第一章幾何光學(xué)(2)

1、3.4 放大率放大率nn OPPp p u ii u hM yy 象高象高y與物高與物高y之比稱為橫向放大之比稱為橫向放大率或垂直放大率率或垂直放大率 橫向放大率橫向放大率在傍軸條件下，有在傍軸條件下，有)(tan)(piipy piipy tan則則(10) pnpnippiyy 由折射定律得由折射定律得nnii yy (9)利用利用(6)式和牛頓公式有：式和牛頓公式有：xfxfxxffxfxfffpnpn / xfxfffxfxxfxxffxfxff )()( fxxf (11)由上圖可知由上圖可知upuph tan)tan()(而而uuuu tan , )tan(則則upup )(uup

2、p 即即代入代入(10)式得式得unnuyy 有有拉格朗日拉格朗日亥姆霍茲不變式亥姆霍茲不變式y(tǒng)unnuy 或或稱為拉格朗日稱為拉格朗日亥姆霍茲不變量亥姆霍茲不變量 yunnuy (12)(12)式表明了在傍軸條件下，物空間和象空式表明了在傍軸條件下，物空間和象空間各共軛量之間的關(guān)系。此式對(duì)多個(gè)折射球面系間各共軛量之間的關(guān)系。此式對(duì)多個(gè)折射球面系統(tǒng)也適用。統(tǒng)也適用。即即n1u1y1 = n2u2y2 = = nmum ym4 薄透鏡成象公式和放大率薄透鏡成象公式和放大率 一、一、 薄透鏡的結(jié)構(gòu)和成象規(guī)律薄透鏡的結(jié)構(gòu)和成象規(guī)律 兩個(gè)折射面包圍一種透明介質(zhì)而成的光學(xué)元兩個(gè)折射面包圍一種透明介質(zhì)而成

3、的光學(xué)元件稱為件稱為透鏡透鏡，折射面可以是球面或非球面，大部，折射面可以是球面或非球面，大部分透鏡都以球面組成。分透鏡都以球面組成。主光軸主光軸兩個(gè)球面曲率中心的連線兩個(gè)球面曲率中心的連線頂點(diǎn)頂點(diǎn)主光軸和球面的交點(diǎn)主光軸和球面的交點(diǎn)透鏡的厚度透鏡的厚度d兩頂點(diǎn)間的距離兩頂點(diǎn)間的距離薄透鏡與厚透鏡：薄透鏡與厚透鏡：象性質(zhì)相關(guān)的距離如曲率半徑、焦距、物距、象象性質(zhì)相關(guān)的距離如曲率半徑、焦距、物距、象距相比小很多，從而可以忽略不計(jì)時(shí)距相比小很多，從而可以忽略不計(jì)時(shí)(d 0)，則稱，則稱為為薄透鏡薄透鏡；否則稱為；否則稱為厚透鏡厚透鏡 n0nn OPP dP 第一第一球面球面第二球面第二球面如果透鏡的

4、厚度與它的成如果透鏡的厚度與它的成第一球面：物點(diǎn)第一球面：物點(diǎn)P，物距，物距p1，象點(diǎn)，象點(diǎn)P，象距象距p1第二球面：物點(diǎn)第二球面：物點(diǎn)P，物距，物距p2= p1，象點(diǎn)，象點(diǎn)P，象距象距p2 如圖薄透鏡，如圖薄透鏡，n0為透鏡為透鏡材料的折射率，材料的折射率，n和和n為透鏡為透鏡的物方和象方折射率；兩球的物方和象方折射率；兩球面的半徑分別為面的半徑分別為r1、r2。物點(diǎn)。物點(diǎn)P置于透鏡左方主光軸上，以置于透鏡左方主光軸上，以光心光心O為原點(diǎn)。為原點(diǎn)。 110110 rnnpnpn則有則有則有則有 220102 rnnpnpn兩式兩式相加相加得得(光心即薄透鏡與主光軸的交點(diǎn)光心即薄透鏡與主光軸的

5、交點(diǎn)) n0nn OPP P pp 1pp 221pp 2112 pnpn薄透鏡的光焦度薄透鏡的光焦度201021rnnrnn 薄透鏡的象距薄透鏡的象距p = p2薄透鏡的物距薄透鏡的物距p = p1薄透鏡的光焦度薄透鏡的光焦度 = 1+ 2薄透鏡的成象公式薄透鏡的成象公式 pnpn nf 物方焦距物方焦距 nf 象方焦距象方焦距 fnfn 光焦度光焦度 與單球面折射成象類似，與單球面折射成象類似，定義平行光出射時(shí)定義平行光出射時(shí)(p= )的的物點(diǎn)位置為薄透鏡的物方焦點(diǎn)，物點(diǎn)位置為薄透鏡的物方焦點(diǎn)，平行光入射時(shí)平行光入射時(shí)( p = )的象點(diǎn)的象點(diǎn)位置為象方焦點(diǎn)則得：位置為象方焦點(diǎn)則得： 當(dāng)當(dāng)

