Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

1、2022-2-231BlackBlack-ScholesScholes期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型2022-2-232BlackBlack-ScholesScholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路期權(quán)定價(jià)模型的基本思路n期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。n標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。n金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可

2、以用金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用Ito過程來描述。而數(shù)學(xué)家過程來描述。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價(jià)格的引理可以從股票價(jià)格的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程。遵循的隨機(jī)過程。n在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中，在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中， Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不

3、確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無風(fēng)險(xiǎn)利組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。從而得到一個(gè)重要的方程：率。從而得到一個(gè)重要的方程： Black-Scholes微分方程。微分方程。n求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。2022-2-233為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程過程? ?n期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于對(duì)于證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。必須研究證券價(jià)格。n期權(quán)的價(jià)值正是來源于簽訂

4、合約時(shí)，未來標(biāo)的期權(quán)的價(jià)值正是來源于簽訂合約時(shí)，未來標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過程。解其所遵循的隨機(jī)過程。n研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。2022-2-234隨機(jī)過程隨機(jī)過程n隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程。隨時(shí)間變化的過程。n隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程的分

5、類q離散時(shí)間、離散變量q離散時(shí)間、連續(xù)變量q連續(xù)時(shí)間、離散變量q連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量2022-2-235幾種隨機(jī)過程幾種隨機(jī)過程n標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程 ）q起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述。 q設(shè)t代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，z代表變量z在t時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的z具有兩種特征：n特征1： 其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。n特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔t ，z的值相互獨(dú)立。q特征的理解n特征1：n特征2: 馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過

6、去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測(cè)無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。 zt 0,;zNtt方差為。2022-2-236標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)）n考察變量考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形：中的變化情形：qz（T）z(0)表示變量z在T中的變化量 q又可被看作是在N個(gè)長(zhǎng)度為t的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中N=T/ t 。q很顯然，這是n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和：n因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N t =T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。n為何定義為：為何定義為：q當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長(zhǎng)度間隔中的變量

7、變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。q相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)閚連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：q當(dāng)t 0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)1( )(0)Niiz TztTtztz 而非年dzdt2022-2-237普通布朗運(yùn)動(dòng)普通布朗運(yùn)動(dòng)n變量變量x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)：遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)：q其中，a和b均為常數(shù)，z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 q這里的a為漂移率（Drift Rate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量x均值的變化值。 q這里的b2為方差率（Variance Rate），是指

8、單位時(shí)間的方差。 q這個(gè)過程指出變量x關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過程。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。 n可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后，可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后，x值的變化都具有正態(tài)值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,方差為方差為b2T.dxadtbdzb T2022-2-238Ito過程和過程和Ito引理引理n伊藤過程（伊藤過程（Ito Process）：）：q普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和

9、時(shí)間t的函數(shù)，我們就得到其中，z遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2都隨時(shí)間變化。這就是伊藤過程。nIto引理引理q若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：其中，z遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。由于a 和b都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為方差率為( , )( , )dxa x t dtb x t dz2221()2GGGGdGab dtbdzxtxx22212GGGabxtx22()Gbx2022-2-239證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程n目的：找到一個(gè)合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確目的：找到一個(gè)合適的隨機(jī)過

10、程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡(jiǎn)單性。上的簡(jiǎn)單性。n基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程：基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程：q其中，S表示證券價(jià)格，表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），2 表示證券收益率單位時(shí)間的方差，表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 一般和的單位都是年。q很顯然，這是一個(gè)漂移率為S、方差率為2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSdSSdtSdzdtdzS或2022-2-2310為什么證券價(jià)格可

11、以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)表示？表示？n一般認(rèn)同的一般認(rèn)同的“弱式效率市場(chǎng)假說弱式效率市場(chǎng)假說”：q證券價(jià)格的變動(dòng)歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息。q馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測(cè)無關(guān)。q幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來源于維納過程dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說。n投資者感興趣的不是股票價(jià)格投資者感興趣的不是股票價(jià)格S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格以

