第三章 數(shù)字特征

1、 (1) 隨機(jī)變量的分布雖然全面完整地反映了隨機(jī)變量的概率性隨機(jī)變量的分布雖然全面完整地反映了隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，但有時(shí)卻不夠集中突出地反映隨機(jī)變量的某些特征。質(zhì)，但有時(shí)卻不夠集中突出地反映隨機(jī)變量的某些特征。需要引進(jìn)一些數(shù)量來(lái)表示需要引進(jìn)一些數(shù)量來(lái)表示平均值平均值和衡量和衡量偏離程度偏離程度。 研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征的必要性研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征的必要性隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征(2) 在許多實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)變量的在許多實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)變量的分布并不容易求出。分布并不容易求出。 (3) 在許多實(shí)際問(wèn)題中，完全、確切地掌握隨機(jī)變量的分布并在許多實(shí)際問(wèn)題中，完全、確切地掌握隨機(jī)變量的分

2、布并 不必要，而只需知道它的某些特征就夠了。不必要，而只需知道它的某些特征就夠了。例：在測(cè)量某零件的長(zhǎng)度時(shí)，由于種種偶然因素的影響，測(cè)量到例：在測(cè)量某零件的長(zhǎng)度時(shí)，由于種種偶然因素的影響，測(cè)量到的零件的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，一般我們關(guān)心的是測(cè)量的的零件的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，一般我們關(guān)心的是測(cè)量的平均長(zhǎng)平均長(zhǎng)度度以及測(cè)量結(jié)果的以及測(cè)量結(jié)果的精確程度精確程度測(cè)量的長(zhǎng)度與平均值的測(cè)量的長(zhǎng)度與平均值的偏離程度。偏離程度。 表示表示平均值平均值和衡量和衡量偏離程度偏離程度的量雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，的量雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但它能夠描述隨機(jī)變量的某些重要但它能夠描述隨機(jī)變量的某些重要特征特征，我

3、們把其稱為，我們把其稱為隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)字特征。解：直接比較，難知兩射手解：直接比較，難知兩射手技術(shù)的優(yōu)劣。故只能也只需技術(shù)的優(yōu)劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述找出更能集中、突出地描述兩射手技術(shù)水平的兩射手技術(shù)水平的數(shù)字特征數(shù)字特征。 讓我們先來(lái)研究概率論中刻劃讓我們先來(lái)研究概率論中刻劃平均值平均值的數(shù)字特征。的數(shù)字特征。 例：甲乙兩人各射擊例：甲乙兩人各射擊 1000 次，其命中環(huán)數(shù)的次數(shù)為隨機(jī)變量，記次，其命中環(huán)數(shù)的次數(shù)為隨機(jī)變量，記為為 X1, X2。射擊情況如表射擊情況如表 1 所示。試問(wèn)甲乙二人誰(shuí)的水平較高？所示。試問(wèn)甲乙二人誰(shuí)的水平較高？表表1 1 X1 52

4、5 200 50 100 75 50 X2 400 200 245 155 0 0環(huán)數(shù)環(huán)數(shù) x i 10 9 8 7 6 5不難計(jì)算出兩射手命中目標(biāo)的不難計(jì)算出兩射手命中目標(biāo)的“平均環(huán)數(shù)平均環(huán)數(shù)”分別為分別為從平均環(huán)數(shù)看，甲比乙水平高一點(diǎn)。從平均環(huán)數(shù)看，甲比乙水平高一點(diǎn)。（環(huán)環(huán)）85.81000505100075610001007100050810002009100052510 100050575610075082009525101 M（環(huán)環(huán)）845.8100015571000245810002009100040010 10000506155724582009400102 M頻頻率率以頻率為權(quán)

