子空間的交與和

1、編輯課件1編輯課件2編輯課件3編輯課件4 編輯課件5 首先，由首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知，可知 0 V1 V2，因而，因而 V1 V2 是非空的是非空的.其次，如果其次，如果 , V1 V2 , 即即 , V1 ，而且，而且 , V2 ， + V1 ， + V2 ，對數(shù)量乘積可以同樣地證明對數(shù)量乘積可以同樣地證明.所以所以V1 V2 是是 V 的的子空間子空間.那么那么因此因此 + V1 V2 .編輯課件6 V1 V2 = V2 V1 ； (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .多個子空間的交多個子空間的交 121|,1,2,3,ssiiiVVVVV is 為線性空間為

2、線性空間V的子空間，則集合的子空間，則集合12,sV VV也為也為V的子空間，稱為的子空間，稱為 的交空間的交空間. . 12,sV VV編輯課件7 編輯課件8 首先，首先， V1 + V2 顯然是非空的顯然是非空的.其次其次如果如果 , V1 + V2 , 即即 = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么那么 + = ( 1 + 1 ) + ( 2 + 2 ) .編輯課件9又因為又因為 V1 , V2 是子空間，故有是子空間，故有 1 + 1 V1 ， 2 + 2 V2 .因此因此 + V1 + V2 .同樣，同樣，k = k 1 +

3、k 2 V1 + V2 .所以，所以， V1 + V2 是是 V 的子空間的子空間.編輯課件10 V1 + V2 = V2 + V1 ； (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .多個子空間的和多個子空間的和 12|,1,2,3,siiV is 為線性空間為線性空間V的子空間，則集合的子空間，則集合12,sV VV也為也為V的子空間，稱為的子空間，稱為 的和空間的和空間. . 12,sV VV121sisiVVVV 編輯課件111) V的兩子空間的并集的兩子空間的并集1212,VVVorV 有有 1212.VVVV 證明：證明：11212120VVVVVVV 12VV

4、 12,VorV21212120VVVVVVV 編輯課件122）V的兩子空間的并集未必為的兩子空間的并集未必為V的子空間的子空間. . 12( ,0,0),(0, ,0)VaaRVbbR 皆為皆為R3的子空間，但是它們的并集的子空間，但是它們的并集 12( ,0,0),(0, ,0) ,VVaba bR 并不是并不是R3的子空間的子空間. . 因為它對因為它對R3的運算不封閉，如的運算不封閉，如12(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0)VV 12(1,0,0), (0,1,0)VV 但是但是( , ,0) ,a ba bRa b且且中中至至少少有有一一是是0 0例如例如編輯課件13 編輯課

5、件14 編輯課件15 設(shè)設(shè) V1 = L( 1 , 2 ) , V2 = L( 1 , 3 ) 是是 R3兩個不同的兩個不同的 2 維子空間，求維子空間，求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指它們的幾何意義并指它們的幾何意義.因為因為 V1 和和 V2 是兩個不同的子空間，所以是兩個不同的子空間，所以 1 , 2 , 3 線性無關(guān)，線性無關(guān)，從而從而 V1 = V2 與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾. 于是由子空間的交與和于是由子空間的交與和的定義可得的定義可得V1 V2 = L( 1 )，V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .否則否則 3 可由可由 1 , 2 線性表示線性

6、表示編輯課件16其幾何意義是：其幾何意義是：V1 = L( 1 , 2 ) 是向量是向量 1 , 2 所所確定的平面，確定的平面，的平面，的平面，是整個是整個 3 維空間維空間. 如圖如圖 6-6 所示所示.V2 = L( 1 , 3 ) 是向量是向量 1 , 3 所確定所確定V1 V2 是這兩個平面的交線，是這兩個平面的交線， V1 + V2編輯課件17 設(shè)設(shè) V1 , V2 分別是分別是 R3 過原點的直線和平過原點的直線和平面面(直線不在平面上直線不在平面上)上的全體向量構(gòu)成的子空間，上的全體向量構(gòu)成的子空間，求求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指它們的幾何意義，并指它們的幾何意

7、義.由定義容易求得由定義容易求得V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .其幾何意義如圖其幾何意義如圖 6-7 所示所示編輯課件18 設(shè)設(shè) V1 , V2 分別是分別是 P 3 中齊次方程組中齊次方程組0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa0,0,0221122221211212111ntnttnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbxb編輯課件19的解空間，那么的解空間，那么 V1 V2 就是齊次方程組就是齊次方程組0,0, 0,02211121211122111212111ntnttnn

