1.高中復(fù)習(xí)專題-數(shù)學(xué)秒殺型推論

1、9一 函數(shù)高中數(shù)學(xué)秒殺型推論1. 抽象函數(shù)的周期（1）f（a±x)=f(b±x)T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x)T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a（4）f(x-a)=f(x+a)T=2a（5）f(x+a)=-f(x)T=2a2. 奇偶函數(shù)概念的推廣及其周期：（1） 對于函數(shù) f（x），若存在常數(shù) a，使得 f（a-x）=f（a+x），則稱 f（x）為廣義（）型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù) a，b 同時(shí)滿足時(shí)，f（x）為周期函數(shù)T=2|b-a|（2） 若 f（a-x）=-f（a+x），則 f（x）是廣義（）型奇

2、函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù) a，b 同時(shí)滿足時(shí)，f（x）為周期函數(shù) T=2|b-a|3. 抽象函數(shù)的對稱性（1）若 f（x)滿足 f（a+x）+f（b-x）=c則函數(shù)關(guān)于（ ， ）成中心對稱（充要）（2）若 f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）則函數(shù)關(guān)于直線 x=成軸對稱（充要）4. 洛必達(dá)法則，設(shè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) f(x)和g(x)二、三角1. 三角形恒等式（1） 在中，（2） 正切定理&余切定理：在非 Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（3）（4）（5）2. 任意三角形射影定理（又稱第一余弦定理）：在ABC 中abcosCccosB；bccosAacosC；

3、c=acosBbcosA3. 任意三角形內(nèi)切圓半徑 r=（S 為面積），外接圓半徑歐拉不等式：R>2r4. 梅涅勞斯定理如下圖，E.D.F 三點(diǎn)共線的充要條件是5. 塞瓦定理如下圖，AD、BE、CF 三線共點(diǎn)的充要條件是6. 斯特瓦爾特定理：如下圖，設(shè)已知ABC 及其底邊上 B、C 兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB² DC+AC² BD-AD² BCBC DC BD7、和差化積公式（只記憶第一條）sin+sin=2sin cos sin-sin=2cossincos+cos=2coscoscos-cos=-2sinsin 8、積化和差公式sinsin=-coscos

4、=sincos= cossin=9、萬能公式10. 三角混合不等式：若 x（0， ),sinxxtanx當(dāng)x0 時(shí) sinxx tanx11. 海倫公式變式如下圖，圖中的圓為大三角形的內(nèi)切圓，大三角形三邊長分別為 a.b.c，大三角形面積為?*12. 雙曲函數(shù)定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=，雙曲余弦函數(shù)coshx=易知（1）奇偶性：sinhx 為奇函數(shù)，coshx 為偶函數(shù)（2） 導(dǎo)函數(shù)：（sinhx）=coshx，（coshx）=sinhx（3） 兩角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4） 復(fù)數(shù)域

5、：sinh（ix）=isin（x）cosh（ix）=icos（x）（5） 定義域：xR（6） 值域：sinhxR，coshx1，+）13. 三角形三邊 a.b.c 成等差數(shù)列，則14. 三角形不等式（1） 在銳角中，（2） 在中，（3） 在中，sinA>sinBcos2A>cos2B15. ASA 的面積公式：三、復(fù)數(shù)1. 歐拉公式（泰勒級數(shù)推出） cos+isin=ei2. 棣莫弗定理（歐拉公式推出）（cos+isin）n=cos(n)+isin(n)3. 復(fù)數(shù)模不等式（三角不等式）|z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn|當(dāng)且僅當(dāng)所有復(fù)數(shù)幅角主值相等時(shí)等號成立45. 復(fù)數(shù)恒

6、等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四、數(shù)列（所有通過遞推關(guān)系得出通項(xiàng)后都要檢驗(yàn)首項(xiàng)）1. An+1=kAn+f(n)兩邊同除以 kn+1，構(gòu)造數(shù)列，通過累加法得出通項(xiàng)公式2. An+1=kAn+C設(shè)一常數(shù) x，An+1+x=k（An+x）An+1 =kAn+（k-1）x則（k-1）x=C，求出 x=，得到等比數(shù)列 ,公比為 k3. 不動(dòng)點(diǎn)法：形如 An+1=（d0，當(dāng) d=0 時(shí)，則是第二種情況），設(shè)函數(shù)f(x)= ，x= 的根稱為 f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，（1） 若函數(shù) f（x）有 2 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)， 則數(shù)列是一nn個(gè)等比數(shù)列，A =，A =（2） 若函數(shù) f（x）