5、數(shù)以頻率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值的加權(quán)平均值不難看出，由于頻率的隨機(jī)性，如果讓甲乙二人再各射擊不難看出，由于頻率的隨機(jī)性，如果讓甲乙二人再各射擊1000次次 同樣計(jì)算，結(jié)果一般不會(huì)相同。同樣計(jì)算，結(jié)果一般不會(huì)相同。若令若令 fi 表示頻率，則上述二式可表示為表示頻率，則上述二式可表示為2 , 1 , 105 jfxiiijM 由概率的統(tǒng)計(jì)定義知道，在大量試驗(yàn)下頻率由概率的統(tǒng)計(jì)定義知道，在大量試驗(yàn)下頻率 fi 概率概率 pi 穩(wěn)定于穩(wěn)定于從而從而iiifx iiipx 穩(wěn)定于穩(wěn)定于表表2 2P(X1=x i) 0.526 0.2 0.05 0.1 0.074 0.05環(huán)數(shù)環(huán)數(shù) x i 10 9 8 7

6、 6 5P(X2=x i) 0.398 0.2 0.245 0.157 0 0 若若甲、乙的命中環(huán)數(shù)甲、乙的命中環(huán)數(shù) X1 , X2 的的分布列如表分布列如表 2 所示，所示，854.81105 iiipx1EX839.82105 iiipx2EX概概率率以概率為權(quán)數(shù)以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值的加權(quán)平均值則則 第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（均值）（均值） 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望就是其取值的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望就是其取值的加權(quán)平均加權(quán)平均值，值，權(quán)為概率權(quán)為概率。一一 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量：設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為

7、 P (X=x i )=pi i = 1, 2, 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂，則稱，則稱 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱期望期望或或均值均值。記作。記作E X ，即，即E X =如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 不絕對(duì)收斂，則稱隨機(jī)變量不絕對(duì)收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在iiipxiiipxiiipxiiipx 對(duì)要求絕對(duì)收斂的說(shuō)明：對(duì)要求絕對(duì)收斂的說(shuō)明：離散型隨機(jī)變量的取值是可離散型隨機(jī)變量的取值是可依某種次序一一列舉的，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)變量，它的取值的列舉依某種次序一一列舉的，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)變量，它的取值的列舉次序可以有所不同，當(dāng)改變列舉次序時(shí)它的數(shù)學(xué)期望是不應(yīng)該

8、次序可以有所不同，當(dāng)改變列舉次序時(shí)它的數(shù)學(xué)期望是不應(yīng)該改變的，這就意味著級(jí)數(shù)改變的，這就意味著級(jí)數(shù) 的求和次序可以改變而其和要的求和次序可以改變而其和要保持不變，要達(dá)到這一點(diǎn)，必須有保持不變，要達(dá)到這一點(diǎn)，必須有 絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。iiipx注意注意iiipx 數(shù)學(xué)期望的直觀含義：平均值數(shù)學(xué)期望的直觀含義：平均值 例：例：一批產(chǎn)品中有一、二、三等、四等品、廢品一批產(chǎn)品中有一、二、三等、四等品、廢品 5 種種, 相應(yīng)的相應(yīng)的概率分別為概率分別為 0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其產(chǎn)值分別為若其產(chǎn)值分別為 6元、元、5.4元、元、5元、元、4元、元、0 元。產(chǎn)值元。產(chǎn)值 X是一個(gè)隨

9、機(jī)變量，其分布如表是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布如表3 求：求：產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。例例：設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為解：解：EX = 6 0.7+5.4 0.1+5 0.1+4 0.06+0 0.04 = 5.48(元元)解：解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表表3,k)kX(Pk2121 求：求：EX 112kkkk)kX(PkEX),(x)x(x)xx(x)x(xxkxxkkkkkkk111121111212221211 )(kEXkk記為記為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為的概率密度為 ，若積分若積分 絕對(duì)收斂，則

