橢圓重點(diǎn)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)

1、圓錐曲線知識網(wǎng)絡(luò)第1講橢圓知識梳理1.橢圓定義：（1） 第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fl、F2的距離之和為常數(shù)2a（2a |F2F2 |）的動點(diǎn)P的軌跡叫橢圓，其中 兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)PF1 +PF2 =2日屮店2時(shí)，P的軌跡為橢圓；當(dāng)PF1 +PF2 =2已£阡2時(shí)，P的軌跡不存在；當(dāng)PF1 PF2 =2a = F2時(shí)，P的軌跡為以F1、F2為端點(diǎn)的線段（2） 橢圓的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F與定直線1（定點(diǎn)F不在定直線丨上）的距離之比是常數(shù) e（o ： e ： h 的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義，可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）2橢圓的方程

2、與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2Xy+ =1(a Ab >0) ab2 2 yx二 +2 =1(a Ab A0) a b性質(zhì)參數(shù)關(guān)系2 . 2 2 a =b +c焦占八 '、八、(c,0), (-c,0)(0,c), (0,-c)焦距2c范圍|x|蘭a,| yb| y|蘭a,|x|蘭 b頂點(diǎn)(F0),(a,0),(0,4),(0,b)(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱離心率ce=R0,1)a準(zhǔn)線2 a x = ±c2 a y = ± c2 2x yp(x y ) =1(a >b >0)3.點(diǎn)P(Xo,yo)與橢

3、圓a b的位置關(guān)系：22 2 2 2 2當(dāng)a-b21時(shí),點(diǎn)p在橢圓外；當(dāng)a2b2“時(shí),點(diǎn)p在橢圓內(nèi)；當(dāng)已半"時(shí),點(diǎn)p在橢圓上4直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓相交 =0;直線與橢圓相切 =人=°直線與橢圓相離=':0重難點(diǎn)突破重點(diǎn):掌握橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，會用定義法和待定系數(shù)法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程 研究橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用難點(diǎn):橢圓的幾何元素與參數(shù)a,b, c的轉(zhuǎn)換重難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，圍繞“焦點(diǎn)三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質(zhì)，把握幾何元素轉(zhuǎn)換成參數(shù)a,b,c的關(guān)系1要有用定義的意識問題1已知2 2x +y =1+F1、F2為橢圓25 9的

4、兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若F2A+F2B=12 ,則AB =。解析UBF2的周長為4a =20，二AB =82求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的定位2 2問題2橢圓4 m 的離心率為解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí), 4 -m2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),116=一 ：m -2316m 綜上 3或3熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1 (湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢 圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn) A的小球(小球的半徑不計(jì))

5、次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是D .以上答案均有可能A . 4a B . 2(a c) C. 2(a+c)解析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況(1) A - C - A,此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a c);A-B-D - B-A,此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a+c);A-P-B-Q-A此時(shí)小球經(jīng)過的路程為4a,故選D，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第【名師指弓I】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面題型2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a，b,c的式子“描述”出來2 2x. y_2 ,2解析設(shè)橢圓的方程

6、為a b2x或b22丄2a-1(a b 0)則,_c2 ab = c=4( .2 -1).2 2=b c解之得:4 2 , b=c = 4則所求的橢圓的方程為2 2乙工=13216 或 16x22132【名師指引】準(zhǔn)確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)a,b,c的數(shù)量關(guān)系.較近的端點(diǎn)距離為 4-.2 4,求此橢圓方程.警示易漏焦點(diǎn)在 y軸上的情況. 考點(diǎn)2橢圓的幾何性質(zhì)題型1:求橢圓的離心率(或范圍)例 3 在 ABC 中,'A =30°,|ABF2,Sabc.若以A, B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e二【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率S咎bc =

7、 I AB | '| AC | sin A = V3 解析：2AC| = 2T3 |BC|= JAB|2+|AC|2 _2|AB| '|AC|cosA=2| AB |2|AC| |BC23 23 -12【名師指引】（1 ）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也 隨之確定（2）只要列出a、b、c的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）（3）“焦點(diǎn)三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對稱性等）2 2x, y滿足42=1 2 2，求xy -x的最大值與最小值【解題思路】2把X2y - X看作X的函數(shù)22xy=1y2 = 2

8、 _x2解析由42得2,例4 已知實(shí)數(shù)14cos 3sin v -1212|5sin() -9|-2、21 2.2 -x2 _0. -2 _x _22.x2 y2 -xx2 - x 2（x -1）2 3,x -2,22 2 232 2 2 2當(dāng)x =1時(shí),xy -X取得最小值2 ,當(dāng)x - -2時(shí),xy -X取得最大值6【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時(shí)不出差錯 考點(diǎn)3橢圓的最值問題題型：動點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)涉及的距離、面積的最值2 2x_ 丄=1例5 橢圓169上的點(diǎn)到直線|：x + y9=0的距離的最小值為 【解題思路】把動點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)解析在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)

9、p（4cos3sinr ）.那么點(diǎn)P到直線l的距離為:【名師指引】也可以直接設(shè)點(diǎn)P（x,y），用X表示y后，把動點(diǎn)到直線的距離表示為X的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”考點(diǎn)4橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題例6 已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) 。，一個(gè)長軸端點(diǎn)為0,1 ，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,直線1與y軸交于點(diǎn)P( 0，m)，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B ,且AP = 3PB .(1) 求橢圓方程；(2) 求m的取值范圍.【解題思路】 通過AP =3PB ,溝通a、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于的不等式2 2C : 1 (a>b>

10、0)=1422解析(1)由題意可知橢圓 C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可設(shè) a b2 , 2 2由條件知a二1且b =c ,又有a =b c ,解得c 2e =故橢圓C的離心率為a 2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)設(shè) I 與橢圓 C 交點(diǎn)為 A (x1 , y1) , B (x2, y2)ry = kx + m5得(k2 + 2) x2 + 2kmx +( m2 - 1 )= 02x2 + y2= 1=( 2km) 2- 4 ( k2 + 2) ( m2 - 1)= 4 ( k2 2m2+ 2) >0 (* )x1 + x2 =2kmk2 + 2x1x2 =m2 1k2 + 2AP =3 PBx1 + x2 = 2x2 x1x2 = 3x2,t,口 2kmm2 1消去 x2，得 3 (x1 + x2) 2 + 4x1x2 = 0,. 3 () 2+ 4= 0k2 + 2k2 + 2整理得 4k2m2 + 2m2 k2 2 = 0 m2= 1時(shí)，上式不成立；m2#1時(shí)，k2