學(xué)年論文淺談泊松分布及其應(yīng)用

1、本科生學(xué)年論文（設(shè)計(jì)）（ 級(jí)）論文（設(shè)計(jì)）題目 淺談泊松分布及其應(yīng)用 作 者 分院、 專(zhuān)業(yè) 班 級(jí) 指導(dǎo)教師（職稱(chēng)） 字 數(shù) 成果完成時(shí)間 杭州師范大學(xué)錢(qián)江學(xué)院教學(xué)部制I淺談泊松分布及其應(yīng)用摘要：泊松分布作為大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的頻數(shù)的概率分布的數(shù)學(xué)模型，是指一個(gè)系統(tǒng)在運(yùn)行中超負(fù)載造成的失效次數(shù)的分布形式。根據(jù)泊松分布的一些性質(zhì),引出這些性質(zhì)在實(shí)際生活中的重要應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：泊松分布 概念 實(shí)際應(yīng)用Discuss poisson distribution and its applicationWuSuLing guidance teacher： QiuLiangHuaAbstract: th

2、e poisson distribution as a large number of test rare event of frequence of the probability distribution of the mathematical model, it is to point to a system in running the super load caused by the failure frequency distribution form. According to some properties of poisson distribution, leads to t

3、hese properties in real life important application.Keywords: poisson distribution concept practical application.目錄1 引言41.1 泊松分布42 泊松分布的基礎(chǔ)知識(shí)43 泊松分布下的非線(xiàn)性擬合43.1 擬合函數(shù)是非線(xiàn)性的近似方法43.2 求解泊松分布問(wèn)題的一般途徑54 泊松分布在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用54.1 “非典”的流行和傳播服從泊松分布54.2 泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用64.2.1泊松分布在遺傳圖距計(jì)算中的應(yīng)用64.2.2泊松分布在計(jì)算病毒粒體對(duì)細(xì)胞感染率中的應(yīng)用64.2.3泊松分

4、布在估計(jì)一個(gè)基因文庫(kù)所需克隆數(shù)中的應(yīng)用64.3 初步研究固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性74.4 保險(xiǎn)損失費(fèi)若干問(wèn)題研究85 .結(jié)論85.1 結(jié)語(yǔ)8泊松分布存在在現(xiàn)實(shí)生活的各地，在各個(gè)領(lǐng)域都有泊松分布85.2 參考文獻(xiàn)8淺談泊松分布及其應(yīng)用1 引言1.1 泊松分布泊松分布，是一種統(tǒng)計(jì)與或然率學(xué)里常見(jiàn)到的離散或然率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家西莫恩德尼·泊松在1838年時(shí)發(fā)表，是在推廣伯努利形式下的大數(shù)定律時(shí)，研究得出的一種概率分布，因而命名為泊松分布。在概率論中現(xiàn)稱(chēng)泊松分布。 常用于描述單位時(shí)間、單位平面或單位空間中罕見(jiàn)“質(zhì)點(diǎn)”總數(shù)的隨機(jī)分布規(guī)律。泊松分布作為大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的頻數(shù)的概率分布的數(shù)學(xué)模

5、型, 它具有很多性質(zhì)，泊松分布在實(shí)際生活中起著很大的重要作用。2 泊松分布的基礎(chǔ)知識(shí)泊松分布定義:設(shè)隨機(jī)變量 X 的可能取值為0, 1, 2, ; 且 pX = k =ke-/k! (k=0，1，2，n), > 0為常數(shù)。則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 的泊松分布, 記作 X D。特征：泊松分布的特點(diǎn)是總體上的稀有性和局部的密集性加偶然性。定理1.如果 X 是一個(gè)具有以為參數(shù)的泊松分布, 則 E =且D =。定理2.設(shè)隨機(jī)變量 xn(n = 1, 2, ) 服從二項(xiàng)分布, 其分布律為 Pxn = k = Cn(k)Pn(k)( 1- pn)(n-k)k =0, 1, 2, ?, n。 又設(shè) npn

6、 => 0 是常數(shù), 則lim xn = k =ke-/k!(n趨向無(wú)窮大)。泊松分布參數(shù)的最短置信區(qū)間：由于泊松分布的數(shù)學(xué)期望 E (X ) =,從而E( k)=E (xi) = 。因此如果我們對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì), 可以先求出 的置信區(qū)間的上下限,再分別除以樣本容量 n,便得到的置信區(qū)間。利用泊松分布的分布函數(shù)可以計(jì)算出參數(shù) 的置信區(qū)間, 當(dāng) k>=1時(shí), 可分別解出置信下限 a= 和置信上限 b= 其中, k為樣本總計(jì)數(shù), 1- 為所需的置信度, 0< <1 , 0<<。3 泊松分布下的非線(xiàn)性擬合3.1 擬合函數(shù)是非線(xiàn)性的近似方法

