福建省福鼎市高二數(shù)學《三個正數(shù)的平均值不等式》課件

1、一、回顧：兩個正數(shù)的均值不等式一、回顧：兩個正數(shù)的均值不等式22,2a bR abab,2a bR abab2,2aba bR ab當且僅當當且僅當a=b時，等號成立。時，等號成立。應用：應用：1、不等式的放縮、不等式的放縮2、求最值、求最值“一正，二定，三等號一正，二定，三等號”222abab2( ,)ababa bR2( ,)2ababa bR（1）積為定值，和式有最小值）積為定值，和式有最小值（2）和為定值，積有最大值）和為定值，積有最大值222abab均值不等式的推廣均值不等式的推廣333, ,3.a b cRabcabc若求證：引例：和的立方公式：和的立方公式：3223333)(yx

2、yyxxyx 立方和公式：立方和公式：)(2233yxyxyxyx 分析：分析：“作差法作差法”3333abcabc333332222222222:3()333()()()3()()()1()()()() )02,.abcabcabcaba babcabcabab ccab abcabc abcacbcababcabbccaabc證明當且僅當時 等號成立333, ,3.a b cRabcabc因此，當時定理定理 如果如果 ，那么，那么 當且僅當當且僅當a=b=c時，等號成立時，等號成立 Rcba,33abccba （）若三個正數(shù)的積是一個常數(shù)，那么（）若三個正數(shù)的積是一個常數(shù)，那么當且僅當這三

3、個正數(shù)相等時，它們的和有當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的和有最小值最小值（）若三個正數(shù)的和是一個常數(shù)，那么（）若三個正數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的積有當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的積有最大值最大值 n個正數(shù)的算術(shù)個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式：幾何平均不等式：.,321321321321等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值)0(322 xxxy 解：解： 由由 知知 則則 0 x, 023, 022 xx332222932323232323232 xxxxxxxxy33min323

4、62329343232 yxxx時時即即當且僅當當且僅當解法解法2：由：由 知知 ，則，則 例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值下面解法是否正確？為什么？下面解法是否正確？為什么？)0(322 xxxy0 x02, 01, 022 xxx3322243212321232 xxxxxxxxy3min43 y的最小值是的最小值是、函數(shù)、函數(shù))0(12312 xxxyA、6B、C、9D、1266 （）變式：變式：C_)1(1642222的最小值是的最小值是、函數(shù)、函數(shù) xxy8例例2如下圖，把一塊邊長是如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把片的各角切去大小相同的

5、小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子子,問切去的正方形邊長是多少時，才能使問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？盒子的容積最大？ax解：設(shè)切去的正方形邊長為解：設(shè)切去的正方形邊長為x（0 xa/2），無），無蓋方底盒子的容積為蓋方底盒子的容積為V，則，則xxaV2)2( xxaxa4)2)(2(41 27234)2()2(4133axxaxa 當且僅當即當當且僅當即當時，不等式取等號，此時取最大值時，不等式取等號，此時取最大值 即當切去的小正方形邊長是原來正方形邊即當切去的小正方形邊長是原來正方形邊長的長的 時，盒子的容積最大時，

6、盒子的容積最大xxaxa422 6ax 2723a61練習：練習：的最大值是的最大值是、函數(shù)、函數(shù))20)(2(124 xxxyA、0B、1C、D、（）（）27162732D_)(1,2 bbaabaRba則則且且、若、若3的最小值是的最小值是則則、若、若yxxyRyx24,32 A、4B、C、6D、非上述答案、非上述答案343B注意：注意：1、應用定理的條件、應用定理的條件“一正二定三相等一正二定三相等”這三個條件缺一不可。這三個條件缺一不可。2、不可直接利用定理時，要善于轉(zhuǎn)化。、不可直接利用定理時，要善于轉(zhuǎn)化。小結(jié)：小結(jié)：利用三個正數(shù)的均值不等式求最值利用三個正數(shù)的均值不等式求最值“一一正正二二定定三三等等號號”3333( ,)abcabca bR33( ,)abcabca bR3( ,)3abc