12、一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股票價(jià)格。票價(jià)格。n幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這比是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實(shí)。較符合現(xiàn)實(shí)。2022-2-2311百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率n百分比收益率：百分比收益率：n連續(xù)復(fù)利收益率連續(xù)復(fù)利收益率:n百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)：百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)

13、：q有限責(zé)任原則：n金融學(xué)中常常存在對(duì)實(shí)際收益率（近似）服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責(zé)任（投資者頂多賠償全部的投資，不會(huì)損失更多）原則下，百分比收益率只在1和 之間變化，不符合正態(tài)分布假定。n對(duì)數(shù)收益率（ ， ）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。q多期收益率問題：n即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積，n個(gè)正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。從而產(chǎn)生悖論。n多期的對(duì)數(shù)收益率是單期的對(duì)數(shù)收益率之和，仍然服從正態(tài)分布。q交叉匯率問題：n如果用百分比表示，例如美元對(duì)日元匯率變化收益率、日元對(duì)美元匯率變化收益率，兩者絕對(duì)值不會(huì)相等；而且其中一

14、個(gè)服從正態(tài)分布，另一個(gè)就無法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計(jì)算。n如果用對(duì)數(shù)收益率表示，兩個(gè)相互的匯率收益率絕對(duì)值正好相等而符號(hào)相反；可以滿足同時(shí)服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計(jì)算。n連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?duì)數(shù)之和不是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?duì)數(shù)之和不是和的對(duì)數(shù)。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。和的對(duì)數(shù)。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。JP摩根銀行的摩根銀行的Ri

15、skMetrics方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。00TSSSSS或0lnlnTSS2022-2-2312幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析n在很短的時(shí)間在很短的時(shí)間t t后，后，證券價(jià)格比率的變化值證券價(jià)格比率的變化值 為：為：n可見，在短時(shí)間內(nèi)，可見，在短時(shí)間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征具有正態(tài)分布特征n其均值為其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為，方差為 。 SSttSS (,)SttS tt2t2022-2-2313幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（2）n但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間但是

16、，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間T后，后， 不再具有正不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：態(tài)分布的性質(zhì)：q多期收益率的乘積問題q因此，盡管是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是 。股票價(jià)格的年波動(dòng)率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。SST2022-2-2314幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（3）n如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的所遵循的隨機(jī)過程：隨機(jī)過程：n這個(gè)隨機(jī)過程的特征：這個(gè)隨機(jī)過程的特征：q普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率

17、和恒定的方差率。q在任意時(shí)間長(zhǎng)度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為 ，和時(shí)間長(zhǎng)度平方根成正比。q從自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩個(gè)結(jié)論:2()2dGdtdz2(/2)()Tt2()T ttT22 ()(),GTtTt 2022-2-2315（1）幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分）幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。布。n令令t時(shí)刻時(shí)刻G的值為的值為lnS，T時(shí)刻時(shí)刻G的值為的值為lnST，其中，其中S表表示示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示表示T時(shí)刻（將時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在來時(shí)刻

18、）的證券價(jià)格，則在Tt期間期間G的變化為：的變化為：q這意味著： n進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到n也就是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變也就是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這表明正態(tài)分布。這表明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。n 這正好與這正好與作為預(yù)期收益率的定義相符。作為預(yù)期收益率的定義相符。lnlnTSS22lnln ()(),TSSTtTt 22ln ln()(),TSSTtTt()()T tTE SSe222()()var()

19、1T tT tTSS ee2022-2-2316（2）股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布n由于由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。比例。n將將t與與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為，則，則22t22lnln ()(1e), (n,lt)TTTSSSSSTtTStTt

20、 （T- ）， 可得T-由2022-2-2317結(jié)論結(jié)論n幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過程。程。2022-2-2318參數(shù)的理解參數(shù)的理解n：q幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率，短時(shí)期內(nèi)的期望值。q根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無關(guān)的。q較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率