6、 0 (f 0)時(shí)，時(shí)，F(xiàn)和和F是實(shí)焦點(diǎn)是實(shí)焦點(diǎn)，此透鏡，此透鏡稱為稱為會(huì)聚透鏡會(huì)聚透鏡或或正透鏡正透鏡；當(dāng)；當(dāng) 0 (f 0)時(shí)，時(shí)， F和和F是虛焦點(diǎn)是虛焦點(diǎn)，則透鏡稱為，則透鏡稱為發(fā)散透鏡發(fā)散透鏡或或負(fù)透鏡負(fù)透鏡。 放在空氣中的玻璃透鏡，凸透鏡為會(huì)聚透鏡；放在空氣中的玻璃透鏡，凸透鏡為會(huì)聚透鏡；凹透鏡為發(fā)散透鏡。凹透鏡為發(fā)散透鏡。二、二、 薄透鏡成象的高斯公式薄透鏡成象的高斯公式兩焦距與物、象方折射率之關(guān)系兩焦距與物、象方折射率之關(guān)系薄透鏡成象公式兩邊同除以薄透鏡成象公式兩邊同除以 并運(yùn)用焦距公式得：并運(yùn)用焦距公式得：若若n = n，則，則 f = f高斯公式高斯公式 1 pfpf fn

7、fn (1)若若n = n，則，則 f = f，特特例例高斯公式高斯公式 111 fpp (2)若薄透鏡置于空氣中若薄透鏡置于空氣中n = n=1， f = f =1/ 則有則有透鏡制造者公式透鏡制造者公式 )11)(1(1 210rrnf 三、三、 薄透鏡的橫向放大率薄透鏡的橫向放大率y為第一球面的物高即整個(gè)薄透鏡的物高，為第一球面的物高即整個(gè)薄透鏡的物高，y為第二球面的象高即整個(gè)薄透鏡的象高，為第二球面的象高即整個(gè)薄透鏡的象高，y1為第一球面的象高即第二球面的物高，為第一球面的象高即第二球面的物高，設(shè)設(shè)第一球面的橫向放大率第一球面的橫向放大率 0110111pnpnpnpnyy 第二球面的

8、橫向放大率第二球面的橫向放大率 1022012pnpnpnpnyy 薄透鏡的橫向放大率薄透鏡的橫向放大率yy 11 yyyy 21pnpn 若若n = n，則有，則有例例1.3已知近視眼鏡片為一彎凹透鏡，兩球面的半徑已知近視眼鏡片為一彎凹透鏡，兩球面的半徑分別為分別為r1=5.0cm , r2=4.0cm，玻璃的折射率，玻璃的折射率n0=1.5，在空氣中使用，試求該透鏡的焦距和光焦度。在空氣中使用，試求該透鏡的焦距和光焦度。解：解：透鏡的形狀如圖所示，根據(jù)透鏡制造者公式透鏡的形狀如圖所示，根據(jù)透鏡制造者公式pp )11)(1( 210rrn )04. 0105. 01)(15 . 1( )(2

9、505 . 2 眼鏡度數(shù)眼鏡度數(shù)度度 Dcmmf404 . 01 負(fù)號(hào)表明這是發(fā)散透鏡，焦點(diǎn)是虛焦點(diǎn)。負(fù)號(hào)表明這是發(fā)散透鏡，焦點(diǎn)是虛焦點(diǎn)。近視眼鏡的鏡片是發(fā)散透鏡，近視眼鏡的鏡片是發(fā)散透鏡， 02r1r 2c1c5 共軸球面系統(tǒng)共軸球面系統(tǒng) 一般實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)都含有多個(gè)折射或反射球一般實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)都含有多個(gè)折射或反射球面，若所有球面中心都在一條直線上，則稱之為共面，若所有球面中心都在一條直線上，則稱之為共軸球面系統(tǒng)，這條直線稱為系統(tǒng)的主光軸。在傍軸軸球面系統(tǒng)，這條直線稱為系統(tǒng)的主光軸。在傍軸近似條件下，共軸球面系統(tǒng)可近似看作理想光學(xué)系近似條件下，共軸球面系統(tǒng)可近似看作理想光學(xué)系統(tǒng)，能夠理想成

10、象。統(tǒng)，能夠理想成象。 前面第前面第3節(jié)只討論了單個(gè)球面的成象問(wèn)題，對(duì)節(jié)只討論了單個(gè)球面的成象問(wèn)題，對(duì)于共軸球面系統(tǒng)，可以用單個(gè)球面成象的結(jié)果，采于共軸球面系統(tǒng)，可以用單個(gè)球面成象的結(jié)果，采用逐次成象法找出整個(gè)共軸球面系統(tǒng)的物象關(guān)系。用逐次成象法找出整個(gè)共軸球面系統(tǒng)的物象關(guān)系。實(shí)際上第實(shí)際上第4節(jié)的薄透鏡就是一個(gè)具有兩個(gè)折射球面節(jié)的薄透鏡就是一個(gè)具有兩個(gè)折射球面的最簡(jiǎn)單的共軸球面系統(tǒng)。從原則上講，只要滿足的最簡(jiǎn)單的共軸球面系統(tǒng)。從原則上講，只要滿足傍軸條件，逐次成象法可以解決任何數(shù)目的共軸球傍軸條件，逐次成象法可以解決任何數(shù)目的共軸球面問(wèn)題。不過(guò)在逐次成象法中計(jì)算的原點(diǎn)每次都要面問(wèn)題。不過(guò)在逐

