第七章 線性變換練習題參考答案

1、第七章 線性變換練習題參考答案一、填空題1設(shè)是線性空間的一組基，的一個線性變換在這組基下的矩陣是則在基下的矩陣而可逆矩陣T滿足在基下的坐標為 .2設(shè)為數(shù)域上秩為的階矩陣，定義維列向量空間的線性變換,則， .3復矩陣的全體特征值的和等于 ，而全體特征值的積等于.4設(shè)是維線性空間的線性變換，且在任一基下的矩陣都相同，則為_數(shù)乘_變換 .5數(shù)域上維線性空間的全體線性變換所成的線性空間為維線性空間，它與同構(gòu).6設(shè)階矩陣的全體特征值為，為任一多項式，則的全體特征值為 .7設(shè)，則向量是A的屬于特征值 4 的特征向量8若與相似，則= -1/2 9設(shè)三階方陣A的特征多項式為，則 3 10階方陣A滿足，則的特征

2、值為 0和1 11線性空間上的線性變換為A ，變換A在基下的矩陣為.二、判斷題1設(shè)是線性空間的一個線性變換，線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).（錯）2設(shè)為維線性空間的一個線性變換，則由的秩的零度，有 （錯）未必有3在線性空間中定義變換：，則是的一個線性變換.（錯）零向量的像是（1,0）4若為維線性空間的一個線性變換，則是可逆的當且僅當0.（正確）是可逆的當且僅當是雙射.5設(shè)為線性空間的一個線性變換，為的一個子集，若是的一個子空間，則必為的子空間. （錯）如平面上的向量全體在軸上的投影變換，為終點在與軸平行而不重合的直線上的向量全體，為軸上的向量全體，是的一個子空間，但不是的子空間.6階方陣A至少有

3、一特征值為零的充分必要條件是（正確）7已知，其中為階可逆矩陣，為一個對角矩陣則A的特征向量與P有關(guān)（ 正確 ），P的列向量為A的特征向量.8為V上線性變換，為V的基，則線性無關(guān)（錯）當可逆時無關(guān)，當不可逆時相關(guān).9為V上的非零向量，為V上的線性變換，則是V的子空間（ 錯 ）不含零向量.三、計算與證明1判斷矩陣是否可對角化？若可對角化，求一個可逆矩陣T，使成對角形.解：先求矩陣的特征值與特征向量.矩陣的特征值為.當時，解方程組得矩陣屬于特征值7的線性無關(guān)特征向量為.當時，解方程組得矩陣屬于特征值-2的線性無關(guān)特征向量為.矩陣有三個線性無關(guān)的特征向量.因此矩陣可對角化，取矩陣有2在線性空間中定義變換： （1）證明：是的線性變換.（2）求與（1）證明：.所以是的線性變換.（2）.3設(shè)與相似（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使解：(1)由矩陣與相似可得，矩陣與有相同的跡與行列式，因此有所以.(2)先求矩陣的特征值與特征向量.特征值為.當時，解方程組得矩陣屬于特征值-2的線性無關(guān)特征向量為.當時，解方程組得矩陣屬于特征值7的線性無關(guān)特征向量為.因此可取矩陣，有. 4令表示數(shù)域上一切級