10、稱積分絕對(duì)收斂，則稱積分 為為 X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望。)(xf dx)x(xf dx)x(xf例例：計(jì)算在區(qū)間：計(jì)算在區(qū)間 a , b 上服從均勻分布的隨機(jī)變量上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望222211222ba)ab()ab)(ab()ab(abxabdxabxdx)x(xfX|baba E故故解：解：依題意依題意 )(xf其其他他 0 1bxaab 二二 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望結(jié)論：結(jié)論：在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上服從均勻分布的隨機(jī)變量上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 是區(qū)間中點(diǎn)是區(qū)間中點(diǎn) dxexdxxxfXx0 E例：例：設(shè)隨

11、機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)的指數(shù)分布，求分布，求X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望則則解：解：指數(shù)指數(shù)分布分布的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 xf0 , 00 , xxex 這表明這表明指數(shù)指數(shù)分布分布的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 。 1 dxexdxxxf)x(22221EX例：例：設(shè)設(shè) X N ( , 2)，求，求 X 的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。解：解：這表明這表明正態(tài)分布正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 。 0dx)e(xx 0 xxe 0dxex 1設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從柯西服從柯西 (Cauchy) 分布，其分布，其密度函數(shù)為密度函數(shù)為例：例： xxxf2111 dxxfx

12、dxxx211 不不絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，這這表表明明積積分分 dxxxf不不存存在在。因因而而 EX定理定理3.13.1：設(shè)設(shè) Y =g(X )，g(x) 是連續(xù)函數(shù)，那么是連續(xù)函數(shù)，那么,xXpkk P,2 , 1 k(2) 若若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為密度函數(shù)為 f ( x )，絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，且且 dxxfxg)()( (1) 若若X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，且且kkkp)x(g 求 E Y 時(shí)，可以不求Y=g(X ) 的分布，而直接利用X 的分布。三三 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望8314

13、1383241081 12222 )(X2E 解：解：例：例：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布列為的分布列為求：求：EX2，E(2X -1)。P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3例：例： f(x)X 設(shè)設(shè)20 21 x其其他他 014XY 求：求：EY 解：解： 205dxxdx)x(fx1)(4211)(41)E(4XEY474158334118131 )()()XE(2定理定理3.23.2若若( (X ,Y,Y) ) 是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量，Z=Z=g(X ,Y,Y )(1) 若若 (X ,Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為

14、,j , i,pyY,xXijji2 1 P絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，且且 j , iijjip)y,x(g(2) 若若 (X ,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為 f ( x , y ) 且且絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂， dxdyyxfyxg),(),(解：解：EXY1010 xydy)yx(dx dxdyyxxyf),(31 設(shè)設(shè) (X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為其它；01010y,xyx)y, x( f例：例：求：求： EXY 設(shè)設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為例：例：求：求： E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2

15、00.25 解：解： )YX(E(1+1)0.1+(1+2) 0.2+(1+3) 0+(2+1) 0.3+(2+2) 0.15+(2+3) 0.25=3.55性質(zhì)性質(zhì)1：常量的期望就是這個(gè)常量本身常量的期望就是這個(gè)常量本身, 即即 E(c)=c.證：證： 常量常量 c 可看作僅取一個(gè)值可看作僅取一個(gè)值 c 的隨機(jī)變量，且取值的隨機(jī)變量，且取值 c 的概率為的概率為1，即即 X 的分布為的分布為 P(X =c)=1，這種分布稱為這種分布稱為退化分布退化分布，其數(shù)學(xué)，其數(shù)學(xué)期望為期望為E(c)=c 1=c推論推論：E(EX ) = EX性質(zhì)性質(zhì)2：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X與常量與常量 c 之和的數(shù)學(xué)期望

16、等于之和的數(shù)學(xué)期望等于X的期望與這的期望與這個(gè)常量個(gè)常量 c 的和的和 E(X+c)=EX +ccXcppxp)cx()cX(Xkkkkkkkk EE為為離離散散型型：當(dāng)當(dāng)證：證：設(shè)設(shè)X的分布為的分布為 pk（離散型）；密度函數(shù)為離散型）；密度函數(shù)為 f(x)（連續(xù)型），則連續(xù)型），則cXdx)x(fcdx)x(xfdx)x(f)cx()cX(X EE 為為連連續(xù)續(xù)型型：當(dāng)當(dāng) 四四 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)3：常量常量 c與隨機(jī)變量與隨機(jī)變量X的乘積的期望等于的乘積的期望等于 c與與X的期望的乘的期望的乘積，積， E(cX ) = cEX 證：證：設(shè)設(shè) X 的分布為的分布為 pk（