7、只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 則數(shù)列數(shù)一個(gè)等差數(shù)列，An=（3） 若函數(shù) f（x）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列An是周期數(shù)列，周期自己找4. 特征方程法：形如 An+2=pAn+1+qAn 稱為二階遞推數(shù)列，我們可以用它的特征方程x²-px-q=0 的根來求它的通項(xiàng)公式（1） 若方程有兩根 x1，x2，n12則 A =x n-1+x n-1 (, 可根據(jù)題目確定)（2） 若只有一個(gè)根 x0n0A =(+ n)x n-1( , 可根據(jù)題目確定)5. 變系數(shù)一階遞推數(shù)列四、不等式1. 權(quán)方和不等式（赫德爾不等式推出）當(dāng)且僅當(dāng)2. 黎曼和-定積分不等式級數(shù)與定積分之間的關(guān)系設(shè)可積函數(shù) f(x)當(dāng) f(x)為減時(shí)，

8、當(dāng) f(x)為增時(shí)，3. 琴生不等式函數(shù)的平均數(shù)與平均數(shù)的函數(shù)之間的關(guān)系當(dāng) f(x)為凹函數(shù)，即 f（x）>0 時(shí)當(dāng) f(x)為凸函數(shù)，即 f（x）<0 時(shí)當(dāng)且僅當(dāng) x1=x2=xn 時(shí)，等號成立4. 卡爾松不等式5. 排序不等式當(dāng) 且 時(shí)，其中以上可概括為 順序和亂序和倒序和195. 切比雪夫總和不等式（排序不等式推出） 當(dāng) an 與 bn 逆序時(shí)當(dāng) an 與 bn 順序時(shí)不等式反向6. 舒爾不等式（Schur 不等式）xt（x-y）（x-z）+yt（y-x）（y-z）+zt（z-x）(z-y)0當(dāng) x=y=z 時(shí)，等號成立配 Schur 法（Schur 分拆法）三元齊三次對稱輪

9、換式 f(x,y,z)0 的充要條件是因?yàn)閒(x,y,z)=a +b + cxyz三元齊四次對稱輪換式 f(x,y,z)0 的充要條件是因?yàn)閒(x,y,z)=三元齊五次對稱輪換式 f(x,y,z)0 的充要條件是因?yàn)閒(x,y,z)=7. 常用對數(shù)不等式當(dāng) x-1 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)等號成立8. 伯努利不等式當(dāng) x-1，n0 時(shí)或 n 為正偶數(shù)，xR 時(shí)（1+x）n1+nx當(dāng) n=0 或 1，或 x=0 時(shí)等號成立9. uvw 法和 pqr 法（解決三元對稱輪換式）uvw 法：令 a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr 法：令 a+b+c=p ,ab

10、+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式當(dāng) a.b.c 為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，用 uvw 法；當(dāng) a,b,cR 時(shí)，用 pqr 法10. SOS 法（配方法） 不解釋11. 拉格朗日乘數(shù)法（解決條件極值問題） 已知 f(x,y,z)=0，求 F（x,y,z）的極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L=F（x,y,z）+f(x,y,z)對 F（x,y,z）分別關(guān)于 x,y,z，求偏導(dǎo)，得到四元方程組， 其中對F（x,y,z）關(guān)于求偏導(dǎo)所得方程即 f(x,y,z)=0解四元方程組所得解，即 F（x,y,z）的極值點(diǎn)，從而算出極值。由拉格朗日乘數(shù)法可知，所有對稱輪換式的極值在 x=y=z 時(shí)取到12. 拉格朗日乘數(shù)法推

