線性代數(shù)的某些結論

1、12345678910111231234線性代數(shù)中的有關重要結論寧榮健n階方陣A可逆的充要條件A 0。存在方陣 B ,使得AB = E或BA= E。A可表示成若干個初等矩陣的乘積。A特征值全不為零。A可經(jīng)過初等變換變?yōu)?E，或等價于E。A的行(列)向量組線性無關。A的行(列)向量組的秩=n .或r (A) = n?；騬(A*) n。A的行(列)向量組線性為向量空間Rn的一組基。齊次線性方程組Ax=O只有零解.非齊次線性方程組Ax b有惟一解。 aat正定。初等行變換的作用將矩陣化成階梯形： 求矩陣的秩，向量組的秩； 判斷向量組的線性相關性，求向量組的極大無關組； 判定線性方程組是否無解、有唯一

2、解、有無窮多解； 求齊次線性方程組基礎解系中解向量的個數(shù)。將矩陣化成行最簡形： 求逆矩陣； 解線性方程組，解矩陣方程； 求齊次線性方程組的基礎解系； 將向量組中的向量用其極大無關組線性表示。 初等行變換的性質(zhì)： 不改變矩陣(向量組)的秩； 不改變線性方程組的解，行向量組等價； 不改變列向量組的線性相關性。 對m'：n的矩陣，初等行變換相當于左乘一個 m階初等矩陣有關秩的結論0 r(Am n)minm,n。r (A) = r(AT) = r(ATA) = r( AAT)。r(kA) r(A) (k 上0)。若AB,則r(A)r(B),或存在可逆陣P,Q,使得PAQ B ,則r(A)_r(

3、B)。r(AB) minr(A),r(B);或向量組 A可由向量組 B線性表示,則r(A) r(B)。 r( A B) r(A B, B) r(A, B) , min r(A),r(B) r(A,B) r(A) r(B).5678910111213141516若 r(A)r，則 r <r(A,b)：r 1。若 AmBn. l O，則 r (A) I r (B)吒 n。若存在A的一個r階子式Dr工0 ,則r(A) > r ;若A的所有r十1階子式Dr t = 0，則r(A) < r。矩陣A的秩=A行向量組的秩=A列向量組的秩n,r(An ) = n,r(A*) = 1, r(A

4、n) = n 1,( n> 1)。0, r(AJ V n 1.對于非齊次線性方程組 Ax b ,當 r(A)-r(A,b) n 時，有惟一解；當r(A) r(A,b) vn時,有無窮多解；當 r(A)cr(A,b)時，無解。對于齊次線性方程組 Ax 0 ,當r(A) -n時，只有零解；當r(A) n時，有非零解。Ax 0,線性方程組Ax 0的解均為Bx 0的解：線性方程組Ax 0與bx_o同解O r(A) - r 。Bi線性方程組 Ax 0與Bx 0同解：A的行向量組與 B的行向量組等價XO r(A) r(B) r ；A的列向量組與B的列向量組等價“三“ r(A) r(B) r A,B線

5、性方程組Ax 0與Bx 0有相同非零解r線性方程組| Ax 0,Bx 0f A非零解o r J n .I.B丿171819四、12345678910示,11若r(A) r，線性方程組 Ax 0的基礎解系中解向量的個數(shù)為n r。若矩陣方程 AXB有解，則r(A) r(A,B)> r(B)。若A為n階實對稱矩陣，為A的k重特征值，則r( E A n k ,即線性方程組(E A x 0的基礎解系中有k個解向量。向量組線性相關性的判定定義：如果存在一組不全為零的數(shù)k|,k2,，km，使得k1 1 k2 2km m 0，就稱1，2,，m線性相關；否則，稱1，2,，m線性無關當m 1時，1線性相關I