17、離散型）；密度函數(shù)為離散型）；密度函數(shù)為 f(x)（連續(xù)型）則連續(xù)型）則Xcpxcpcx)cX(XkkkkkkEE 為為離離散散型型：當(dāng)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)4：隨機(jī)變量的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期望隨機(jī)變量的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期望 的同一線性函數(shù)，即的同一線性函數(shù)，即E(kX +c)=k EX+c證：證： E(kX +c) = E(kX)+c = kEX +cXcdx)x(xfcdx)x(cxf)cX(XEE 為為連連續(xù)續(xù)型型：當(dāng)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)5：兩個(gè)隨機(jī)變量之兩個(gè)隨機(jī)變量之和（差）的數(shù)學(xué)期望和（差）的數(shù)學(xué)期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和（差）數(shù)學(xué)期望的和（差）

18、 E (X Y) = EX EY推論：推論： 對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù)ci (i=1,2,n)、常數(shù)常數(shù)b及及隨機(jī)變量隨機(jī)變量X i(i=1,2,n) niiniiXn)Xn(1111EE特別地，特別地，n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)仍是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)仍是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值 等于這等于這 n 個(gè)隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均數(shù)。個(gè)隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均數(shù)。bXc)bXc(niiiniii 11EEYXdydx)y,x(yfdydx)y,x(xfdydx)y,x(f)yx()YX(EEE 證證：連連續(xù)續(xù)型型：性質(zhì)性質(zhì)6：兩個(gè)兩個(gè)相互獨(dú)立相互獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)

19、期望隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)期望的乘積的乘積, 即即E(XY)=EXEY證：證：離散型：設(shè)離散型：設(shè) (X ,Y) 的聯(lián)合分布為的聯(lián)合分布為 pij ，邊緣分布為邊緣分布為 pi(1) 和和 pj(2) YXdy)y(yfdx)x(xfdxdy)y(f)x(xyfdxdy)y,x(xyf)XY(YXYXEEE 連續(xù)型：設(shè)連續(xù)型：設(shè) (X ,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y)，邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)分別為分別為 fX(x)和和 fY(y)，則則YXpypxppyxpyx)XY(j)(jji)(iiij)(j)(ijiijijjiEEE 2121解：解： EX=9

20、 0.3+10 0.5+11 0.2=9.9 EY 2 =62 0.4+72 0.6=43.8 例：例：兩兩相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 X,Y 的分布如下面兩表所示。的分布如下面兩表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y 求：求：E(X+Y ) 、 E(XY ) 和和 EY2 且且 因因 X與與Y 相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以 E(XY) =EXE E Y=9.9 6.6=65.34 則則 E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5 EY =6 0.4+7 0.6=6.6 設(shè)設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為例：例：求：求： E(X+Y)XY

21、1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解：解： 0.250.350.4P321Y 0.70.3P21X EX =1 0.3+2 0.7=1.7 EY =1 0.4+2 0.35 +3 0.25=1.85 E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55五五 條件數(shù)學(xué)期望條件數(shù)學(xué)期望 定義定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量：設(shè)離散型隨機(jī)變量X,Y 的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為 P (X=x i , Y=yj)=pi j i,j = 1, 2, ,在在Y=yj條件下條件下X的條件概率函數(shù)為的條件概率函數(shù)為P (X=x i | Y=yj) i = 1, 2, 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收