21、則是算術(shù)平均的結(jié)果。n：q是證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差q因此一般從歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。q一般來說，時(shí)間越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；采用交易天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。222022-2-2319小結(jié)小結(jié)n我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格的運(yùn)我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)：符合弱式有效、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)，動(dòng)：符合弱式有效、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)，以及投資者對(duì)收益率而非價(jià)格的關(guān)注。以及投資者對(duì)收益率而非價(jià)格的關(guān)注。n根據(jù)根據(jù)Ito引理，可以得到衍生證券所遵循的隨引理，可以得到衍生證

22、券所遵循的隨機(jī)過程。機(jī)過程。n股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以得到未來的股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以得到未來的某個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論某個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論dSdSSdtSdzdtdzS或2022-2-2320BlackBlack-ScholesScholes微分方程：基本思路微分方程：基本思路n思路：由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種思路：由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性（不確定性（dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立

23、起一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。那相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。那么，在無套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在么，在無套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。 2022-2-2321BlackBlack-ScholesScholes微分方程：假設(shè)微分

24、方程：假設(shè)n假設(shè)：假設(shè)：q證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和和為常數(shù)；為常數(shù)；q允許賣空；允許賣空；q沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；q在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；q不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；q證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；q在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。為常數(shù)。q歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán)歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022-2-2322股票價(jià)格和

25、期權(quán)價(jià)格服從的隨機(jī)過程股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格服從的隨機(jī)過程22221()(22dSSdtSdzffffdfSSdtSdzStSS股票價(jià)格:（1）期權(quán)價(jià)格：）2022-2-2323BlackBlack-ScholesScholes微分方程微分方程n推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程q根據(jù)（1）和（2），在一個(gè)很小的時(shí)間間隔里S和f的變化值分別為q為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價(jià)值，則：22221()2SS tS zfffffSStS zStSS 和zfSffSS 2022-2-2324n在在 時(shí)間后：時(shí)間后： n將將 代入，可得：代入，可得： n在沒

26、有套利機(jī)會(huì)的條件下：在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下：n從而得到：從而得到： n這就是著名的布萊克這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。的所有衍生證券的定價(jià)。n值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時(shí)間內(nèi)才是無風(fēng)險(xiǎn)的。值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時(shí)間內(nèi)才是無風(fēng)險(xiǎn)的。 會(huì)不斷地發(fā)生變化。會(huì)不斷地發(fā)生變化。tffSS 22221()2ffSttS rt fS和222212fffrSSrftSSfS2022-2-2325BSBS公式的一個(gè)重要結(jié)論公式的一個(gè)重要結(jié)論風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定

27、價(jià)原理 n從從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、時(shí)間（）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）和）和無風(fēng)險(xiǎn)利率無風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。券的價(jià)值決定公式中。n由此我們可以利用由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)公式

28、得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。2022-2-2326風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理n所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。無風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。n風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界q所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率q所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。n盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克盡

29、管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。2022-2-2327An Examplen假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在元，我們知道在3個(gè)月后，個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是該股

30、票價(jià)格要么是11元，要么是元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。n由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若元；若3個(gè)月后該個(gè)月后該股票價(jià)格等于股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為元，則該期權(quán)價(jià)值為0。n為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)

31、空頭和單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，元時(shí)，該組合價(jià)值等于（該組合價(jià)值等于（110.5）元；若）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，元時(shí)，該組合價(jià)值等于該組合價(jià)值等于9元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，使擇適當(dāng)?shù)闹担?個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：n110.5=9n =0.25n因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。股

32、標(biāo)的股票。無論無論3個(gè)月后股票價(jià)格等于個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是元還是9元，該組合價(jià)值都將等于元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。元。2022-2-2328n在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：n2.25e-0.10.25=2.19n由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為10元，因元，因此：此：n100.25-f2.19;

33、 f0.31n這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否元，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。2022-2-2329n從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到價(jià)格上漲到11元的概率和下降到元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無票上升和下降的概率也就確定了。例如，