11、論（拉格朗日乘數(shù)法得到）已知 x，y，za,b，對稱輪換式 F（x,y,z）的極值在和 x=y=z 時(shí)取到13. 已知 a.b.c 為正實(shí)數(shù)，且 a+b+c=k，求證證明：k=a+b+c=a+整理即得所求不等式14. 冪平均不等式當(dāng)且僅當(dāng) a1=an 時(shí)等號成立151617.雙絕對值函數(shù)圖像18a.b 為正數(shù)當(dāng) mn>0 時(shí)，當(dāng) mn<0 時(shí)，五、排列組合1. 隔板法I把 n 個(gè)元素放到 m 個(gè)集合中，所得集合均非空，則有種x1+x2+xm=n 的正整數(shù)解個(gè)數(shù)為2. 隔板法 II把 n 個(gè)元素放到 m 個(gè)集合中，所得集合可為空，則有種x1+x2+xm=n 的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為1 12

12、 2m m（a x +a x +a x ）n 展開式的項(xiàng)數(shù)為3. 圓排列從 n 個(gè)元素中抽取m 個(gè)元素，按照一定的順序排列成一圈， 叫做一個(gè)圓排列，圓排列的個(gè)數(shù)4. 重復(fù)組合從 n 個(gè)元素中抽取m 個(gè)元素，元素可以重復(fù)選取，不管順序， 組成一組，叫重復(fù)組合，重復(fù)組合個(gè)數(shù)5. 組合恒等式（只例舉了最簡潔的四個(gè)）6. 從互不相同的 n 個(gè)非零數(shù)字中任取 m 個(gè)，所得 m 位數(shù)之和為 S，S=，其中 為 n 個(gè)非零數(shù)字的算術(shù)平均數(shù)7（ax+by）n 展開式中，第 k 項(xiàng)系數(shù)絕對值最大，則其中 表示高斯函數(shù)，即取整函數(shù)六、解析幾何1. 圓錐曲線統(tǒng)一極坐標(biāo)方程2. 圓錐曲線統(tǒng)一焦點(diǎn)弦長公式3A（x1，y

13、1），B（x2，y2），C（x3，y3），當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，三點(diǎn)共線4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四點(diǎn)共圓的充要條件5. A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三線共點(diǎn)的充要條件=06. 過（x0，y0）引圓錐曲線 F（x,y）的弦，弦中點(diǎn)的軌跡方程為 y-y0=F（x,y）（x-x0），當(dāng)（x0，y0）為弦中點(diǎn)時(shí)，弦中點(diǎn)軌跡方程為 y-y0=F（x0,y0）（x-x0）7. 定比分點(diǎn)公式：A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ）， AB 的 +1 等分點(diǎn)坐標(biāo)為（）OA OB8. 若拋物線

14、y2=2px，AB 是拋物線上的動(dòng)弦，k k =，則 AB 恒過定點(diǎn)（ ）9. 拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），焦點(diǎn)弦斜率為k，焦點(diǎn)弦長度為L1 2（1）y y =-p2x1x2=x1+x2=p+ = y1+y2=（2）L=x1+x2+p= = =（3） k=（4）（5）10. 圓錐曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì)（通性）：焦點(diǎn)弦長為 L，（1） 已知x1+x2 時(shí)， 橢圓：L=2a-e（x1+x2）雙曲線：L=e -2a拋物線：L= +p（2） 已知焦點(diǎn)弦傾斜角 時(shí)， L=（3） 橢圓、拋物線、雙曲線（焦點(diǎn)弦端點(diǎn)在同支）焦點(diǎn)弦 的兩個(gè)焦半徑倒數(shù)之和為常數(shù)雙曲線（焦點(diǎn)弦端

15、點(diǎn)在異支）焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑倒數(shù)之差為常數(shù)（4） 圓錐曲線正交焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和為常數(shù)（5） 圓錐曲線焦點(diǎn)弦 AB 的中垂線于對稱軸（標(biāo)準(zhǔn)方程中為x 軸）于D，（6） 圓錐曲線內(nèi)，最長的焦點(diǎn)弦為通徑11. 圓錐曲線的焦半徑（通性）（1） 極點(diǎn)為焦點(diǎn)，極軸為 x 軸的圓錐曲線極坐標(biāo)方程式中的 為極徑，即焦半徑， 為極角（2） 已知焦半徑端點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 時(shí)12. 雙焦點(diǎn)三角形面積：F1.F2 為有心圓錐曲線兩焦點(diǎn)P 為橢圓上一個(gè)點(diǎn)，P 為雙曲線上一個(gè)點(diǎn)，13. 圓錐曲線冪定理：2700圓錐曲線 F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 與一條過 M（x ，y ），且傾斜角為 的直線L 交于 P1