7、對(duì)服從泊松概率分布的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組進(jìn)行擬合，如果擬合函數(shù)是非線(xiàn)性的，常常以下近似方法。近似性之一：表現(xiàn)在將擬合函數(shù)線(xiàn)性化,或者采用某種參數(shù)尋優(yōu) 的方法。近似性之二：則是將泊松問(wèn)題近似地看作高斯分布問(wèn)題。泊松分布與高斯分布：泊松分布與高斯分布是既相近又有差別的兩種概率分布。在概率論中,泊松分布和高斯分布都是二項(xiàng)分布中總項(xiàng)數(shù) N 趨于無(wú)限大時(shí)的極限形式。不同的是,泊松分布很適合描述其數(shù)據(jù)的可能值在一端嚴(yán)格有界,在另一端無(wú)界的實(shí)驗(yàn)。而高斯分布的兩端都可以無(wú)界。并且,對(duì)事件的平均值而言,高斯分布是絕對(duì)對(duì)稱(chēng)的。僅當(dāng)事件的平均值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 1時(shí),泊松分布才接近于對(duì)稱(chēng)分布,與高斯分布相似。3.2 求解泊松分布問(wèn)題

8、的一般途徑首先還是比較一下當(dāng)數(shù)據(jù)漲落分別服從兩種不同概率分布情況 下的異同.對(duì)于高斯概率分布問(wèn)題,觀測(cè)到該數(shù)據(jù)組的概率為最大或然法與最小二乘法均給出同樣結(jié)果,即 j=1,2,n4 泊松分布在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用4.1 “非典”的流行和傳播服從泊松分布2003年，春， 肆虐的“非典”病毒向人類(lèi)發(fā)起了猖狂攻擊。 來(lái)勢(shì)洶涌的“非典”， “非典”給了置身其中的我們很多很多的思索。 比如，為什么我國(guó)會(huì)成為“非典”的重災(zāi)區(qū)？“非典”的傳播和擴(kuò)散是否遵循一定的規(guī)律呢？2003年5月26日10時(shí)至5月27日10時(shí)，全國(guó)各地共報(bào)告新增非典型肺炎臨床診斷病例9例，治愈出院115例，死亡4例。 其中，北京新增臨床診斷病

9、例9例， 治愈出院81例， 死亡4例； 其他省份都沒(méi)有新增臨床診斷病例和死亡病例。 ”從“非典”在我國(guó)流行和傳播的空間分布來(lái)看，主要發(fā)生在北京，顯現(xiàn)總體上的稀有性和局部的密集性加偶然性的特點(diǎn)； 從時(shí)間上看，從發(fā)現(xiàn)病例以來(lái)，以2003年為高峰期，它符合泊松分布的特點(diǎn)， 各段時(shí)間出現(xiàn)失效與否，是相互獨(dú)立的。 所以，“非典”在我國(guó)的流行和傳播是符合泊松分布規(guī)律的的爆發(fā)，其流行和傳播都是服從泊松分布規(guī)律的。 腐敗現(xiàn)象的產(chǎn)生與發(fā)展符合泊松分布腐敗現(xiàn)象作為社會(huì)現(xiàn)象中的一種非常態(tài)， 它的發(fā)生和發(fā)展規(guī)與泊松分布規(guī)律完全相同， 特點(diǎn)是總體上的稀有性和局部的密集性加偶然性，具體表現(xiàn)有“前腐后繼案”“串案”“窩案”

10、等形式。 “前腐后繼案”表明了腐敗現(xiàn)象在時(shí)間上是呈泊松分布，“窩案” 表明了腐敗現(xiàn)象在空間上呈泊松分布，而“串案”則表明了腐敗現(xiàn)象在立體上呈泊松分布。4.2 泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用泊松分布廣泛應(yīng)用于遺傳學(xué)的遺傳圖距計(jì)算、 生物物理學(xué)的輻射生物學(xué)的定量分析、 病毒學(xué)中的病毒感染率計(jì)算、 分子生物學(xué)中一個(gè)基因文庫(kù)所需克隆數(shù)的估計(jì)、 PCR擴(kuò)增片段保真率的估算以及酵母單雙雜交中轉(zhuǎn)化率的估計(jì)等學(xué)科領(lǐng)域。4.2.1泊松分布在遺傳圖距計(jì)算中的應(yīng)用在遺傳學(xué)上,計(jì)算遺傳圖距的基本方法是建立在重組率基礎(chǔ)上的, 根據(jù)重組率的大小作出有關(guān)基因間的距離, 繪出線(xiàn)性基因圖。如果所研究的兩基因座相距甚遠(yuǎn), 其間可發(fā)生雙