11、次成象法中計(jì)算的原點(diǎn)每次都要改變，它們之間雖然有一定的換算關(guān)系，但數(shù)目很改變，它們之間雖然有一定的換算關(guān)系，但數(shù)目很多時(shí)，計(jì)算起來(lái)很復(fù)雜，要得到整個(gè)共軸球面系統(tǒng)多時(shí)，計(jì)算起來(lái)很復(fù)雜，要得到整個(gè)共軸球面系統(tǒng)的物象關(guān)系是比較困難的。的物象關(guān)系是比較困難的。 在幾何光學(xué)中，研究共軸球面系統(tǒng)成象問(wèn)題的在幾何光學(xué)中，研究共軸球面系統(tǒng)成象問(wèn)題的重要理論之一就是重要理論之一就是光線追跡法光線追跡法。這種方法就是追綜。這種方法就是追綜光線相繼通過(guò)各折射球面的路徑，找出光線的描跡光線相繼通過(guò)各折射球面的路徑，找出光線的描跡方程。托馬斯方程。托馬斯史密斯發(fā)現(xiàn)這些光線描跡方程具有史密斯發(fā)現(xiàn)這些光線描跡方程具有簡(jiǎn)單的

12、線性形式以及重復(fù)運(yùn)算的方式。他指出光線簡(jiǎn)單的線性形式以及重復(fù)運(yùn)算的方式。他指出光線折射和傳遞過(guò)程可用數(shù)學(xué)上的矩陣方法處理，從幾折射和傳遞過(guò)程可用數(shù)學(xué)上的矩陣方法處理，從幾何光學(xué)觀點(diǎn)看，光線在共軸球面系統(tǒng)中傳播就是在何光學(xué)觀點(diǎn)看，光線在共軸球面系統(tǒng)中傳播就是在介質(zhì)界面上的折射和在同一均勻介質(zhì)中的平移。介質(zhì)界面上的折射和在同一均勻介質(zhì)中的平移。而而平移和折射對(duì)光線狀態(tài)的變換是線性的平移和折射對(duì)光線狀態(tài)的變換是線性的，很適合于，很適合于矩陣運(yùn)算。引入表示入射光線和出射光線狀態(tài)的矩矩陣運(yùn)算。引入表示入射光線和出射光線狀態(tài)的矩陣叫陣叫狀態(tài)矩陣，狀態(tài)矩陣，逐次以逐次以折射矩陣折射矩陣和和平移矩陣平移矩陣作

13、用于作用于狀態(tài)矩陣后，就可以得到整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣后，就可以得到整個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣，從，從而可進(jìn)一步求出而可進(jìn)一步求出物象矩陣物象矩陣和物象關(guān)系。和物象關(guān)系。6 光學(xué)系統(tǒng)中的光闌光學(xué)系統(tǒng)中的光闌 光闌的作用大致為光闌的作用大致為: (1)攔去非近軸光線以改善成象攔去非近軸光線以改善成象質(zhì)量；質(zhì)量； (2)遮擋不需要的雜散遮擋不需要的雜散光；光； (3)控制進(jìn)入光學(xué)控制進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)的光能流；系統(tǒng)的光能流； (4)確定成象范圍；確定成象范圍； (5)增大景深。增大景深。6.1 孔徑光闌孔徑光闌 入射光瞳入射光瞳 出射光瞳出射光瞳 一、孔徑光闌一、孔徑光闌 光學(xué)系統(tǒng)中決定或限制成象光束截面大

14、小的光學(xué)系統(tǒng)中決定或限制成象光束截面大小的光闌稱為光闌稱為孔徑光闌孔徑光闌 。照相機(jī)的光圈就是一種照相機(jī)的光圈就是一種孔徑孔徑光闌光闌 。通過(guò)改變。通過(guò)改變光圈大小按照要求確定進(jìn)入照相光圈大小按照要求確定進(jìn)入照相機(jī)鏡頭光束截面的大小。機(jī)鏡頭光束截面的大小。光闌光闌 用來(lái)限制用來(lái)限制光束截面等光束截面等作用的屏稱為光闌作用的屏稱為光闌 在復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)中有許多在復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)中有許多鏡鏡頭和頭和光闌，為此要設(shè)法確定哪一個(gè)光闌，為此要設(shè)法確定哪一個(gè)是實(shí)際上起限制作用的孔徑光闌是實(shí)際上起限制作用的孔徑光闌 。 uuvuPPQQLODD 從圖中可看從圖中可看出，出，L的半徑對(duì)軸的半徑對(duì)軸上物點(diǎn)上物點(diǎn)P的張角為的張角為v，光闌，光闌D的半徑的半徑經(jīng)經(jīng)L折射后對(duì)折射后對(duì)P點(diǎn)點(diǎn)的張角為的張角為u，顯然，顯然u4f。Lp1 p2p2d p1解解: 由