福建省福鼎市高二數(shù)學(xué)《三個(gè)正數(shù)的平均值不等式》課件

1、一、回顧：兩個(gè)正數(shù)的均值不等式一、回顧：兩個(gè)正數(shù)的均值不等式22,2a bR abab,2a bR abab2,2aba bR ab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。應(yīng)用：應(yīng)用：1、不等式的放縮、不等式的放縮2、求最值、求最值“一正，二定，三等號(hào)一正，二定，三等號(hào)”222abab2( ,)ababa bR2( ,)2ababa bR（1）積為定值，和式有最小值）積為定值，和式有最小值（2）和為定值，積有最大值）和為定值，積有最大值222abab均值不等式的推廣均值不等式的推廣333, ,3.a b cRabcabc若求證：引例：和的立方公式：和的立方公式：3223333)(yx

2、yyxxyx 立方和公式：立方和公式：)(2233yxyxyxyx 分析：分析：“作差法作差法”3333abcabc333332222222222:3()333()()()3()()()1()()()() )02,.abcabcabcaba babcabcabab ccab abcabc abcacbcababcabbccaabc證明當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 等號(hào)成立333, ,3.a b cRabcabc因此，當(dāng)時(shí)定理定理 如果如果 ，那么，那么 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立 Rcba,33abccba （）若三個(gè)正數(shù)的積是一個(gè)常數(shù)，那么（）若三個(gè)正數(shù)的積是一個(gè)常數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)這三

3、個(gè)正數(shù)相等時(shí)，它們的和有當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)正數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值最小值（）若三個(gè)正數(shù)的和是一個(gè)常數(shù)，那么（）若三個(gè)正數(shù)的和是一個(gè)常數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)正數(shù)相等時(shí)，它們的積有當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)正數(shù)相等時(shí)，它們的積有最大值最大值 n個(gè)正數(shù)的算術(shù)個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式：幾何平均不等式：.,321321321321等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值)0(322 xxxy 解：解： 由由 知知 則則 0 x, 023, 022 xx332222932323232323232 xxxxxxxxy33min323

4、62329343232 yxxx時(shí)時(shí)即即當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)解法解法2：由：由 知知 ，則，則 例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值下面解法是否正確？為什么？下面解法是否正確？為什么？)0(322 xxxy0 x02, 01, 022 xxx3322243212321232 xxxxxxxxy3min43 y的最小值是的最小值是、函數(shù)、函數(shù))0(12312 xxxyA、6B、C、9D、1266 （）變式：變式：C_)1(1642222的最小值是的最小值是、函數(shù)、函數(shù) xxy8例例2如下圖，把一塊邊長(zhǎng)是如下圖，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把片的各角切去大小相同的

5、小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子子,問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？盒子的容積最大？ax解：設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為解：設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為x（0 xa/2），無(wú)），無(wú)蓋方底盒子的容積為蓋方底盒子的容積為V，則，則xxaV2)2( xxaxa4)2)(2(41 27234)2()2(4133axxaxa 當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)取最大值時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)取最大值 即當(dāng)切去的小正方形邊長(zhǎng)是原來(lái)正方形邊即當(dāng)切去的小正方形邊長(zhǎng)是原來(lái)正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)的 時(shí)，盒子的容積最大時(shí)，

6、盒子的容積最大xxaxa422 6ax 2723a61練習(xí)：練習(xí)：的最大值是的最大值是、函數(shù)、函數(shù))20)(2(124 xxxyA、0B、1C、D、（）（）27162732D_)(1,2 bbaabaRba則則且且、若、若3的最小值是的最小值是則則、若、若yxxyRyx24,32 A、4B、C、6D、非上述答案、非上述答案343B注意：注意：1、應(yīng)用定理的條件、應(yīng)用定理的條件“一正二定三相等一正二定三相等”這三個(gè)條件缺一不可。這三個(gè)條件缺一不可。2、不可直接利用定理時(shí)，要善于轉(zhuǎn)化。、不可直接利用定理時(shí)，要善于轉(zhuǎn)化。小結(jié)：小結(jié)：利用三個(gè)正數(shù)的均值不等式求最值利用三個(gè)正數(shù)的均值不等式求最值“一一正正二二定定三三等等號(hào)號(hào)”3333( ,)abcabca bR33( ,)abcabca bR3( ,)3abc