8、nsnssnnxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaxa的解空間的解空間.編輯課件201）L( 1 , 2 , , s ) + L( 1 , 2 , , t )=L( 1 , , s , 1 , , t )；2）L( 1 , 2 , , s ) L( 1 , 2 , , t )12(,),rL 12,r 12,s 12,t min( , )rs t 為線性空間為線性空間V中中1212,;,st 兩組向量，則兩組向量，則編輯課件2112(1,2,1,0),( 1,1,1,1) 例例4、在在 中，設(shè)中，設(shè)4P12(2, 1,0,1),(1, 1,3,7)1） 求求 的維數(shù)的與一組基的維數(shù)的與

9、一組基； ,1212()()LL 2） 求求 的維數(shù)的與一組基的維數(shù)的與一組基. ,1212()()LL 編輯課件22解：解：1) 任取任取 ,1212()()LL 設(shè)設(shè) 11221122,xxyy則有則有 112211220,xxyy ()解解 得得 （t為任意數(shù)）為任意數(shù)）121243xtxtytyt ()1212121212211220203070 xxyyxxyyxxyxyy 即即編輯課件23令令 t=1， 則得則得 的一組基的一組基 ,1212()()LL 1245,2,3,4 為一維的為一維的. ,1212()()( )LLL 2) 12121212(,)(,)(,)LLL 對以對

10、以 為列向量的矩陣為列向量的矩陣A作初等行變換作初等行變換 1212, 1221(4)(3)tt 編輯課件24為為3維的維的， 1212121(,)(,)(,)LLL 11 212 11111030 117A 11 21035302220 117 11 210 0260 11 10 026 11 2 10 11 10 0130 000B 由由B知，知， 為為 的一個極大無關(guān)組的一個極大無關(guān)組. .1212, 121, 為其一組基為其一組基.121, 編輯課件25關(guān)于子空間的交與和的維數(shù)，有以下定理關(guān)于子空間的交與和的維數(shù)，有以下定理. 編輯課件26設(shè)設(shè) V1 , V2 的維數(shù)分別是的維數(shù)分別是

11、 s , t , V1V2 的維數(shù)是的維數(shù)是 m .取取 V1V2 的一組基的一組基 1 , 2 , , m .如果如果 m = 0 ，這個基是空集，下面的討論中，這個基是空集，下面的討論中 1 , 2 , , m 不出現(xiàn)，但討論同樣能進行不出現(xiàn)，但討論同樣能進行.由由它可以擴充成它可以擴充成 V1 的一組基的一組基 1 , 2 , , m , 1 , , s - m ,也可以擴充成也可以擴充成 V2 的一組基的一組基 1 , 2 , , m , 1 , , t - m .編輯課件27我們來證明，向量組我們來證明，向量組 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t

12、- m 是是 V1 + V2 的一組基的一組基.這樣，這樣， V1 + V2 的維數(shù)就等于的維數(shù)就等于s + t - m , 因而維數(shù)公式成立因而維數(shù)公式成立.因為因為V1 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , s - m ) ,V2 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) .所以所以V1+V2 = L( 1 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m ).編輯課件28現(xiàn)在來證明向量組現(xiàn)在來證明向量組 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的.假設(shè)有等式假設(shè)有等式k1

13、1 + k2 2 + + km m+ p1 1 + p2 2 + + ps - m s - m+ q1 1 + q2 2 + + qt - m t - m = 0 .令令 = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m= - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m .編輯課件29 = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m由由 = - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m 由由可知，可知， V1 ；可知，可知， V2 .于是于是 V1V2 ，即，即 可以被可以被 1 , 2 , , m 線

14、性表示線性表示.令令 = l1 1 + + lm m ,則則l1 1 + + lm m + q1 1 + + qt - m t - m = 0 .由于由于 1 , , m , 1 , , t - m 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 ,因而因而 = 0.從而有從而有編輯課件30k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m = 0 .由于由于 1 , , m , 1 , , s - m 線性無關(guān)，又得線性無關(guān)，又得k1 = = km = p1 = = ps - m =0 .這就證明了這就證明了 1 , 2 , ,