34、在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率，則股票上升的概率P可以通過下式來求：可以通過下式來求：n10=e-0.10.2511p+9(1-p)nP=62.66%。n又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上，則股票的上升概率可以通過下式來求：升概率可以通過下式來求：n10=e-0.150.2511p+9(1-p)nP=69.11%。n可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期收益率決定了

35、股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于值都等于0.31元。元。2022-2-2330前文的兩個(gè)重要結(jié)論前文的兩個(gè)重要結(jié)論n股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布n風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理2022-2-2331blackScholes期權(quán)定價(jià)公式期權(quán)定價(jià)公式n金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)：金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)： （3）n其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。所有的利率

36、都使用無風(fēng)險(xiǎn)利率：包括的期望值。所有的利率都使用無風(fēng)險(xiǎn)利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率。n要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格ST，我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此，率應(yīng)用無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此，()max(,0)r T tTceESX2ln ln()(),2TSSrTtTt2022-2-2332n對(duì)式（對(duì)式（3）的右邊求值是一個(gè)積分過程，求得：）的右邊求值是一個(gè)積分過程，求得：nN（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布）為標(biāo)

37、準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率）。的概率）。n這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 21221ln( /)(/2)()ln( /)(/2)()S XrTtdTtS XrTtddTtTt()12()()r T tcSN dXeN d2022-2-2333 首先，首先，N(dN(d2 2) )是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中S ST T大于大于X X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，率， e e-r(T-t)-r(T-t)XN(dXN(d2 2) )是是X X的風(fēng)

38、險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。值。 SN(dSN(d1 1)= e)= e-r(T-t)-r(T-t)S ST T N(d N(d1 1) )是是S ST T的風(fēng)險(xiǎn)中性的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。期望值的現(xiàn)值。因此，這個(gè)公式就是未來收益期望值的貼因此，這個(gè)公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)?，F(xiàn)。BS公式的理解公式的理解2022-2-2334n其次，其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量（求導(dǎo)），（求導(dǎo)），SN（d1)就是股票的市值就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 q數(shù)學(xué)等式的金融工程含義q看漲期權(quán)

39、空頭的套期保值結(jié)果)(1dN2022-2-2335n最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是是X份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。期權(quán)空頭的價(jià)值。q資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)

40、行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)q（標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán):如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格的概率為1份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t) N(d2)。2022-2-2336n在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。值。n根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平根據(jù)歐式看漲

41、期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式權(quán)的定價(jià)公式 ： n由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無法得到精確的解析公式，而只能運(yùn)用數(shù)值方法和近似方法得到。)()(12)(dSNdNXeptTrBS定價(jià)模型的基本推廣定價(jià)模型的基本推廣2022-2-2337有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)公式n基本理解：基本理解：在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期

42、權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率，就可直接套用前面公式分別計(jì)算出有收過程的波動(dòng)率，就可直接套用前面公式分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。n因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I I時(shí)，我們只要用時(shí)，我們只要用（S SI I）代替前面公式的）代替前面公式的S S即可求出固定收益證

43、券歐式即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格?？礉q和看跌期權(quán)的價(jià)格。 n當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將（單位為年）時(shí)，我們只要將SeSeq q（T-tT-t）代替前面公式代替前面公式中的中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格?？吹跈?quán)的價(jià)格。 2022-2-2338n歐式股指期權(quán)、歐式外匯期權(quán)都可以看成歐式股指期權(quán)、歐式外匯期權(quán)都可以看成支付連續(xù)復(fù)利紅利率的資產(chǎn)期權(quán)支付連續(xù)復(fù)利紅利率的資產(chǎn)期權(quán)n歐式期貨期權(quán)定價(jià)公式為：歐式期貨期權(quán)定價(jià)公式為： n其中：其中：)()(21)(dXNdFNectTr)()(12)(dFNdXNeptTrtTdtTtTXFdtTtTXFd12221)(2)/ln()(2)/ln(2022-2-2339例例1 1n假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國(guó)，美國(guó)的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國(guó)的