22、斂絕對(duì)收斂，則稱，則稱 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 的的條件條件數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 ijii)yYxX(px ijii)yYxX(px ijiij)yYxX(px)yYX(E jijji)xXyY(py)xXY(E定義定義：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y ，在在Y=y條件下條件下X的條件密的條件密度函數(shù)為度函數(shù)為f (x |y) 若若 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂，則稱，則稱 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 的的條件條件數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 dx)yx(xf dx)yx(xf81141383241081 11 )()YXE( 解：解：例：例：設(shè)設(shè)Y=1Y=1條件下條件下隨機(jī)變量隨機(jī)變量X條件條件分布列為分

23、布列為求：求：E(X|Y=1)P(X|Y=1) 1/8 1/4 3/8 1/4X - 1 0 2 3第二節(jié)第二節(jié) 方方 差差解解：0 21EXEX 甲、乙兩塊手表，日走時(shí)甲、乙兩塊手表，日走時(shí)誤差誤差分別為隨機(jī)變量分別為隨機(jī)變量 X1, X2（單位：秒），其概率函數(shù)分別單位：秒），其概率函數(shù)分別如表如表 1、表表 2 所示。試比較兩所示。試比較兩塊手表的優(yōu)劣？塊手表的優(yōu)劣？例例：P 0.1 0.8 0.1X1 -1 0 1 表表1P 0.2 0.6 0.2 X2 -1 0 1 表表2從從平均值平均值意義上看，意義上看，兩塊手表質(zhì)量相同。兩塊手表質(zhì)量相同。從從離散程度離散程度意義上看，意義上看，

24、甲表質(zhì)量?jī)?yōu)于乙表。甲表質(zhì)量?jī)?yōu)于乙表。 一一 方差的定義方差的定義如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 EX 存在，存在，稱稱 X -EX 為隨機(jī)變量的為隨機(jī)變量的離差離差。離差的定義：離差的定義：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 離差平方離差平方的數(shù)學(xué)期望稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望稱為隨機(jī)變量X 的的方差方差。記作記作 DX 或或 VarX ，即，即 方差方差的定義：的定義： 標(biāo)準(zhǔn)差的定義：標(biāo)準(zhǔn)差的定義： 稱為稱為X X的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）（均方差）DXX 如果如果X是離散型隨機(jī)變量，并且是離散型隨機(jī)變量，并且 PX =xk=pk (k=1, 2, )，則則 kkkp)x(X2EXD 如果如果

25、X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，并且有密度函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量，并且有密度函數(shù) f (x)，則則 x)x(f)Xx(d2EDXDX =VarX =E(X -EX )2 隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的方差是非負(fù)數(shù)方差是非負(fù)數(shù)，即，即 DX 0，粗略地講，粗略地講，當(dāng)當(dāng)X 的可的可能取值密集在它的期望值能取值密集在它的期望值 EX 附近時(shí)，方差較小，反之方差則較附近時(shí)，方差較小，反之方差則較大。因此方差的大小可以表示隨機(jī)變量分布的離散程度。大。因此方差的大小可以表示隨機(jī)變量分布的離散程度。 在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中喜歡用方差在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中喜歡用方差DX ，而在實(shí)際應(yīng)用中則更喜歡用而在實(shí)際應(yīng)用中則更喜歡用標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差，這是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差

26、的量綱和隨機(jī)變量的量綱一樣。這是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差的量綱和隨機(jī)變量的量綱一樣。對(duì)于一些測(cè)量工具的誤差通常用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述。對(duì)于一些測(cè)量工具的誤差通常用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述。 二 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式：方差的計(jì)算公式：證：證： DX = E(X -EX )2 =EX 2-2X EX +(EX )2 =EX 2-E(2X EX)+E(EX )2=EX 2 - 2EX (EX)+(EX)2=EX 2-(EX )2解解： 21EXEX02.01.018.001.0) 1()(22222 111EXEXDX402016002012222222.)()EX(EX2DX 甲、乙兩塊手表，日走時(shí)誤差分別為