11、交換、三交換、四交換或更高數(shù)目交換, 而形成的配子總有一半是非重組型的。因此，我們可利用泊松分布原理來(lái)描述減數(shù)分裂過(guò)程中染色體上某區(qū)段交換的分布。4.2.2泊松分布在計(jì)算病毒粒體對(duì)細(xì)胞感染率中的應(yīng)用在感染病毒的細(xì)胞培養(yǎng)物中, 培養(yǎng)細(xì)胞可被不同數(shù)量的病毒粒體感染, 了解病毒粒體在培養(yǎng)細(xì)胞上的分布, 即了解病毒粒體所感染的細(xì)胞比率。而受感染的細(xì)胞比率取決于每個(gè)細(xì)胞中所含有的病毒粒體的平均數(shù), 稱(chēng)感染重?cái)?shù) ( m )。感染細(xì)胞的病毒粒體是指那些早期起始感染的粒體, 無(wú)活性病毒粒體不計(jì)。因此, m同感染細(xì)胞病毒粒體總數(shù) ( N)和細(xì)胞總數(shù) ( C)的關(guān)系是 m =aN/C, 這里 a是指細(xì)胞早期起始感

12、染病毒粒體的比率, 如果a能確定, 則 m值可由已知的 N值與 C值計(jì)算出來(lái)。實(shí)際上細(xì)胞大小和表面特性等許多方面細(xì)胞是不同的, 但這些偏差是可忽略的, 現(xiàn)假定對(duì)細(xì)胞來(lái)說(shuō)被感染的能力都一樣。由泊松分布可知p(n)=(mn)(e-m)/n!z則未被感染的細(xì)胞比率p (0)=(m0)(e-m)/0!=e-m那么感染重?cái)?shù) m也可以通過(guò)未被感染的細(xì) 胞比率 p ( 0 )的實(shí) 驗(yàn)測(cè)定來(lái)求得:m = - Inp (0)。4.2.3泊松分布在估計(jì)一個(gè)基因文庫(kù)所需克隆數(shù)中的應(yīng)用在分子生物學(xué)中, 一個(gè)完整的基因文庫(kù)所需克隆數(shù)的估計(jì)對(duì)基因克隆實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)具有重要意義。由于基因組 DNA是從大量細(xì)胞中提取的, 每

13、個(gè)細(xì)胞中均含有全部基因組 DNA, 那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的, 因此可以說(shuō)各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中, 基因組 DNA 用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以及隨后的過(guò)程均是隨機(jī)的生化反應(yīng)過(guò)程。第一, 對(duì)克隆來(lái)說(shuō)一限制性片段要么被克隆、 要么不被克隆, 只有這兩種結(jié)果;第二, 由于總體限制性片段是大量的, 被克隆的對(duì)總體影響很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的概率為f( f較小 ), 不被克隆的概率為 1- , f 且克隆時(shí)這兩種概率都不變。綜上所述, 基因克隆的過(guò)程符合泊松分布, 可用泊松分布來(lái)分析計(jì)算。設(shè) p為基因被克隆的概率; N 為要求的克隆的概率為 p時(shí)一個(gè)基因文

14、庫(kù)所需含有重組 DNA 的克隆數(shù); f為限制性片段的平均長(zhǎng)度與 基因組 DNA 總長(zhǎng)度之比, 若基因 組DNA 被限制性酶切割成 n個(gè) DNA 片段, f即1/n。則在克隆數(shù)為 N 時(shí), 任一段被克隆一次或一次以上的概 率 為 p = 1 - p ( 0 ) = 1 e , 可 推 出 N =1n( 1- p )/f, 一般要求目的基因序列出現(xiàn)的概率 p的期望值定為99%,那么N =- n1n (1- p)=- n1n ( 1- 0. 99) = 4. 605n。4.3 初步研究固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)研制一般要經(jīng)過(guò)模樣、初樣、試樣、定型等階段, 在研制中進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)是提高產(chǎn)品

15、可靠性的有效手段. 通過(guò)這種試驗(yàn), 不斷發(fā)現(xiàn)和消除系統(tǒng)性缺陷, 提高產(chǎn)品的可靠性. 發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性增長(zhǎng)研究是近年來(lái)發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性研究的一個(gè)重要方向, 已引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度重視.數(shù)學(xué)模型假設(shè): 研制生產(chǎn)的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)總數(shù)為 n; 最初設(shè)計(jì)的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)性缺陷數(shù)為 B0; 各系統(tǒng)性缺陷失效率均為 p;若試驗(yàn)失敗, 則導(dǎo)致失敗的故障模式可以確定, 并從以后的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)品中成功消除.研究問(wèn)題: 給定產(chǎn)品總數(shù) n, 選擇試驗(yàn)量 t,通過(guò)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的系統(tǒng)性缺陷, 通過(guò)改進(jìn)設(shè)計(jì), 使余下的 (n- t)臺(tái)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)成功數(shù)期望值最大.成功數(shù) S0服從成功率為 ( 1-