6、 10;1線性無關1 0。當m 2時，!，2線性相關：1，2的對應分量成比例： 川2 ；1, 2線性無關二1, 2的對應分量不成比例二 J 2.1 , 2，m線性相關：線性方程組X1 1X2 2 'Xmm 0有非零解1, 2，m線性無關線性方程組X1 1X2 2 'Xmm 0只有零解。1 , 2，m線性相關：一；r( 1 , 2，m)m ；1，2，m線性無關r( 1，2，m)m。若A ( 1, 2，n)是方陣，則1, 2jjn線性相關:A0 ；1， 2，5n線性無關- |A0 ；若A ( 1, 2，m)中存在一個階子式Dr=0，貝U Dr對應的個列(行)向量線性無 關。初等行變

7、換不改變列向量組的線性相關性。若向量線性相關，則增加若干向量仍線性相關；若向量線性無關，則去掉若干向量仍線性無關。當向量的維數(shù)小于向量的個數(shù)時，則向量組線性相關。若1，2，'''，m線性無關，則1，2，'''，m，線性相關匚” 必能由1，2，'''，m線性表且表達式唯一。設向量組1，2，'''，m線性無關，(1, 2，m) ( 1, 2，m) Km m，則1 , 2,，m線性無關Km m 0。12屬于不同特征值的特征向量線性無關。五、矩陣的等價，合同，相似1若A經(jīng)過有限次初等變換變成（注1: A與B

8、未必為方陣；注2若A與B相似，即存在可逆陣（注1: A與B必為方陣）3若A與B合同，即存在可逆陣B，即存在可逆陣P,Q，使得PAQ B，則A與B等價。2: A與B未必相似）1P，使得P AP B ,則A與B 一定等價。C，使得CT AC B，則A與B 一定等價.（注1: A與B必為方陣，且一般為實對稱陣）4相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣具有相同的特征多項式，有相同的特征值。（反之未必）5相似對角化的條件： n階方陣A可相似對角化A有n個線性無關的特征向量若是A的特征方程的k重特征根，則對應的線性無關的特征向量有k個，即R（A E） n k ； 若n階方陣A有n個不同的特征值，則A可相似對角化; 若A

9、為n階實對稱陣，則 A可相似對角化。6合同矩陣的性質(zhì)：n階實對稱陣 A與B合同A與B具有完全相同的正特征值個數(shù)、負特征值個數(shù)和零特征值個數(shù)對應二次型正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)和零慣性指數(shù)分別相等。一 17若對于正交陣P，若卩一 AP B，則A與B等價，相似，合同。六、特征值的結論1定義：A為n階方陣，Ax x，x 0， 為A的特征值，x為A的特征向量。為A E 0的根，特征向量x為（AE）x 0的非零解。3 設 1, 2為n階方陣A的特征值，則aiii 1ntr(A)， i |A|.i 14設1, 2, , n為n階方陣A的特征值（含重數(shù)）， AT的特征值為1, 2, , n （含重數(shù)），注意：特

10、征向量未必相同 （）為多項式，則（A）的特征值為（1）, （ 2）,，（n）（含重數(shù)），且其特征向量與A的特征向量相同；特別地，若Ak O，則A的特征值全為零;若A2 E ,則A的特征值只可能為1或1 ;若A A，則A的特征值只可能為1或0。1 1若A可逆,則A 1的特征值為，一,1 2丄；A*的特征值為,-,n12，（含重數(shù)）,n且其特征向量與 A的特征向量相同。5 其它結論： 對角矩陣的特征值為其主對角線元素； 相似矩陣具有相同的特征值。注意：特征向量未必相同; 屬于實對稱矩陣不同特征值的特征向量必正交；n階正交陣A （ AA E）的特征值為1或1或模為1的復數(shù);若方陣A的各行元素之和為 k,則k為A的一個特征值，且特征向量為(1,1;,1)T; 若方陣A不可逆，則0為A的一個特征值； （了解）設代B均為n階方陣，則 AB與BA具有相同的非零特征值;（了解）設A為n階方陣，且r(A) =1，則 0 為 A 的 n1重特征值.七、二次型及實對稱矩陣的正定性、1充要條件：n兀二次型f xT Ax正定對任意x 0，均有xT Ax 0A正定A的特征值全大于零A的各階順序主子式全大于零f的正慣性指數(shù)為n存在可逆矩陣U ,使得AUUn元二次型f xT Ax負定對任意x 0,均有xTAx