（ 1）判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。即： a, a（ 2）定義法（二面角是直角）：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直。即：a90（ 3）一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，也垂直于另一個。即：若，則 例見 T6 天津 12 年文科7.求角：一作二證三計算（ 1）線線角（異面直線所成角）轉化成相交直線，并且交點往往取其中一條直線的端點或中點（ 2）線面角射影轉換法：做垂線、找射影，求夾角學習必備歡迎下載（ 3）二面角定義法：在兩平面內分別做交線的垂線，解三角形、三垂線法垂面法8.求體積：例見T8 陜西 12 文， T10 湖南 12 文， T11 廣東 12 文9.折疊：例見 T13 北京 12 文10.最值 :例見福建 12 文11.交點與交線問題 :1）線面交點：求直線a 與平面的交點，可通過直線a 做一個平面，且與的交線記為b,則a 與b 的交點即為直線a 與平面的交點2）面面交線：在兩個平面內找到兩個公共點，連線即為交線若在