16、 p)B0的二項(xiàng)分布, 即S0 B in(n, (1- p )B0), 則條件期望為E S0 | B0 = n( 1- p ).進(jìn)一步, 假設(shè)完成了 t次試驗(yàn), E St | Bt = (n - t)( 1- p)其中, Bt是 t次試驗(yàn)后剩余的系統(tǒng)性缺陷數(shù).注意到 t次試驗(yàn)后任一缺陷繼續(xù)存在的概率為( 1- p), 則 Bt關(guān)于 B0的條件分布為二項(xiàng)分布:P Bt = k | B0=(B0 ; k)(列矩陣） ( 1- p )(1- ( 1- p) 其母函數(shù)為gBt|B0(z) = E z| B0 設(shè) gB0( z) 為 B0的母函數(shù), 由條件期望的性質(zhì)為gBt(z) = EBtz| B0

17、= EB0E z| B0 = EB0 (z( 1- p)+ (1- ( 1- p) )= gB0(z( 1- p)+ ( 1- ( 1- p )t) ).至此, 只要知道 B0的分布特征, 就可求得E z, 進(jìn)而得到 E St.一般取初始系統(tǒng)性缺陷數(shù) B0為服從均值為的泊松分布, 則其母函數(shù)為 gB0(z) = , 所以EBtz = gB0(z ( 1- p)+ ( 1- ( 1- p) )= .推出E St= = (n - t) 。此時(shí), 若所有參數(shù)已知或可估計(jì), 就可得到最佳試驗(yàn)量 t = topt(n), 使剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望值最大. 實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中, 參數(shù) p 值不易確定, 為消除E

18、St 與 p的相關(guān)性, 設(shè)f (p ) = lnE St = ln(n - t) ( 1- p)p. 令 df (p ) /dp = 0 , 求出 p, 即 p的最小值 pm in =1/(1+ t). 則Em inSt = (n - t) exp- (t/(1+ t)(1/(1+ t). 最佳可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)量的準(zhǔn)則是選取使Em in St 最大的試驗(yàn)量 t . 這一準(zhǔn)則稱(chēng)為極大 -極小準(zhǔn)則. 此時(shí), Em in St 值只與 n, 和 t有關(guān), 消除了p對(duì)試驗(yàn)量選擇的影響.4.4 保險(xiǎn)損失費(fèi)若干問(wèn)題研究設(shè)在某一時(shí)段內(nèi)共有 N 個(gè)投保者, 第 i 個(gè)在此時(shí)段內(nèi)的損失費(fèi)用Xi 表示( i= 1,

19、 2, , N) , 且設(shè) X i 間相互獨(dú)立, N 為隨機(jī)變量, X 1, X 2, ,XN, N 間相互獨(dú)立, 則在此時(shí)段內(nèi)承保者所面臨的風(fēng)險(xiǎn)為S= X 1+ X 2+ ,+ X N事實(shí)上, 危險(xiǎn)事故保險(xiǎn)( 如汽車(chē)保險(xiǎn)、 火災(zāi)保險(xiǎn)等)的損失費(fèi)可由指數(shù)分布來(lái)描述, 這是由這些保險(xiǎn)具有/ 無(wú)記憶性0的特征所決定的. 即投保人投保后已發(fā)生危險(xiǎn)事故所發(fā)生的損失費(fèi)在超過(guò) t的前提下再次發(fā)生危險(xiǎn)事故其損失費(fèi)超過(guò)s 的條件概率與自投保后首次發(fā)生危險(xiǎn)事故其損失費(fèi)超過(guò)的無(wú)條件概率相等, 即可由下列簡(jiǎn)單過(guò)程導(dǎo)出.以 X 表示投保人在某一時(shí)間內(nèi)發(fā)生危險(xiǎn)事故的損失費(fèi), 令 g(t) = P X> t , 則

20、由/ 無(wú)記憶性0的涵義可得: P X > s+ t | X > t = P X >s, 這里 s> 0, t> 0. 則由條件概率的計(jì)算公式易得, g( t+ s) = g( t ) g( s). 通過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算, 可以得到, 當(dāng) t> 0 時(shí), g( t)= e-K t, 這里 K > 0. 顯然 P t F0= 0, 即當(dāng) t F0時(shí), 都有 g( t) = 0.綜合之, 可知, X 為服從參數(shù) K的指數(shù)分布.本文將以危險(xiǎn)事所發(fā)生的損失費(fèi)為研究對(duì)象, 討論投保人數(shù) N 服從泊松分布下總損失費(fèi)的分布。保險(xiǎn)損失費(fèi)分布是保險(xiǎn)精算中的重要內(nèi)容,對(duì)其加以研究是必要的. 由于分布的復(fù)雜,