16、.P2 兩點(diǎn)，則·= =14. 點(diǎn) P（x0，y0）對圓錐曲線 C 引兩條切線，連結(jié)切點(diǎn)所得線為切點(diǎn)弦（極線），或點(diǎn) P（x0，y0）為切點(diǎn)，則極線方程或切線方程為?（1） 若 C 為橢圓，（2） 若 C 為雙曲線，（3） 若 C 為拋物線，15. 已知有心圓錐曲線 F（x,y），直線 l：f(x,y)，p 是 l 上一點(diǎn)，射線 OP 交圓錐曲線于點(diǎn) R，又點(diǎn) Q 在 OB 上，且滿足，當(dāng) P 在l 上移動(dòng)時(shí)，Q 的軌跡方程即為 F（x,y）=f(x,y)16. 曲線族 F（x,y,t）的包絡(luò)為F（x,y,t）= =017. A（x1，y1），B（x2，y2），以 AB 為直徑的圓的

17、方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=018. 關(guān)于雙曲線漸近線：（1） 共軛雙曲線：實(shí)軸與虛軸對換，有相同漸近線， 四焦點(diǎn)共圓，離心率的倒數(shù)平方和為 1：（2） 焦點(diǎn)到漸近線距離為虛半軸長 b（3） 若兩漸近線夾角為 ，則雙曲線離心率 e=（4） 雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線距離之積為常數(shù)（5） 過雙曲線上任意一點(diǎn) M 作平行于實(shí)軸的直線交兩漸近線于 P.Q，則19. 過有心圓錐曲線上一定點(diǎn) P（x0，y0）作傾斜角互補(bǔ)的兩直線與有心圓錐曲線的另兩交點(diǎn) A.B 的連線的斜率為定值過無心圓錐曲線上上一定點(diǎn) P（x0，y0）作傾斜角互補(bǔ)的兩直線與無心圓錐曲線的另兩交點(diǎn)A.B 的

18、連線的斜率為定值以上情況中，APB 的角平分線 x=x0 平行于 y 軸，APB 的內(nèi)切圓圓心恒過直線x=x0.20. 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)：橢圓：由一焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點(diǎn)雙曲線：由一焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)雙曲線反射后的反向延長線必過另一焦點(diǎn)拋物線：平行于對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后必過焦點(diǎn)；過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后必平行于對稱軸21. 有心圓錐曲線的兩焦點(diǎn)到任一切線的距離積為定值，且 定值為b222. 橢圓上動(dòng)點(diǎn)對直徑端點(diǎn)連線的斜率積=橢圓切線的斜率 切點(diǎn)與中心連線的斜率=橢圓弦斜率 弦中點(diǎn)與中心連線的斜率=雙曲線上動(dòng)點(diǎn)對直徑端點(diǎn)連線的斜率積=雙曲線切線的斜 率 切點(diǎn)與中心連線的斜率

19、=雙曲線弦斜率 弦中點(diǎn)與中心連線的斜率=123. 拋物線y2=2px 內(nèi)接 RtOAB（以 O 為直角頂點(diǎn)），A（x ， y1）B（x2，y2）1 21 2（1）x x =4p2，y y =-4p2（2） AB 恒過頂點(diǎn)（2p,0）（3） AB 中點(diǎn)軌跡方程y2=p（x-2p）（4） AB 邊上高的垂足軌跡方程（x-p）2+y2=p2（5）（SOAB）min=（）min=4p224. 對于極坐標(biāo)方程，從1 到2，曲線所圍成的面積 S=對于極坐標(biāo)方程 ，從1 到2，曲線所積出的長度L=25. 圓錐曲線上一弦 AB，其中點(diǎn)M（x0，y0），AB 的斜率為（1） 對于橢圓，（2） 對于雙曲線，（3） 對于拋物線，26. 圓錐曲線上定點(diǎn)：圓錐曲線上有一定點(diǎn) P（x0，y0），另有一直線L 于圓錐曲線交于與 P