27、隨機(jī)變量甲、乙兩塊手表，日走時(shí)誤差分別為隨機(jī)變量 X1, X2, 其概率函數(shù)分別其概率函數(shù)分別如表如表 1、表表 2 所示。試比較兩塊手表的優(yōu)劣？所示。試比較兩塊手表的優(yōu)劣？例例：P 0.1 0.8 0.1X1 -1 0 1 表表1P 0.2 0.6 0.2 X2 -1 0 1 表表20.20.20.20.20.2P1051- 5-10X 例：例：X 有如下分布律有如下分布律 求：求：DX EX 2=(-10)2 0.2+(- 5)2 0.2+12 0.2+52 0.2+102 0.2=50. 2DX = EX 2- (EX )2=50.2- 0. 22 = 50.16解解：EX =(-10)

28、 0.2+(- 5) 0.2+1 0.2+5 0.2+10 0.2=0. 2例例：計(jì)算在區(qū)間：計(jì)算在區(qū)間 a , b 上服從均勻分布的隨機(jī)變量上服從均勻分布的隨機(jī)變量 X 的方差的方差2baX E解：解：依題意依題意 )(xf其其他他 0 1bxaab 例例： 2x 0 x1已知已知 Xf (x)= 求：求：DX 0 其他其他解解：212)(122 xdxxdxxfx0-2EX322)(1 xdxxdxxfx0-EX181)32(21)(22 EXEXDX2)ab()ab(dxabxdx)x(fxXba 3133222E12)(2ab DX 22)X(XEE 4)()(3)(233ababab

29、 因因 DX = EX 2 - (EX )2 = 0.15 4.0)(5.0)(1)(2dxxfxdxxxfdxxf則則 ax2 + bx + c 0 x 0，DY 0，則稱則稱為為X,Y 的線性相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)，記作的線性相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)，記作 X,Y 或或 XY或或 。即：即：Y)Y,X(DDXCovYX)Y,X(DDCov YXY)YX(DDDDXD 2 則則 二二 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)580360210160.YX)Y,X( DDCov 21071704301 222.)EX(XX ED例：設(shè)二維隨機(jī)變量例：設(shè)二維隨機(jī)變量 (X ,Y) 的聯(lián)合分布如下表所示，的聯(lián)合分布如下表所

30、示，求求 X ,YXY-1 0 1 1 0 0. 20.1 2 0.30.4 0解：可求出解：可求出X ,Y的邊緣分布：的邊緣分布：X 1 2Y -1 0 1P 0. 3 0.7P 0.3 0.6 0.1EX =1 0.3+2 0.7=1.7 EY =- 0.25030121011.)(.pyxXYiijjji )E(Cov(X ,Y)=E(XY) - EX EY= - 0.5-1.7 (-0.2)=- 0.1636020101301 222.).(.)EY(YY ED解：解：1272110 dx)x(xdx)x(xfXXE例：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量例：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X ,Y ) 的聯(lián)

31、合密度為：的聯(lián)合密度為：x + y 0 x 1 , 0 y 1f (x, y)= 0 其他其他求：求： X ,Yx+1/2 0 x 1 fX(x)= 0 其他其他y+1/2 0 y 1 fY(y)= 0 其他其他127 EY 同同理理311010 dxdy)yx(yxdxdy)y,x(xyfE(XY)144112712731 YXXYYXEE-)E(),Cov(14411212712522 )()EX(XXED14411 DY11114411144111441 YX)Y,X(DDCov 1252110222 dx)x(xdx)x(fxXXE2 2 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1： x ,Y = Y , X ax ,aY= X, Y引理（柯西施瓦茲不等式）：引理（柯西施瓦茲不等式）：令令 (X ,Y )為二維隨機(jī)變量，為二維隨機(jī)變量，EX 2, EY 2 都存在，都存在，則有：則有：E(XY )2 EX 2EY 2 特別地特別地 (EX )2 EX 2證明：考慮實(shí)變量證明：考慮實(shí)變量 t 的的函數(shù)函數(shù) g(t )= E(tX - Y