15、m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 線性無關(guān)，線性無關(guān)，式成立式成立.因而它是因而它是 V1 + V2 的一組基，故維數(shù)公的一組基，故維數(shù)公編輯課件31從維數(shù)公式可知從維數(shù)公式可知 1212dim()min dim(),dim()VVVV 12max dim(),dim()VV 12dim()VV12dim()dim()VV 121212dim()dim()dim()dim()VVVVVV 12dim()dim()0VVn（ 為為Vn(P)的兩個子空間）的兩個子空間）12,V V編輯課件32 子空間的和的維數(shù)往往比子空間的維數(shù)子空間的和的維數(shù)往往比子空間的維數(shù)的和要小的

16、和要小. .例如，在例如，在R3中，設(shè)子空間中，設(shè)子空間12dim()3VV 112223(,),(,)VLVL 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 其中，其中，3121223123(,)(,)(,)VVLLLR 但，但，則，則，12dim2,dim2VV 由此還可得到，由此還可得到，12dim()1,VV 12VV 是一直線是一直線.編輯課件33從維數(shù)公式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù)從維數(shù)公式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù)的和來得小的和來得小.例如，在三維幾何空間中，兩張通例如，在三維幾何空間中，兩張通過原點的不同的平面之和是整個三維空間，而其過原點的不同的平面之和是整個

17、三維空間，而其維數(shù)之和卻等于維數(shù)之和卻等于 4 .由此說明這兩張平面的交是由此說明這兩張平面的交是一維的直線一維的直線.編輯課件34 由假設(shè)由假設(shè)維維(V1 + V2 ) + 維維(V1V2 ) = 維維(V1) + 維維(V2) n.但因但因 V1 + V2 是是 V 的子空間而有的子空間而有維維(V1 + V2 ) n ,所以所以維維(V1V2 ) 0 .這就是說，這就是說， V1V2 中含有非零向量中含有非零向量.編輯課件35 小小 結(jié)結(jié)編輯課件36 1,0 x yWx yPy 20,0 xWx yPy 1.1.在中，令在中，令 2 2P 求及求及12WW 12.WW 易知，皆為易知，皆

18、為 的子空間的子空間. 2 2P 12,W W 練練 習(xí)習(xí)編輯課件371112122122xxXWWxx 解：任取解：任取由有由有1,XW 220 x 由有由有2,XW 12210 xx故，故，11000 xX 1200 0 xWWxP 從而，從而，編輯課件38 11 00 1,0 01 0Wxyx yP12.WW 再求再求因為，因為， 1 00 1,0 01 0L 21 00 0,0 00 1Wxyx yP 1 00 0,0 00 1L 編輯課件39所以，所以， 121 00 10 0,0 01 00 1WWL , ,x yx y zPy z 1 00 10 0, ,0 01 00 1xyz

19、x y zP 編輯課件40 設(shè)設(shè) V = P 4，V1 = L( 1 , 2 , 3 )，V2 = L( 1 , 2)，其中，其中. )14, 9 , 5 , 0(),2, 4 , 0 , 1(),5 , 0 , 3, 1(),1 , 2 , 1, 1(),3, 1, 2 , 1 (21321求求V1, V2 , V1V2 , V1 + V2 的維數(shù)與基的維數(shù)與基.編輯課件41因為因為V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) + L( 1 , 2)= L( 1 , 2 , 3 , 1 , 2) ,所以向量組所以向量組 1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一個極大無關(guān)組就的一個極大無關(guān)

20、組就是是 V1 + V2 的一組基的一組基.把向量組把向量組 1 , 2 , 3 , 1 , 2 中的每個向量作為矩陣的一列，構(gòu)造矩陣中的每個向量作為矩陣的一列，構(gòu)造矩陣 A，對，對A進行初等行變換，化成行最簡形：進行初等行變換，化成行最簡形：編輯課件42142513940215031201111),(21321TTTTTA.00000410003011010201編輯課件43由由 A 的行最簡形矩陣的行最簡形矩陣00000410003011010201 1 , 2 , 1 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且 2 = 1 - 3 2 + 4 1 . 于是于是 1 , 2 , 1 是是 V1 + V2 的一組基，維的一組基，維( V1 + V2 ) = 3； 1 , 2 是是 V1 的一組基，維的一組基，維(V1) = 2； 1 , 2 是是V2 的的一組基，維一組基，維(V2) = 2 .編輯課件44由由 2 = 1 - 3 2 + 4 1 得得 1 - 3 2 = - 4 1 + 2 = (-4, -5, 7, 6) V1V2 .因為因為維維(V1V2 ) = 維維(V1) + 維維(V2) - 維維(V1 + V2 ) = 2 + 2 - 3 = 1 .于是于是 (-4, -5, 7, 6) 是是 V1V2